Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 11

Имея в виду эту формулу, пишем для результата воздействия на функцию ф„произведения двух операторов: Чф. = 1(йФ.) = 1 Е йььфь = Е йь.1фь = Е а 1 ьф ь ь ь,ю й 111 мдтрицы Поскольку, с другой стороны, должно быть 1йфв — — 2~ ОК).» ф.. то мы приходим к результату, что матричные элементы произведения ф определяются формулой И)пнв = Е 1тлйав. Зто правило совпадает с принятым в математике правилом перемножения матриц: строки первой в произведении матрицы перемножаются со столбцами второй. Задание матрицы эквивалентно заданию самого оператора. В частности, оно позволяет в принципе определить собственные значения данной физической величины и соответствующие им собственные функции.

Будем рассматривать значения всех величин в некоторый определенный момент времени и разложим произвольную волновую функцию Ч' (в этот момент времени) по собственным функциям гамильтониана, т. е. по не зависящим от времени волновымфункциямф стационарных состояний. Ч'= ~~ ~с„,фж, (!1,13) где коэффициенты разложения обозначены как с . Подставим это разложение в уравнение (Ч' = (Чг, определяющее собственные значения и собственные функции величины 1. Имеем Е с. (1Ф.) =ГЕ с.ф..

Умножим это уравнение с обеих сторон на»р; и проинтегрируем по гй). Каждый из интегралов )' »р„')'1р„г(г) в левой стороне равенства есть соответствующий матричный элемент („. В правой же стороне все интегралы ) ф„ф»(п с пг-ьп исчезают в силу ортогональности функций ф, а ) ф„'ф„сй) = 1 в силу их нормировки')1 ~~ („с„= (с„, (11,14) г) В соответствии с общим правилом ($5) совокупность котффицнентов с„ разложения (11,13) можно рассматривать, как волновую функцию в юнергетическом представлении» (причем переменной является индекс л, иумерующий собственные аначеиня внергии). Матрица же /иж играет при етом роль оператора 1 в атом представлении, действие которого иа волновую функцию определяется выражением в левой стороне уравнения (11,14).

формула 1= ~~ ~~~~се()вжс ) соответствует тогда общему выражению среднего значения величины черен ее оператор и волновую функцию данного состояния. )гл. и энвргня и импнльо 52 нлн Е ((„— )б„) с = Оа где О, л~т, б 1, п=пт. Таким образом, мы получили систему алгебраических однородных уравнений первой степени (с неизвестными с ). Как известно, такая система обладает отличными от нуля решениями лишь прн условии обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов в уравнениях, т. е. при условии 17„ — )б„ ! = О. (11,15) Корни этого уравнения (в котором у рассматривается как неизвестное) и представляют собой возможные значения величины1. Совокупность же величин с, удовлетворяющих уравнениям (11,14) с у, равным какому-либо из этих значений, определяет соответствующую собственную функцию.

Если в определении (!1,5) матричных элементов величины ) взять в качестве ф„собственные функции этой же величины, то в силу уравнения Ц„= )„ф, будем иметь )чт = ) грч) фт с)9 = )м ) графа г)9. Ввиду ортогональности и нормировки функций ф это дает )'„ = — О при п ~ т н )„= 1 . Таким образом, оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы, причем каждый из ннх равей соответствующему собственному значеникт величины )'; о матрице, у которой отличны от нуля лишь эти элементы, говорят, как о приведенной к диагональному виду.

В частности, в обычном представлении, с волновыми функциями стационарных состояний в качестве функций ф„диагональна матрица энергии (а также матрицы всех других физических величин, которые имеют в стационарных состояниях определенные значения). Вообще, о матрице величины у, определенной с помощью собственных функций некоторого оператора й, говорят, как о матрице у в представлении, в котором д диагонально.

Везде, где это не оговорено особо, под матрицей физической величины мы будем в дальнейшем понимать матрицу в обычном представлении, в котором диагональна энергия. Все, что сказано выше о зависимости матриц от времени, относится, разумеется, только к этому обычному представлению '). т) Имея в виду диагональиость матрипм энергии, легко убедиться в том, что равенство (! ),8) есть написанное в матричном виде операторное соотношение (9,2). мхтэицы з м! С помощью матричного представления операторов можно доказать упомянутую в ч 4 теорему: если два оператора коммутативны друг о другом, то они обладают общей полной системой собственных функций.

Пусть будут )' и й два таких оператора. Из Я~ = ~ф н правила умножения матриц (11,12) следует, что Е (пмУьа = Е й'гай/ьл Взяв в качестве системы функций ф„, с помощью которых вычисляются матричные элементы, собственные функции оператора ), будем иметь ~ ь = О при т ~ А, так что написанное равенство сведется к равенству ~ д „= д „~„„или Е~.У,.— 1.) =О.

Если все собственные значения )„величины ~ различны, то при всех т чь и имеем ( — 1„чь О, так что должно быть д „= О. Таким образом, матрица а „тоже оказывается диагональной, т. е. функции ф„являются собственными функциями также и физической величины д. Если же среди значений ~ есть одинаковые (т.

е. если есть такие собственные значения, которым соответствуют по нескольку различных собственных функций), то соответствуюющие каждой такой группе функций ф„матричные элементы л „ окажутся, вообще говоря, отличными от нуля. Однако линейные комбинации функций ф„, соответствующих одному собственному значению величины ~, тоже являются ее собственными функциями; можно всегда выбрать эти комбинации таким образом, чтобы обратить в нуль соответствующие недиагональные матричные элементы д „, и, таким образом, мы и в этом случае получим систему функций, являющихся собственными функциями одновременно для операторов ) и ф.

Отметим полезную в приложениях формулу (11,16) где Х вЂ” некоторый параметр, от которого зависит гамильтониан Н (а с ним и собственные значения энергии Е„). Действительно, продифференцировав уравнение (Й вЂ” Е„) ~р„= О по Х н затем умножив его слева на ф„', получим д~д .* г деп д~ х фл(Й вЂ” Е„) — "=фп~ —" — — ) ф. зх ~ ах в l При интегрировании по ~Щ левая сторона этого равенства обращается в нуль, поскольку ') Ф". (8 — Е~) —,.—" ~д = ') —" ( — Е,)' фй) )гл. и вн ергия н импульс 54 (и(/! а). (11,17) Этот символ построен так, что его можно рассматривать как «составленный> из обозначения величины у и символов ! т) и (и), обозначающих соответственно начальное н конечное состояния как таковые (вне зависимости от того, в каком представлении используются волновые функции состояний).

С помощью этих же символов «составляются» обозначения для коэффициентов разложения волновых функций: если мы имеем полный набор волновых функций, отвечающих состояниям ( пх), ! и,), ..., то коэффициенты разложения по ннм волновой функции некоторого состояния ! гп) обозначаются как (л, ~ т): (пг(лт) = ) Фа,.фтй1 (11,18) й 12. Преобразование матриц Матричные элементы одной и той же физической величины могут определяться по отношению к различным совокупностям волновых функций.

Это могут быть, например, волновые функция стационарных состояний, опнсывающихся различными наборами физических величин, нли волновые фуикпни стационарных состояний одной и той же системы, находящейся в различных внешних полях. В связи с этим возникает вопрос о преобразовании матриц от одного представления к другому. Пусть ф„(д) и ф„' (д) (л = 1, 2, ...) — две полные системы ортонормированиых функций. Они связаны друг с другом некоторым линейным преобразованием фа = Е 'Сжифтэ (12,1) представляющим собой просто разложение функций эр„' по полной системе функций эр . Это преобразование можно записать в операторном виде (12,2) Оператор о' должен удовлетворять определенному условию для того, чтобы обеспечить ортонормированиость функций эра> ') Мы будем пользоваться в втой книге обоими способами обозначения матричных элементов.

Обозначение (11,17) в особенности удобно, когда каждый из индексов надо писать в виде совокупности нескольких букв, ввиду эрмитовости оператора Н. Правая же сторона дает искомое равенство. В современной литературе широко применяется система обозначений (введенная Дираколс), в которой матричные элементы у„а, записываются как ') преоВРАзовАииа мАтриц й !21 если таковыми являются функции фв. Действительно. подставив (12,2) в условие )»р"»р,'гй) = Ь „и учитывая определение транспонированного оператора (3,14), получим ~(5ф.)5 ф;.й~= ~ф;5 Зф.й~-й..

Для того чтобы зто равенство имело место при всех пг, и, должно быть 5*5 = 1, или 5'ы 5'=5', (!2,3) Написав равенства 5'5 = 1 или 55+ = 1 в матричном виде, получим условия унитарности в виде Е 5! 5гл=й . (12,5) или Е5м~5 »=Ь (12,6) Рассмотрим теперь какую-либо физическую величину 7 н напишем ее матричные элементы в «новом» представлении, т. е. по отношению к функциям ф„'.