Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика.djvu), страница 9

Энергия столба рввва сумме внутренней я нотевциалыюй энергий". Ю ОО -1 ш+ ~~* *р( — )а " р( — —, е о =д „(т)+ — кт, где ш — масса столба газа. Отсюда получаем зк ш =с + — )т=с. оТ к М 3 10. Давление как внешний параметр. Эптальпия Часто гораздо удобнее в качестве основных переменных, определяющих состояние системы (газа, жидкости), пользоваться не объемом Р' и температурой т, а давлением р н температурой т. Уравнение, выражающее первое начало, легко преобразовать к этим переменным. Для этого в правой части уравнения 1(() 1)Е+ро"г' прибавим и вычтем Удр.

Тогда получим й(Е+ рР) — Рар=ад. (1.55) Введем новую функцию состояния вместо энергии — энтальпию (она называется еще тепловой функцией, теплосодерзгапи- см), равную ~ рл (1.56) Эта функция прн использовании параметров р и т заменяет энергию системы. Уравнение (1.55) перепишется так: д(>=йН- Рдр. (1.57) Можно легко уяснить физический смысл знтальпии следующим образом.

Возьмем цилиндр с поршнем, наполненный газом (рис. 1). Па единицу площади поршня действует сила р (внешнее давлеРзс. 1. ние). Будем рассматривать р как внешний параметр и рассмотрим расширенную систему, а именно наше тело (газ) н поршень с грузом. Энергия этой системы Еа равна энергии тела Е плюс потенциальная энергия поршня с грузом П р)1о' = РР, так что Еа=Е+П=Е+рр Н. (1.58) Таким образом, энтальпия Н равна энергии расширенной системы (71. Работа, совершаемая расширенной системой, равна -У 1(р.

Действительно, совершаемая извне работа равна 49 гл. к Основные пОнятия и пОлОжения тегмодннлмнки Рассмотрим теперь случай идеального газа. В этом случае: 1) р)г = Вт (т — температура в гааовой шкале); 2) энергия не зависит от объема, а только от температуры, Е Е(т); аначит, и С, дЕ/дт = С„(т) — функция только температуры. Кроме того, пользуясь формулой Майера Сг — С,=В, получаем дифференциальное уравнение Ят + 1 ~ ~à — О (1.65) Чтобы его проинтегрировать, необходимо знать зависимость у от т (у 1(т) — функция только т).

Для одиоатомных газов "(-1,66 и не зависит от т. Для двухатомных газов (Нм О„г(.) при комнатной температуре т — 1,4 и с увеличением т уменьшается. Для упрощения интегрирования уравнения будем считать т не зависящим от т, что справедливо для малого изменения температуры. Тогда решение уравнения (1.65) даст ТУ' ' = солей.

(1.66) Уравнение (1.66) обычно называют уравнением адиабагы Пуассона. Перейдя к другим переменным (р, т или р, )'), получим р' 'т' = соней р$" = сопл(. (1.67) Для идеального газа при адиабатическом увеличении объема температура всегда понижается, что следует из уравнения (1.66) (т ) 1). Как мы увидим ниже (у 21), это же справедливо для жидкости, эа исключением особых случаев (например, для воды в интервале 0 — 4'С, когда (дггдт)г(О!. Задачи (Е Земная атмосфера нагревается в основном от контакта с венной поверхностью, поглощающей энергию солнечного излучения.

Если температура воздуха достаточно быстро убывает с высотой, то нагретые массы воахуха будут подниматься вверх, адиабатвческн расширяясь нз-за малой тенлопрозодвости воздуха н охлаждаясь вследствие етого. В нижних слоях атмосферы (тропосфере) произойдет перемешизание (копвекция) воздуха, т.

е. нарушенке механической устойчкзостн атмосферы. Каково должно быть максимальное значение температурного градиента воадуха, чтобы атмосфера находилась в устойчивом механическом равновесии? Решению При механическом равновесии температура т, плотность р и давление воздуха р зависят только от высоты Ь вад земной поверхностью, причем р = Срт, где постоянная С от Ь не зависит.

Поэтому при изменении И ор ор от — = — + —. Р Р 'г $11. ОБРАТИМОЕ ЛДИАБАТИЧБСКОБ РАСШИРЕНИЕ И СЖАТИЕ 41 Отсюда для равновесной плотвостя на высоте й+ йй находим лт Р (й + йй) = Р (й) + 4Р = Р + -~-4Р— Р—. Р т (а) Допустим, что в силу каких-либо случайных возмущений какая-то малая касса воздуха переместилась с высоты й на высоту й+ йй.

Давление внутри переместившейся массы будет равно давлению окружающего воздуха, а потому ее плотность изменится. Из-за малой теплопроводиости воздуха процесс перемещения можяо считать адяабатическим, т. е. Р совз1 рй Отсюда для изменения плотности дре переместившейся массы находим йр 4ре — у р а для самой нлотвости Р (й+йй)=Р(й)+ Р =Р+ — — аР. Р У Р (б) Прк механическом равновесии /Р лй Ру' (г) зде Л вЂ” ускорение свободного падения.

Исключив ЕР, найдем йт т Т вЂ” 1 е Ср — Ср Вт Ра ) Ру= Ру= ил= Р Т Р С вЂ” Р йт — ) —— ий С р Виану равенства соответствует базразличное равновесие. Соответствующее ему расслоение атмосферы называется адиебагичееииеь Полагая для воздуха Ср —— 1 эрг/(г К), получим е(т -~- = — 9,З К/ — 19 К/к . Фактически адиабатическнй градиент температуры по абсолютной величине несколько меньше, что объясняется, главным образом, конденсацией содержащихся в воадухе водяных паров при его расширении е).] 2. Показать, что для произвольной гомогенной (однородной) системы.

находящейся под всесторонним одинаковым давлением, адиабатическав е) Смс Сиеузии Д. В. Термодинамика и молекулярная фиаика. — 2-е яад.— Мс Наука, 1979, 1 121.— (Общий курс фязики, т. П), где этот вопрос разобран подробна. Допустям, что йй ) О, Ре(й+ йй) ) Р(й+ йй). Тогда сместввшаяся мас- са воздуха, поскольку ова тяжелее окружающего воздуха, вернется в ис- ходное положение, т. е.

равновесие будет устойчивым. Прв йй ) 0 и р* (й+ йй) С р(й+ йй) сместившаяся масса воздуха, как менее легкая, чем окружающая среда, будет подниматься еще выше, т. е. равновесие бу- дет яеустойчввым. Из (а) и (б) находим условие устойчивостие р о лт ир) ир — р при «(й > О, У Р Р (а) 44 ГЛ. !. ОСНОВНЫИ ПОНЯТИЯ И ПОЛОсККНИЯ ТВРМОДИНЛМИКИ $12. Применение первого начала к стационарному течению газа или жидкости. Процесс Джоуля — Томсона Состояние движущегося газа или жидкости мы определяем заданием в каждой точке и в каждый момент времени вектора скорости н, плотности р и температуры. Давление выражается через плотность и температуру. Законы движения Ньютона дают трн уравнения для этих функций. Уравнение непрерывности — + Лсч (ри) = О ар ас (1.68) (1.69) р,а,и, = р,а,и, или, вводя удельный объем Р, аса си Р з (1.70) Напишем уравнение, выражающее первое начало при адяабнтическом течении.

Энергия массы ш жидкости (или газа) складывается из ее внутренней и кинетической энергий и равна (1.71) Е = т(з(Р, т) + и'!2), где з(Р, т) — удельная внутренняя энергия. Работа прн движении — это работа сил давления на поверхности массы т (считаем, что нет силы тяжести и других внешних сил). Однако эта работа не равна рс))с, так как давление меняется от точки к точке жидкости (н это существенно при движении). дает еще одно, четвертое уравнение, яо неизвестных пять: и., и и„р и т. Пятое уравнение даст закон сохранения энергии.

Таким образом, в механике непрерывной среды уравнение, выражающее закон сохранения энергия, является независимым уравнением, в то время как в механике точки (или системы точек) уравнение энергии — следствие уравнений движения Ньютона. Рассмотрим частный случай стационарного течения жидкости или газа, т. е. случай, когда в каждой точке пространства состояние не меняется со временем. Будем считать, что теплоотдачей можно пренебречь, т. е.

что процесс происходит адиабатически. Этот процесс не будет квазистатическим (обратимым) процессом, так как равновесие здесь нарушено, а потому выводы з 11 к этому случаю не относятся. Линии тока в жидкости, поскольку движение стационарно, не изменяются с течением времени. Условие непрерывности стационарного потока состоит в том, что масса жидкости, протекающей через любые два сечения трубки тока, одинакова. Поэтому для любых двух сечений а, и а, имеем $12. стлпионлгнов твчннин и пгоцвсс я>кегля — томсона зз Для бесконечно малого элемента т имеем д (ров) Рве>пв Р>п>п> = о> (1.73) где Ж вЂ” длина отрезка линии тока, занятого массой л>. В силу стационарности потока Н> д> (1.74) где >1/й — производная по времени в точке, свяаанной с движущейся массой (всубстациональнзя производная>), а д/д( — производная по линии тока (прн постоянном 1).

Работу за время»>, следовательно, можно записать в виде >яд> Н(рои) д> Подставляя И.75) в уравнение И.13), справедливое для любого лдиабатического процесса, и учитывая И.71) и И.69), получим и д(в+а ~т? ю д(р> ) = 0 (1.76) д> и Ю Очевидно„что т о»(/и, поэтому получим г((е+ и>/2) + Ь/ои)й рви) = О. И.77) 'Так как в силу И.70) Йои/о) О, то имеем Ярон) = Яр»аи/о) — (аи/»)Яр»), б(е+ и>/2+ р») = О.