Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика.djvu), страница 7

Покажем теперь, используя свойство транзитивности равновесия, что каждая из этих функций определяется только той частью скстемы, которая рассматривается. Функция Фь например, не зависит от того, входит ли часть 1 в систему 1 и 2 илн в какую-то другую систему 1 и 3. Поэтому в обоих случаях функция Ф, может быть взята одной и той же. То же справедливо убедились, что система, состоящая из частей 1 и 2, и система, состоящая из частей 2 и 3, каждая в отдельности находится в состояниях тер модин амического равновесия.

Тогда мы можем утверждать, что и система, состоящая из частей 3 и 1, тоже будет находиться в состоянии термодинамичвсяого равновесия. При этом предполагается, что между каждой парой частей в каждом нз этих случаев нет адиабатических перегородок (т. е. обеспечена передача тепла). Запишем общее свойство равновесного состояния для системы, состоящей иа частей 1 и 2. Будем обозначать внешние параметры, определяющие состояние частей системы 1 и 2, через аи н а,<.

Мы подразумеваем здесь те внешние параметры, характеризующие состояние некоторой части системы, от которых (а также от ее энергии) зависят все внутренние параметры этой части системы. Для краткости будем записывать для каждой части системы один внешний параметр: для первой части ао для второй а, и т. д. Будем считать, как обычно (ср. $ 4), что энергия системы складывается аддитивно из энергий ее частей. Энергия каждой части системы — внутренний параметр всей системы.

Поэтому при равновесии энергии каждой части Е„ Е, являются функциями внешних параметров, относящихся ко всей системе, и энергии всей системы Е Е, + Е„т. е. Е, =~,(ао ан Е), Ег=Уао а„Е). (1.31) $7. ТЕМПЕРАТУРА 81 и для функции Ф,. Рассматриваем для этого систему, состоящую иа частей 1, 2 и 3. Чтобы выделенная из нее система из частей 1 и 2 находилась в равновесии, должны выполняться условия И.35).

Аналогично этому, для равновесия системы, состоящей из частей 2 и 3, должны выполняться условия вида Чгз(оз, Ез) Ч з(оз, Ез)з а для равновесия системы иа частей 1 и 3 — условия вида Х,(а„Е,) Х,(ае Е,). И.37) И.36) (1.39) Из И.38) и И.39) находим дФ дЧ" дф дЧ', да дЕ дЕ да (1.40) Стоящее здесь слева вырамтенпе можно записать в виде функци- онального детерминанта ! дФз/даз дЧз /да дФ,/дЕ, дЧ',/дЕ,~ из равенства которого нулю, как известно а), вытекает, что одна из функций Ф, и Ч'з является функцией другой: Ф, /(Чгз). И.41) ° ) См., напрнмор: Смирнов В. В. Курс высшей математнкн.— 23-а взд.— Мл Наука, 1974, т. 111, ч.

1, гл. 1, 1 2, пункт 18. По свойству транзитивности равновесия из наличия равнове- сия в системе из частей 1 и 2 и в системе из частей 2 н 3 вытекает, что при тех же энергиях частей и тех же внешних параметрах будет находиться в равновесии и система из частей 3 и 1. Отсю- да следует, что условия равновесия системы 1+3, т. е.

равенст- во И.37), должны быть следствиями условий равновесия систем 1+2 и 2+3, т. е. равенств И.35) и И.36). Это значит, что из двух уравнений с шестью переменными И.35) и И.36) мы можем исключать а, и Е, и получить равенство вида И.37). Следова- тельно, если разрешить И.36) относительно Е, и подставить по- лученную таким образом функцию Ез Ез(а„а„Ез) в И.35), то выражение Ф,(ям Е,(а„а„Ез)) не должно зависеть от ям так что производная от этого выражения по а, равна нулю, т. е. дФ дФ дŠ— з+ — з — з= О, да дЕ да (1.38) если дЕ,/Ва, получается пз И.36): дЕ оЧ' /да да дч' /ВЕ,; 32 ГЛ.

Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ Отсюда сейчас же следует, что равенство И.36) может быть за- писано в виде Ф,(а„К,) Ф,(а„Е,), И.42) где Ф, 7(Ч',), и что И.37) должно иметь вид Ф,(а„Е,) = Ф,(а„Е,). И.43) Итак, для каждой системы существует функция ее внешних параметров и ее внереии, которая для всех систем, находящихся в равновесии, при их соединении имеет одно и то же значение. Очевидно, что равенства И.35), И.42) и И.43), связывающие энергии частей системы при равновесии, сохраняются, если вместо функций Ф,(а„Е,), Ф,(а„Е,), ...

ввести функции <р~(а~, Е~) = ИФ,(ао Е~)), Фь(а„Е,) ()[Ф,(аи К,)!, ..., И.44) где 1) — произвольная функция. Таким образом, вид этих функций определен не однозначно, а с точностью до произвольной, общей им всем функции. Функции внешних параметров и энергии И.44) называются температурами систем 1, 2 и 3. Обозначая температуры систем 1, 2, ... через т„т„..., т.

е. полагая И.45) Ф,(а„Е,) = то Ф,(а„Е,) = ть, ..., мы можем сказать, что условия И.35) и И.42) сводятся к требованию равенства температур частей системы. В силу сказанного выше температура определена неоднозначно. Вместо температуры т можно взять температуру т', где т' = ье(т), причем Й вЂ” произвольная функция. Можно говорить, таким образом, о температуре в разных шкалах.

Поэтому данное Определение температуры позволяет устанавливать только равенство температур, но не позволяет еще приписывать физический смысл тому, какая температура больше, какая меньше. (Действительно, в преобрааовании т' 1)(т) функция ье(т) является пока совершенно произвольной, она может быть и немонотонной.) Чтобы понятия большая и меньшая температура имели строго определенный физический смысл и притом тот, который обычно и приписывается этим понятиям, определение температуры необходимо дополнить следующим образом. Температура тела увеличивается при росте еео енереии при постоянных внешних параметрах. Это эквивалентно утверждению, что при получении телом тепла при постоянных внешних параметрах его температура увеличивается.

Такое уточнение определения температуры возможно только в силу того, что пэ опыта вытекают еще следующее свойства равновесного состоянпя физических систем. з ь ткмпкглтуРА При равновесии вовмохсно одно совершенно определенное распределение внергии системы по ее частям. При увеличении общей энергии системы (при неизменных внешних ее параметрах) растут энергии ее частей.

Из единственности распределения энергии следует, что уравнение типа Ф,(ао Е,) = Ф,(аь Ег) дает одно определенное значение Е„соответствующее ааданному Е, (и заданным а,, а,), т. е. дает одно решение Е, уравнения Ф,(а„Е,) =с. Отсюда, очевидно, следует, что функция Ф,(а„Е,) — монотонная (бункция Е,. Тот же вывод относится к функции Ф(а, Е) для любой системы. (Точнее было бы сказать, что соотношения И.35), (4.42), И.43) и т. д. могут быть представлены в виде равенства друг другу монотонных функций Е„Е„Е, и т. д.) Таким образом, из одновременного роста энергии частей системы вытекает, что все функции Ф„Ф„Ф, и т. д. либо монотонно возрастающие, либо монотонно убывающие функции Е„ Е„Е, и т. д.

Следовательно, путем простого преобразования мы можем всегда все их сделать воарастающими. В результате, мы всегда можем температурные функции т Ф(а, Е) выбрать так, чтобы т возрастало с ростом Е. Ограничив таким образом температурные шкалы, мы можем теперь утверждать, что производная дтlдЕ для всех тел положительна. Иначе можно сказать, что производная дЕ/дт, т.

е. теплоемкость тела (з 9), всегда положительна. Зто значит, что при повышении температуры энергия тела растет. После этого выбор температурной шкалы еще остается произвольным, но при переходе от одной шкалы (т) к другой (т ) по формуле т = Й(т) допустимыми являются только монотонно возрастающие функции И(т). Иаложенное определение температуры находится в согласии с применением термометра для ее измерения. Термометром может служить любое тело, являющееся частью системы, температуру которой требуется измерить; термометр может обмениваться теплом с этой системой.

Внешние параметры, определяющие состояние термометра, фиксированы. Иамеряется величина какогопнбудь внутреннего параметра, относящегося к термометру при равновесии всей системы, состоящей из термометра и окружающей среды, температура которой должна быть измерена.

Зтот внутренний параметр в силу общего положения (с. 28) есть функппя энергии термометра (и его внешних параметров, которые фиксированы и задание которых относится к градуировке термометра). Таким образом, каждому измеренному значению внутреннего параметра термометра соответствует определенная его энергия, а значит, по (1.45), и определенная температура всей системы. Разумеется, каждому термометру соответствует своя температурная шкала. Примером может служвть газовый термометр постоянного объема, для которого внешний параметр — объем— фиксирован, измеряемым внутренним параметром является даз- 3 м. м леоотович 34 ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ ление газа.

Описанный принцип термометра относится, строго говоря, только к термометрам (ртутный, газовый, оптическим пирометр, намерение температуры по магнитным свойствам), в которых не используются необратимые пропессы. Такие приборы для измерения температуры, как термопара, измерение температуры по электрическому сопротивлению проводника, основаны в принципе на более сложных методах. Нужно сделать еще два замечания о границах применимости понятия температуры, вытекающие из ее определения.