Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 12

Они даются интегралами ~ ф' ')»р' сй) = ~(5'»р:И5ф.) г(б = ~ Ф'5м'Р»р.с(й = ~ ф'5 'Рф Ф Отсюда видно, что матрица оператора 1 в новом представлении совпадает с матрицей оператора Г=5 !5 в старом представлении '). (12,7) ') Если (1, й! = — »Ас есть правило коммутзпнн лвух операторов 1 нй, «о после преобразования ()2,7) получнм (!', й') = — ПМ', т. е. правнло остаегся премннм.

В прнмечаннн на стр. 44 было отмечено, что Е есть квантовый аналог классической скобки Пуассона [й д1. Нов классяческай механике скобки Пуассона инвариантны по отношению к каноннческнм преобразонанням переменных (обобщенных координат н ямпульсов! — см. 1, 4 45. В этом смысле мох«но сказать, что уннтарные преобразовання в квантовой механике играют роль, знало. гнчну~о роли каноннческнх преобразований в классической мехакяке. т. с. обратный оператор совпадает с сопряженным.

Операторы, обладающие таким свойством, называют унитарными. В силу этого свойства преобразование»ря = 5 '»р„', обратное преобразованию (!2,1), дается формулой 'чч =25' Ф ° (12,4) энергия и импульо !гл. и Сумму диагональных элементов матрицы называют ее следом и обозначают как Зрг '): Бр~= Е~ ' (12,8) Отметим прежде всего, что след произнедения двух матриц не зависит от порядка множителей Вр (г'к) = Вр (кг').

(12,9) Действительно, по правилу умножения матриц имеем Вр (М) = Е Е ~яайан = Е Е йа.1аа = Вр (й0. е а а з Аналогичным образом легко убедиться в том, что для произведе- ния нескольких матриц след не меняется при циклической пере- становке множителей; так, Вр(!йй) = Вр Яд = Вр(аЧ) (12,10) Важнейшим свойством следа является его н зависимость от выбора системы функций, по отношению к которым определяются матричные элементы. Действительно, Вр Г Ьр (5 Ч5) = Вр (ЯЯ ьД = Вр ~. (12,1!) Отметим также, что унитарное преобразование оставляет ии- вариантиой сумму квадратов модулей преобразуемых функций, Действительно, учитывая (!2,6), имеем Е1фг! = Е ~агЧъЗ)гфг' = Е Фагр76аг = Е )фа !' (12,12) г а,~ а Всякий унитарный оператор можно представить в виде о' = егл, (12, 13) где !с — эрмитов оператор; действительно, из !с = гс следует, что 5' = е — 'го = е — га = 8-'.

Отметим разложение ~' = З т~З = !+ И а)+ — Н~, и), и!+ ..., (12,14) в котором легко убедиться прямой проверкой путем разложения множителей ехр (~й) по степеням оператора )т'. Это разложение может оказаться полезным, когда Й пропорционален малому параметру, так что (12,!4) становится разложением по степеням этого параметра. з) От немецкого слова ориг — след. Используется также обозначение Тг от английского !гасе. Разумеется, рассмотрение следа матрицы предполагает скодимость суммы по л. гейзенвеРГОВское пРедстАВление ОпеРАтОРОВ Вт а 1з1 й 13.

Гейзенберговское представление операторов В излагаемом математическом аппарате квантовой механики операторы, соответствующие различным физическим величинам, действуют на функции координат и сами по себе явной зависимости от времени обычно не содержат. Зависимость средних значений физических величин от времени возникает лишь через временную зависимость волновой функции состояния согласно формуле Зф„(д) = г " "ф„(д). (13,3) Отсюда следует, что разложение (10,3) произвольной волновой функции Ч' по волновым функциям стационарных состояний может быть записано в операторной форме как Ч (д, !) = ЗЧ (д, О), (13,4) т. е.

действие оператора Я приводит к переводу волновой функции системы в некоторый начальный момент времени в волновую функцию в произвольный момент времени. Введя, в соответствии с (12,7), зависящий от времени оператор ~(1) = 5 'ф, (13,5) будем иметь У (!) = ~ Ч (~, О) ) (!) Ч (~, О) Ц, (13,б) т. е. представим формулу для среднего значения величины ~ (являющуюся определением операторов) в виде, в котором зависи- мость от времени полностью перенесена на оператор.

Т(1) = ~Ч"'И, !)ТЧ'И !)Ф (13,1) Аппарат квантовой механики можно, однако, сформулировать н в несколько другом, эквивалентном, виде, в котором зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторы. Хотя в этой книге мы не будем пользоваться таким (так называемым ггйзгнбгргогским в отличие от шргдинггрогского) представлением операторов, мы сформулируем его здесь, имея в виду дальнейшие применения в релятивистской теории. Введем унитарный (ср. (12,13)) оператор 3 =с (13,2) где Й вЂ” гамильтониан системы. По определению, его собственные функции совпадают с собственными функциями оператора Й, т. е.

с волновыми функциями стационарных состояний ф„(д), причем энеРГия и импульс (гл. и Очевидно, что матричные элементы оператора (13,5), по отношению к волновым функциям стационарных состояний совпадают с зависящими от времени матричными элементами 1„(1), определяемыми формулой (11,3). Наконец, продифференцировав выражение (13,5) по времени (предполагая при этом сами операторы 7 и Й не содержащими 1), получим уравнение — „', ~(() = — ', (й((() — ~(()й), (13,7) аналогичное формуле (9,2), но имеющее несколько иной смысл.

выражение (9,2) представляет собой определение оператора 7', соответствующего физической величине 1, между тем как в левой стороне уравнения (13,7) стоит производная по времени от оператора самой величины ). й 14. Матрица плотности ") Для того чтобы Чг(о, «) распалось (в данный момент времени) иа такое произведение, измерение, в результате которого было создано данное состояние, должно полным образом описывать рассматриваемую систему и остальную часть замкнутой системы в отдельности. Для того же, чтобы Ч' (д, к) продолжало иметь такой внд в будущие моменты времени, иеобксдямо танже, чтобы зги части замкнутой системы ие взаимодействоваля друг с другом (см.

4 2), Ни то, ии другое нами теперь ве предполагается. Описание системы с помощью волновой функции соответствует наиболее полному возможному в квантовой механике описанию— в смысле, указанном в конце 2 1. С состояниями, пе допускающими такого описания, мы столкнемся, рассмотрев систему, являющуюся частью некоторой большей замкнутой системы. Предположим, что замкнутая система в целом находится в некотором состоянии, описываемом волновой функцией Ч' (д, х), где х обозначает совокупность координат рассматриваемой системы, а д — остальные координаты замкнутой системы. Эта функция, вообще говоря, отнюдь не распадается на произведение функций только от х и только от д, так что система пе обладает своей волновой функцией '). Пусть 7 есть некоторая физическая величина, относящаяся к нашей системе.

Ее оператор действует поэтому только на координаты х, но не на д. Среднее значение этой величины в рассматриваемом состоянии есть 1 = )) Чга(д, х)~Чг(д, х)гйрдх. (14,1) Введем функцию р (х, х'), определяемую посредством р(х, х') ) Чг(д, х)Ч" (д, х')Щ (!4,2) 'ы1 мхт»ицл плотности 69 где интегрирование производится только по координатам и; ее называют матрипей плотности системы.

Из определения (14,2) очевидно, что она обладает свойством «эрмитовости» р«(х, х') = р (х', х). (14,3) «Диагональные элементы» матрицы плотности р (х, х) = ) [ Ч'(д, х)[» дд определяют распределение Вероятности для координат системы. С помощью матрицы плотности среднее значение 1 можно написать в виде 1 = ~ [гр (х, х')[„=,«[х, (14,4) Здесь ) действуег в функции р (х, х') только на переменные х; после вычисления результата воздействия надо положить х' = х. Мы видим, что, зная матрицу плотности, можно вычислить среднее значение любой величины, характеризующей систему. Отсюда следует, что с помощью р (х, х') можно определить также и вероятности различных значений физических величин системы.

Таким образом, состояние системы, не обладающей волновой функцией, может быть описано матрицей плотности. Матрица плотности не содержит координат д, не относящихся к данной системе, хотя, разумеется, по существу зависит от состояния замкнутой системы в целом. Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания систем. Описание же с помощью волновой функции является частным случаем, отвечающим матрице плотности вида р (х, х') = Ч' (х) Чг«(х'). Между этим частным случаем и общим случаем имеется следующее важное различие. Для состояния, обладающего волновой функцией (такое состояние называют чист»ья), всегда существуе» такая полная система измерительных процессов, которые приводят с достоверностью к определенным результатам (математическн это означает, что Ч' есть собственная функция какого-либо оператора).

Для состояний же, обладающих лишь матрицей плотности (их называют смешанными), не существует полной системы измерений, которые приводили бы к однозначно предсказуемым результатам. Предположим, что рассматриваемая система замкнута или стала таковой, начиная с некоторого момента времени; выведем уравнение, определяющее изменение ее матрицы плотности св временем, аналогичное волновому уравнению для Ч'-функции.

Вывод можно упростить, заметив, что искомое линейное дифференциальное уравнение для р (х, х', 1) должно удовлетворятьея [гл, и энеРГия н импульс и в том частном случае, когда система обладает волновой функ. цией, т. е. р (х, х', !) = Ч' (х, !) Ч'* (х', !). Дифференцируя по времени и воспользовавшись волновым уравнением (8,1), имеем И вЂ” =ИЧ~*(х, !) +ИЧ(х, !) — * др .

~ ° дЧ'!х, Г! . дЧ'"'!х', «) д« ' д« д« = Ч'*(х', !) ЙЧ«(х, !) — Ч'(х, Г)Й'*Ч«'(х', !), где Н вЂ” гамильтониан системы, действующий на функции от х, а Й' — тот же оператор, действующий на функции от х'. Функции Ч"* (х', 1) ««Ч'(х, !) можно ввести под знаки операторов соответственно Й и Н', и, таким образом, получим искомое урав- нение И др!х, х', г) (Н Н,„)р(» х, !) (14,5) Пусть Ч'„ (х, !) — волновые функции стационарных состояний скстемы, т. е.

собственные функции гамильтониана. Разложим матрицу плотности по этим фуннциям; разложение представляее собой двойной ряд р(х, х', !) = ~ч' ~ а „Ч'(х, !) Ч" (х, !) или — (еп ет) « ( = ~, ~ ~а „Г, (!) = ~„~а,), е", (!4 8) = ~~ ~ а „«р„'(х )ф (х)е-" " . (!4,6) Это разложение играет для матрицы плотности роль, аналогич- ную роли разложения (! 0,3) для волновых функций. Вместо совокупности коэффициентов а мы имеем здесь двойную сово- купность коэффициентов а „.