Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 9

Все эти свойства функций Чг„(д) показывают, что они являются собственными функциями некоторой характеризующей электрон физической величины (обозначим ее г), а о рассматриваемом измерении можно говорить, как об измерении этой величины. Очень существенно, что функции Ч" (д), вообще говоря, не совпадают с функциями гр„(д) (последнне, вообще говоря, даже не взаимно ортогональиы и не являются системой собственных функций какого-либо оператора). Это обстоятельство прежде всего выражает невоспроизводимость результатов измерений в квантовой механике. Если электрон находился в состоянии Чг„(д), то произведенное над ним измерение величины г обнаружит с достоверностью значение Г„.

Но после измерении электрон окажется в состоянии тр„(о), отличном от исходного, в котором величина 1 уже вообще не имеет какого-либо определенного значения. Поэтому, произведя над электроном непосредственно вслед за первым повторное измерение, мы получили бы для ~ значение, не совпадающее с Обнаруженным в результате первого измерения '). Для предсказания (в смысле вычисления вероятности) результата повторного измерения при известном результате первого измерения надо от первого измерения взять волновую функцию у„ (д) созданного им состояния, а от второго — волновую функцию Чг„(п) того состояния, вероятность которого нас интересует.

Это означает следующее. Из уравнений квантовой механики определяем волновую функцию гр„(д, т), которая в момент времени первого измерения равна гр„(о). Вероятность пт-го результата второго измерения, произведенного в момент времени т, дается квадратом модуля интеграла ~ гр„(д, Г) Ч" (д) с(д. Мы видим, что процесс измерения в квантовой механике имеет «двуликий» характер — его роли по отношению к прошлому и ') Из невоспронзводимостн измерений существует, однако, важное нсклю. ченне — единственной величиной, измерение которой повторимо, является координата. Лва измерения координаты электрона, произведенные через достаточно короткий промежуток времени, должны дать близкие значения; противное означало бы, что электрон имеет бесконечную скорость. Математически это связано с тем, что координата коммутатнвна с оператором энергии взаимодействия электрона н прибора, являющейся (в нерелятивистской теории) функцией только от координат.

э т1 ВОЯНОВАя Функция и иэмаевния будущему не совпадают. По отношению к прошлому оно «верифицируетэ вероятности различных возможных результатов, предсказываемые по состоянию, созданному предыдущим измерением. По отношению же к будущему оно создает новое состояние (см. также 8 44). В самой природе процесса измерения заложена, таким образом, глубокая необратимость. Эта необратимость имеет важное принципиальное значение.

Как мы увидим в дальнейшем (см. конец 8 !8), основные уравнения квантовой механики сами по себе обладают симметрией по отношению к изменению знака времени; в этом отношении квантовая механика не отличается от классической. Необратимость же процесса измерения вносит в квантовые явления физическую неэквивалентность обоих направлений времени, т. е. приводит к появлению различия между будущим и прошедшим.

ГЛАВА П ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС й 8. Гамильтониан Волновая функция Ч' полностью определяет состояние физической системы в квантовой механике. Это означает, что задание этой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства системы в этот момент, но определяет ее поведение также и во все будущие моменты времени — конечно, лишь с той степенью полноты, которая вообще допускается квантовой механикой.

Математически это обстоятельство выражается тем, что значение производной дЧ'/д( от волновой функции по времени в каждый данный момент времени должно определяться значением самой функции Ч' в тот же момент, причем зависимость эта должна быть, согласно принципу суперпозиции, линейной. В наиболее общем виде можно написать сй — = и'Ч', дЧ' (8П) где Й вЂ” некоторый линейный оператор; множитель )й введен здесь с целью, которая выяснится ниже. Поскольку интеграл ) Ч"*Ч'г(д есть постоянная, не зависящая от времени величина, то имеем — ) ) Ч" Г дд = ) — т дд + ) Ч* —, пд = О.

г, зч' п~ 3ш ,) д( Подставив сюда (8,!) и применив в первом интеграле определение транспонированного оператора, пишем (опустив общий множитель г'/Й): 1 Ч И'Ч'* дд — 1Ч" ЙЧ' дд = = ~ Чг*й*т дд — ~ т*йЧг дд = ~ Ч'*(а" — Н) Ч' д = О. Поскольку это равенство должно выполняться дия произвольной функции Ч', то отсюда следует„что должно быть тождественно Й' = Й, т. е, оператор Й эрмитов. а в) диьфвганцнговхнив опвгатогов по вгвмвни Выясним, какой физической величине он соответствует. Для этого воспользуемся предельным выражением волновой функции (б,!) и напишем дч' ) дЯ з — = — — Т д) А д! (медленно меняющуюся амплитуду а можно не дифференцировать).

Сравнив это равенство с определением (8,1), мы видим, что в предельном случае оператор Й сводится к простому умножению на величину — д5/дй Это значит, что последняя и есть та физическая величина, в которую переходит эрмитов оператор Й. Но производная — д5/дг есть не что иное, как функция Гамильтона О механической системы. Таким образом, О есть оператор, соответствующий в квантовой механике функции Гамильтона. Его называют гамильтоновым оператором или, короче, гамильтонианом системы. Если вид гамильтониана известен, то уравнение (8,1) определяет волновые функции данной физической системы. Это основное уравнение квантовой механики называется волновым уравнением.

$9. Дифференцирование операторов по времени Понятие о производной физической величины по времени не может быть определено в квантовой механике в том смысле, какой оно имеет в классической механике. Действительно, определение производной в классической механике связано с рассмотрением значений величины в два близких, но различных момента времени. Но в квантовой механике величина, имеющая в некоторый момент времени определенное значение, не имеет в следующие моменты вообще никакого определенного значения; подробнее об этом шла речь в $ 1.

Поэтому понятие производной по времени должно быть определено в квантовой механике иным образом, Естественно определить производную 1 от величины г как величину, среднее значение которой равно производной по времени от среднего значения ). Таким образом, имеем, по определению, (9,1) Исходя из этого определения, иетрудио получить выражение для квантовомеханического оператора Г", соответствующего величине 1: ~й г' ) ) г в"1 )+г д! ~ ~+в ~ в) (гл. н энеРГия и н(дпульо Поскольку, с другой стороны, должно быть, по определению средних значений, / = ) Чг*/ЧгЩ то отсюда видно, что выражение, стоящее в скобках под интегралом, представляет собой искомый оператор / '): /= д, + — а(/// — /й) (9,2) ') В классической механике имеем для полной производной по времени от величины /, являющейся фуикдией обобщенных координат Ча и импульсов ре системы: д( д( + С .) ( дд~ др~ ~) ' д/ д/ д/ д/ дН дН Подставляя, согласно уравнениям Гамильтона, б~ = д, Р~ = — ), „подра ' ' дзг " лучим — = — +[Н, Д, д/ д/ д) д) [Н, /1 есть так назмваемая скобка Пуассона для аелнчнн / н и (см.

(, й 42). Сравнив с выражением (9,2), мы видим, что при переходе к классическому пределу оператор ( ()Д вЂ” /Н) а первом приближении обращается, как и следовало, в нуль, а в следующем (но д) приближении — а величину д [Н, П. Этот результат справедлив и для любых двух величин / из: оператор ( (/З вЂ” й/) в пределе переходит в величину д [/, з1, где [й й) есть скобка пуассона Это следует из того, что мы всегла ьюжем формально представить себе систему, гамильтониан которой совпадает с й.

Здесь д//дг есть оператор, получающийся дифференцированием оператора / по времени, от которого последний может зависеть, как от параметра. Подставляя для производных дЧг/дг, дЧга/дх их выражения согласно (8,1), получим 1г(/(/+ Я (йа1та) /тг г/г/ — Я ага/(й1т) г((/, Поскольку оператор Й эрмитов, то ~(й*Ч*)(/Ч) й) =Г)тапа,~ таким образом имеем / =1~*( д( + а й/ а) Щ[/хр(((/. Ф ш1 СТАПИОНАРНЫВ СОСТОЯНИЯ Если оператор 1 ие зависит от времени явно, то 7 сводится, о точностью до множителя, к коммутатору оператора 1 с гамильтонианом.

Очень важной категорией физических величин являются те, операторы которых не зависят явно от времени и, кроме того, коммутативны с гамильтонианом, так что 1 = О. Такие величины называют сохраняющимися. Для них 1 = 1 = О, т. е. 1 = сопз1. Другими словами, среднее значение величины остается постоянным во времени. Можно также утверждать, что если в данном состоянии величина г" имеет определенное значение (т. е. волновая функция является собственной функцией оператора 1), то и в дальнейшие моменты времени она будет иметь определенное — то же самое — значение. $ 1О. Стационарные состояния Гамнльтониан замкнутой системы (а также системы, находящейся в постоянном — но не в переменном — внешнем поле) не может содержать времени явно.

Это следует из того, что по отношению к такой физической системе все моменты времени эквивалентны. Поскольку, с другой стороны, всякий оператор, конечно, коммутативен сам с собой, то мы приходим к выводу, что у систем, не находящихся в переменном внешнем поле, функция Гамильтона сохраняется. Как известно, сохраняющаяся функция Гамильтона называется энергией. Смысл закона сохранения энергии в квантовой механике состоит в том, что если в данном состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени.

Состояния, в которых энергия имеег определенные значения, называются спал(ионарными состояниями системы. Они описываются волновыми функциями Ч'„, являющимися собственными функциями оператора Гамильтона, т. е. удовлетворяющими уравнению НЧ'„ = Е„Ч'„, где Е„ — собственные значения энергии. Соответственно этому, волновое уравнение (8,1) для функции Ч'„ может быть непосредственно проинтегрировано по времени и дает ! Ч'„=е " "Ф„Ю, (10,1) где ф„ — функция только от координат. Этим определяется зависимость волновых функций стационарных состояний от времени. Малой буквой ф мы будем обозначать волновые функции стационарных состояний без временного множителя.