Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 8

В волновой оптике электромагнитные волны описываются векторами электрического и магнитного полей, удовлетворяющими определенной системе линейных' дифференциальных уравнений (уравнений Максвелла). В геометрической же оптике рассматривается распространение света по определенным траекториям — лучам. Подобная аналогия позволяет заключить, что предельный переход от кван- ') В дальнейшем мы условннся дла простоты обозначеннй пнсать везде операторы, сводяптнеся к умножению на некоторую велнчнну, просто в виде самой этой величины. ') Коэффнпненты разложения произвольной функннк Т по этим собственным функпнам равны ат = ~ Ч'(о) б (д — Че) ба = 'Р (Че).

Вероятность значе. ннй коордннаты в данном ннтераале лое равна (а ('бу =1%'(Ча)(аббе, кав н должно было быть. зб основные понятия квдитовои мвхдиики (гл. г товой механики к классической происходит аиалогичио переходу от волновой к геометрической оптике. Напомним, каким образом математически осуществляется этот последний переход (см. 11, $ 53). Пусть и — какая-нибудь из компонент поля в электромагнитной волне. Ее можно представить в виде и = аеге с вещественными амплитудой а и фазой <р (по. следиюю называют в геометрической оптике эйкоиалом). Предельиый случай геометрической оптики соответствует малым длинам волн, что математически выражается большой величиной измене. иия тр иа малых расстояниях; это означает, в частности, что фазу можно считать большой по своей абсолютной величине. Ссютветствеиио этому, исходим из предположения, что предельному случаю классической механики соответствуют в квантовой механике волновые функции вида Чг = ае'е, где а — медлеиио меняющаяся функция, а гр принимает большие значения.

Как известно, в механике траектория частиц может быть определена из вариациоииого принципа, согласно которому так иазываемое действие о механической системы должно быть минимальным (приипип наименьшего действия). В геометрической же оптике ход лучей определяется так называемым принципом Ферма, согласно которому должна быть минимальной «оптическая длина пути» луча, т. е. разность его фаз в конце и в начале пути. Исходя из этой аналогии, мы можем утверждать, что фаза у волновой функции в классическом предельном случае должна быть пропорциональна механическому действию 8 рассматриваемой физической системы, т. е.

должно быть 5 = соп»1 гр. Коэффициеит пропорциоиальвости называется постоянной Планка и обозначается буквой й '). Оиа имеет размерность действия (по. скольку гр безразмерно) и равна й = 1,055 1О " эрг.с. 'Таким образом, волновая функция «почти классической» (или, как говорят, кеазиклассической) физической системы имеет вид Чг аз~ага (6,1) Постоянная Планка играет фундаментальную роль во всех квантовых явлениях. Ее относительная величина (по сравиеиию с другими величинами той же размерности) определяет «степеиь кваитовости» той или иной физической системы.

Переход от квантовой к классической механике соответствует большой фазе и может быть формально описан как переход к пределу й — О (подобио тому как переход от волновой к геометрической оптике со- ») Она была введена в фнзнку )газиком (М. Р!алел, !900). Постоянная а, которой мы пользуемся везде в атой кинге, есть, собственно говоря, постоянная Планка Ь, деленная на 2п (обозначенне Днрака). «71 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ 37 ответствует переходу к пределу равной нулю длины волны, )« — 1- О).

Мы выяснили предельный вид волновой функции, но еще остается вопрос о том, каким образом она связана с классическим движением по траектории, В общем случае движение, описываемое волновой функцией, отнюдь ие переходит в движение по опре. деленной траектории. Ее связь с классическим движением заключается в том, что если в некоторый начальный момент волновая функция, а с иею и распределение вероятностей координат заданы, то в дальнейшем это распределение будет «перемещаться» так, как это полагается по законам классической механики (подробнее об этом см. конец ~ 17).

Для того чтобы получить движение по определенной траектории, надо исходить из волновой функции'особого вида, заметно отличной от нуля лишь в очень малом участке пространства (таи называемый волновой пакелг); размеры этого участка можно стре. мить к нулю вместе с й. Тогда можно утверждать, что в кеазиклас. сическом случае волновой пакет будет перемещаться в простраи.

стве по классической траектории частицы. Наконец, кваитовомеханические операторы в пределе должны сводиться просто к умножению иа соответствующую физическую величину. 5 7. Волновая функция и измерения Вернемся снова к процессу измерения, свойства которого были качественно рассмотрены в ~ 1, и покажем, каким образом эти свойства связаны с математическим аппаратом квантовой меха. ники. Рассмотрим систему, состоящую из двух частей — классического прибора и электрона (рассматриваемого как квантовый объект). Процесс измерения заключается в том, что эти две части приходят во взаимодействие друг с другом, в результате чего прибор переходит из начального в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния мы судим о состоянии электрона. Состояния прибора различаются значениями некоторой характеризующей его физической величины (или величин) †«показаниями прибора».

Обозначим условно эту величину посредством д, а ее собственные значения — как й„; последние пробегают, соответственно классичности прибора, вообще говоря, непрерывный ряд значений, но мы будем — исключительно в целях упрощения написания нижеследующих формул — считать спектр дискретным. Описание состояний прибора осуществляется квазиклассическими волновыми функциями, которые будем обозначать посредством Ф„(В), где индекс и отвечает «показанию» д„прибора, а в обозначает условно совокупность его координат. Классичность прибора проявляется 38 основные понятия кв»нтовон мвх»ники ~гл. г в том, что в каждый данный момент времени можно с достоверностью утверждать, что он находится в одном из известных состояний Ф„с каким-либо определенным значением величины д; для квантовой системы такое утверждение было бы, разумеется, несправедливым.

Пусть Ф» (в) есть волновая функция начального (до измерения) состояния прибора, а Ч' (д) — некоторая произвольная нормированная начальная волновая функция электрона (д обозначает его координаты). Эти функции описывают состояние прибора и электрона независимым образом, и потому начальная волновая функция всей системы есть произведение Ч'(д) Ф, ($). (7,1) Далее, прибор и электрон приходят во взаимодействие друг с другом.

Применяя уравнения квантовой механики, можно, принципиально, проследить за изменением волновой функции системы со временем. После процесса измерения она, разумеется, уже не будет произведением функций от $ и д. Разлагая ее по собственным функциям Ф„прибора (образующим полную систему функций), мы получим сумму вида ~ А„(д) Ф„(в), (7,2) где А» (д) — некоторые функции от ф Теперь выступает на сцену «классичность» прибора и двойственная роль классической механики как предельного случая и в то же время основания квантовой механики. Как уже указывалось, благодаря классичности прибора в каждый момент времени величина а («показание прибора») имеет некоторое определенное значение. Это позволяет утверждать, что состояние системы прибор + электрон после измерения будет в действительности описываться не всей суммой (7,2), а лишь одним членом, соответствующим «показанию» л„прибора: А„(д)Ф (г).

(7,3) Отсюда следует, что А„~д) пропорциональна волновой функции электрона после измерения. Это не есть еще сама волновая функция, что видно уже из того, что функция А„(д) не нормирована. Она включает в себя как сведения о свойствах возникшего состояния электрона, тан и определяемую начальным состоянием системы вероятность появления л-го «показання» прибора. И силу линейности уравнений квантовой механики связь между А„(д) и начальной волновой функцией электрона Ч'(д) выражается, вообще говоря, некоторым линейным интегральным оператором (»г) )»» М ц)»ря)М (7,4) а т1 волновая вянкция и измаэвння с ядром К„(д, д'), которое характеризует данный процесс измерения.

Мы предполагаем, что рассматриваемое измерение таково, что в результате него возникает полное описание состояния электрона. Другими словами (см. $ 1), в возникшем состоянии вероятности для всех величин должны быть независимыми от предыдущего (до измерения) состояния электрона. Математически это означает, что вид функций А„(а) должен определяться самим процессом измерения и не должен зависеть от начальной волновой функции Ч" (а) электрона. Таким образом, А„должны иметь внд А„(а) = а„<р„(д), (7,5) где ~р„ — определенные функции, которые будем предполагать нормированными, а от начального состояния Ч'(а) зависят только постоянные а„.

В интегральной связи (7,4) этому соответствует ядро К„ (а, ау), разбивающееся на произведение функций только от д и от д'~ Кп (ф ч') = ч>л(а) ч й(т') (7„6) Тогда линейная связь постоянных а„с функцией Ч' (д) дается формулами вида а„= ~ Ч' (а) Ч"," (а) йу, (7,7) где Ч'„(а) — некоторые определенные функции, зависящие от процесса измерения, Функции ~р„(д) — нормированные волновые функции электрона после измерения. Таким образом, мы видим, как математический формализм теории отражает возможность получить путем измерения состояние электрона, описанное определенной волновой функцией. Если измерение производится над электроном с заданной волновой функцией Ч~(а)„ то постоянные а„ имеют простой физический смысл — в соответствии с общими правилами ~ а„1- 'есть вероятность того, что измерение даст л-й результат.

Сумма вероятностей всех результатов есть единица: ~~ ~ а„~' = 1. (7,8) Справедливость формул (7,7) и (7,8) при произвольной (иорми роваиной) функции Ч'(а) эквивалентна (ср. й 3) утверждению, 4О ОСНОВНЫВ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКН игл. 1 что произвольная функция Ч' (и) может быть разложена по функциям Чг„(д). Это значит, что функции Чг„(п) образуют полный набор нормированных и взаимно ортогоиальных функций. Если начальная волновая функция электрона совпадает с однои из функций Чг„(д), то„очевидно, соответствующая постоянная а„равна единице, а все остальные — нулю. Другими словами, произведенное над электроном в состоя нии Чг„(д) измерение даст с достоверностью определенный (п-й) результат.