Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 14

Пусть 1 (г) — некоторая фуякция координат, тогда р)'(г) — 1(г) р = — 1йЧ~. (16,4) Действительно, (Ф вЂ” 6йф = — (й ЯВИ вЂ” Я р) = — 1йфй. Аналогичное соотношение имеет место для коммутатора г с функцией оператора импульса:. 1(р) г — г1(р) = — 1й —. (16,5) Его можно вывести так же, как (16,4), если производить вычислеяия в импульсном представлении, воспользовавшись для операторов координат выражением (15,!2). Соотношения (!6,1) и (16,2) показывают, что координата частицы вдоль одной из осей может иметь определенное значение одновременно с компонентами импульса по двум другим осям; координата же н компонента импульса вдоль одной и той же оси не сушествуют одновременно. В частяости, частица ие может находиться в определенкой точке пространства и в то же время иметь определенный импульс р.

Предположим, что частица находится в некоторой конечной области пространства, размеры которой вдоль трех осей порядка величияы Ьх, Ьу, Ьг. Пусть, далее, среднее значение импульса частицы есть р,. Математически это означает, что волновая функция имеет вид ф = и (г) е" ™, где и (г) — функция, заметка отличная от нуля только в указанной области пространства.

Разложим функцию ф по собственным функциям оператора импульса (т. е. в интеграл Фурье). Коэффициенты а (р) этого разложения определяются интегралами (15,!0) от функций вида и (г) е'ш ю'~". Для того чтобы такой интеграл был заметно отличен от нуля, периоды осциллирующего множителя е' <Р -ю см должны быть не малыми по сравнению с размерами Ьх, Ьу, Ьг области, в которой отлична от куля функция и (г).

Это значит, что а (р) будет заметно отличным от нуля лишь для значений р таких, что (р„— р„) Ьх/й ( 1, ... Поскольку ) а (р) !' определяет вероятность различных значений импульса, то иятервалы значекий р„, р„, р„в которых а (р) отлично от нуля, — не что иное, как те интервалы значений, в которых могут оказаться компоненты импульса частицы в рассматриваемом состояяии. Обозначая эти интервалы посредством Ьр„Ьр„, Ьр„имеем таким образом Ьр.,Ьх й, Ьрг Ьу й, Ьр, Ьг й. (16,6) 1гл.

и энвггия и имптльо Эти сооаношения неопределенности были установлены Гейзенбергом в 1927 г. Мы видим, что чем с большей точностью известна координата частицы (т. е. чем меньше Лх), тем больше неопределенность Лр„ в значении компоненты импульса вдоль той же оси, и наоборот. В частности, если частица находится в некоторой строго определенной точке пространства (Лх = Лу = Лг = О), то Лр„= Лр„= = Лр, = оо, Это значит, что все значения импульса при этом равновероятны. Наоборот, если частица имеет строго определенный импульс р, то равновероятны все ее положения в пространстве (это видно и непосредственно из волновой функции (!5,8), квадрат модуля которой не зависит вовсе от координат). Если характеризовать неопределенности координат и импульсов средними квадратичными флуктуациями бх = ~/ (х — х)', бр„= у (р„— р„)', то можно дать точную оценку наименьшего возможного значеяия их произведения (Н.

Ю'еу1). рассмотрим одномерный случай — пакет с волновой функцией ф (х), зависящей только от одной координаты; предположим для простоты, что средние зиачеяия х и р„в этом состоянии равны нулю. Исходим из очевидного неравеяства ) ~ахф+ — ~~ с(х)~0, Ф где а — произвольная вещественная постоянная. При вычисле. нии этого интеграла замечаем, что ~ х')ф)'йх = (бх)', ~~х"~„ф+ ф'",т) (х=~х'~~„'~ (х= — ~)ф!'(х= — 1, — — йх = — ) фч „— „йх = —,, ) ф,б4~ йх = —,, (бр„), дх Дх ) дх" и получаем ат(бх)' — а+ ( ~," )~ О. Для того чтобы этот квадратичный (по а) трехчлен был положи. тельным при любых значениях а, его дискримииаят должен быть отрицательным. Отсюда получаем яеравеиство бхбр„~~ 2 .

(16,7) Наименьшее возможное значение произведения равно й/2. $163 сООтнО1аения неопгеделенности Это значение достигается в волновых пакетах, описываемых функциями вида ! х' 14 ' ехр( а Рох 4(б )а) (зп1 ' 1 Ьх (16,8) где р, и бх — постоянные. Вероятности различных значений ко- ординаты в таком состоянии т.

е. распределены вокруг начала координат (среднее значение х = О) по закону Гаусса со средней квадратичной флуктуацией бх. Волновая функция в импульсном представлении Ю а(р„) = ~ 1р(х)е " 6(х. Вычисление интеграла приводит к выражению нида а(р„) = сопз1 ехр( — 1 ) 1Р" 1") ). Распределение вероятностей значений импульса, !а(р„) 16, тоже является гауссовым вокруг среднего р„= р, и со средней квадратичной флуктуацией бр„= а12бх, так что произведение бр„бх имеет как раз значение й/2.

Наконец, выведем еше одно полезное соотношение. Пусть ) и д — две физические величины, операторы которых удовлетворяют правилу коммутации (16,9) где д — оператор некоторой физической величины с. В правой стороне равенства введен множитель й в соответствии с тем, что в классическом пределе (т. е. при й -Р О) все вообще операторы физических величин сводятся к умножению на эти величины и коммутативны друг с другом.

Таким образом, в «квазиклассическом» случае можно в первом приближении правую сторону равенства (16,9) считать равной нулю. В следующем же приближении можно заменить оператор б оператором простого умножения на величину с. Тогда получится Это равенство в точности аналогично соотношению р„х — хд, = = — 16 с той лишь разницей, что вместо постоянной й в нем стоит 1гл.

н энеРГия и импульс величина йс '). В связи с этим мы можем заключить по аналогии с соотношением Лх Лр„й, что в квазиклассическом случае для величин 1, д имеет место соотношение неопределенности Лг Лп' Йс. (16,10) В частности, если одной из величин является энергия Д = О), а оператор другой (д) ве зависит явно от времени, то, согласно (9,2), с = д и соотношение неопределенности в квазиклассвческом случае (!6,11) ') Класенческак величина с есть скобка Пуассона величин Г" и и (см.

приме чание на стр. 44), ГЛАВА 1Н УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА й 17. Уравнение Шредингера Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаментальное значение во всем математическом аппарате квантовой механики.

Вид гамильтониапа свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью н изотропией пространства и принципом относительности Галилея. В классической механике этн требования приводят к квадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: Е = р'/2т, где постоянная и называется массой частицы (см. 1, 2 4).

В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса — одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин. Но для того чтобы соотношение Е = р'/2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов: й = —,' (б.'+ р„'+ й. Подставив сюда (1Ь,2), получим гамильтониан свободно движу- шейся частицы в виде и~ Н 2 Л (!7,2) где Ь = д'/дх' + д'/ду' + У/дг' — оператор Лапласа. Гамнльтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов каждой из них: нч,а а Π— — г,— 2 л1 т~' где индекс а нумерует частицы; А, — оператор Лапласа, в котором дифференцирование производится по координатам а-й частицы. В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие частиц описывается аддитнвным членом в функции Гамильтона— 1гл, гм к авиация шредингера потенциальной энергией взаимодействия (7 (г„г„...), являю- шейся функцией координат частиц.

Прибавлением такой же функции к гамнльтопиану системы описывается и взаимодействие частиц в квантовой механике '): Й = — — ~~> — "+(7(гы г„...); (17,4) а где У(х, у, г) — потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Подстановка выраженяй (17,2) — (17,5) в общее уравнение (8,!) дает волновые уравнения для соответствующих систем. Выпишем здесь волновое уравнение для частицы во внешнем поле вч~ аа 18,~, —— - — —,я бЧг+(7(х, у, г1Чг. Уравнение же (10,2), определяющее стационарные состояния, принимает вид — Лф+ (Š— У(х, у, г)) ф = О.

(17,7) Уравнения (17,6), (17,7) были установлены Шредингером в 1926 г. и называются уравнсниллги Шредингера. Для свободной частицы уравнение (17,7) имеет внд — „Ьф+Еф = О. (17,8) Это уравнение имеет конечные во всем пространстве решения при любом положительном значении энергии Е. Для состояний с определеннымн направлениями движения этими решениями являются собственные функции оператора импульса, причем Е = ра/2лг. Полные (зависящие от времени) волновые функции таких стационарных состояний имеют вид — — (е1 — ао 1!г = сопз!.е " ° (17,9) а) Это утвержденяе не является, конечно, логическим саедстввем основных пряннянов квантовой механякн н должно рассматриваться как следствие опытных данных, первый член можно рассматривать как оператор кинетической энергии, а второй — как оператор потенциальной энергии.

В частности, гамильтониан для одной частицы, находящейся во внешнем поле, гг = 2,„+ (7(х, у, г) = — — Л+ У(х, у, г), (!7,5) й п! УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА тз В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые члены (напомним, что 5 и а вещественны); приравнивая те и другие в отдельности нулю, получим два уравнения: дЗ ! Аз — + — (!75)з + () — — Ьа = 0 д! 2лз 2та — + — гз5+ — 75Уа = О, да а ! д! 2га сл Пренебрегая в первом из этих уравнений членом, содержащим йз, получим — + — ()75)'+ (г' = О, (17, 10) т. е., как и следовало, классическое уравнение Гамильтона— Якоби для действия 5 частицы.

Мы видим, кстати, что при Ь вЂ” ~ 0 классическая механика справедлива с точностью до величин первого (а не нулевого) порядка по й включительно. Второе из полученных уравнений после умножения на 2а может быть переписано в виде — + Йу(а' — ) =-О. (17, 11) !РОонятне о волне, связанной с частицей, было впервые введено де Вройлел (В. де Вгой)!е) в )924 г, Каждая такая функция — плоская волна — описывает состояние, в котором частица обладает определенными энергией Е и импульсом р. Частота этой волны равна Е)й, а се волновой вектор й = р/й; соответствующую длину волны ) = 2лй/р называют дебройлевской длиной волны частицы '). Энергетический спектр свободно движущейся частицы оказывается, таким образом, непрерывным, простираясь от нуля до + со, Каждое из этих собственных значеняй (за исключением только значения Е = 0) вырождено, причем вырождение — бесконечной кратности. Действительно, каждому отличному от нуля значению Е соответствует бесконечное множество собственных функций (17,9), отличающихся направлениями вектора р при одинаковой его абсолютной величине.

Г!роследим, каким образом происходит в уравнении Шредингера предельный переход к классической механике, рассматривая для простоты всего одну частицу во внешнем поле. Подставив в уравнение Шредингера (17,б) предельное выражение (6,1) волновой функции Ч' = аесзгз, получим, произведя дифференцирования, дЗ . да а з га )а Ьз а — — сй — + — (Р5)з — — аб5 — — у5Ча — — Ла + 1)а = О. гц д! 2гп 2сл !л 2лз !гл.