Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 13

Этн величины обладают, очевидно, как и сама матрица плотности, свойством эрмитовости (14,7) Для среднего значения некоторой величины ~ имеем, подставляя (14,6) в (14,4): ~ = ~,~~~ ать)! Ч'л(х, !))'Ч"„(х, !)«(х, $151 импулье где Ä— матричные элементы величины Г. Это выражение аналогично формуле (11,1) '). Величины а „ должны удовлетворять определенным неравенствам. «Диагональные элементы» р (х, «) матрицы плотности, определяющие распределение вероятности для координат, должны, очевидно, быть величинами положительными. Из выражения (14,6) (ох' = х) поэтому следует, что построенная на коэффициентах а„,„ квадратичная форма вида ЕЕ мЯ (где $„— произвольные комплексные величины) должна быть ° существенно положительной.

Это накладывает на величины а„„ известные из теории квадратичных форм условия. В частности, должны быть положительными зсе диагональные элементы аии «» 0 (14,9) а каждые три величины а„„, а, а „должны удовлетворять неравенству а„„а ",з.~а „1». (14,10) «Чистому» случаю, в котором матрица плотности сводится к произведению функций, соответствует матрица а „вида а„=аа„. (14,11) Укажем простой критерий, позволяющий легко определить по матрице а „, имеем ли мы дело с «чистым» или «смешанным» состоянием. В чистом случае имеем гъ чч ° ° ° г ° (а ) „= ~~ а „ае„= ~' а'„аыа„а, = а а'„~ 1а») = а а » » е или (14,12) (11 )тн = ам»~ т. е.

квадрат матрицы плотности совпадает с ней самой. $15. Имвульс Рассмотрим замкнутую систему частиц, не находящуюся во внешнем поле. Поскольку все положения такой системы как целого в пространстве эквивалентны, то можно утверждать, что гамильтониан системы не изменится при параллельном переносе системы на произвольное расстояние. Достаточно потребовать ') Величины а составляют метрицу плотности в энергетическом представлении.

Описание состояний системы с помонгью такой матрицы было введено ие»аз»симо Ландау и Блохом (х. В1осп) в 1927 г. 1гл. и ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬО 62 выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого смещения; тогда оно будет выполняться и для всякого конечного смешения. Бесконечно малое параллельное смещение на расстояняе бг означает преобразование; при котором радиусы-векторы 'г, всех частиц (а — номер частицы) получают одинаковое приращение бг: г, — г, + бг.

Произвольная функция ф (г„ г„ ...) координат частиц при таком преобразовании переходит в функцию ф (г„+ бг, г, + бг, ...) = «р(г„г„... ) + бг ~~ Ч,ф = « = ~1+ бг Е Ч ) ф(г„г„...) « («7, — оператор дифференцирования по г„). Выражение 1+бг Е 7, есть оператор бесконечно малого переноса, переводящий функцию ф (Г» Г», ...) в функцию «Р (Г» + бГ, Г«+ бГ, ...). Утверждение, что некоторое преобразование не меняет гамильтоииана, означает, что если произвести это преобразование над функцией Й«Р, то результат будет таким же, как если произвести его только над функцией ф и лишь затем применить к ней оператор Й.

Математически это может быть записано следувицим образом. Пусть О есть оператор, «производящий» рассматриваемое преобразование. Тогда имеем О (Й«Р) = Й (0»Р), откуда ОЙ вЂ” ЙО =О, т. е, гамильтониан должен быть коммутативен с оператором О. В данном случае оператором О является оператор бесконечно малого переноса. Поскольку единичный оператор (оператор умножения на 1) коммутативен, конечно, со всяким вообще оператором, а постоянный множитель бг может быть вынесен из-под знака Й, то условие ОЙ вЂ” ЙО = 0 сводится здесь к условию ~ Е ч.~ Й вЂ” Й ~ Е р,) = б. (15,1) Как мы уже знаем, коммутативность некоторого оператора (не содержащего времени явно) с гамнльтонианом означает, что соответствующая этому оператору физическая величина сохраняется.

Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства однородности пространства, есть импульс имп, льп 4 м1 системы (ср. 1. З 7). Таким образом соотношение (15,1) выражаеа собой закон сохранения импульса в квантовой механике; оператор 2; и, должен соответствовать, с точностью до постоянного множителя, полному импульсу системы, а каждый из членов суммы — импульсу отдельной частицы. Коэффициент пропорциональности между оператором импульса р и оператором у может быть определен с помощью пре. дельного перехода к классической механике и равен — И: р = — ИЧ, (15,2) или в номпонентах: д .

д . д ,б = — (Й вЂ”, р = — И вЂ” 14 = — (Й вЂ”. дх' Р ду' ~ дг Действительно, воспользовавшись предельным выражением волновой функции (6,1), имеем рЧ' = — (Й вЂ” „Ч'ЧЯ = ЧТЯ, т, с. в классическом приближении действие оператора р сводится к умножению иа у5. Но градиент действия и есть классический импульс частицы р (см. 1, э 43). Легко убедиться в том, что оператор (15,2), как и следовало, эрмнтов, Действительно, для произвольных функций ф (х) и ~р (х), обращающихся на бесконечности в нуль, имеем ~рр„ф г1х = — И ~ Ч~ — „дх = И ) ф — г(х = ( фд„ср йх, что и является условием эрмитовости оператора.

Поскольку результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифференцирования, то ясно, что операторы трех компонент импульса коммутативны: Р„1бг — ~1ф„= О, Р„Р, — Р,Р, = О, ))ф, — ~1,Я„= О. (15,3) Это значит, что все три компоненты импульса частицы могут одновременно иметь определенные значения. Найдем собственные функции и собственные значения опера. торов импульса.

Они определяются векторным уравнением — 1Й7ф = рф (15,4) Его решения имеют внд ф = сопз1 е"ма. (!5,5) Одновременное задание всех трех компонент импульса полностью определяет, как мы видим, волновую функцию частицы. Дру. (гл. и энергия и импульо или, что то же, ~ ф, фя с( ' = (2пй)' 6 (р — р) (!5,6) (поскольку каждый из трех множителей, на которые распадается трехмерная б-функция, 6 ((р', — р„)/2пй) = 2пй6(р,' — р„) и т.

п.). Интегрирование производится с помощью формулы ') О» — ) ~ ~ой =6( ). (15,?) Из нее очевидно, что для яормировкн, согласяо (15,6), в функциях (15,5) надо положить сопз( = 1 а): фа = Е«В ~ (15,8) ») Дельта-функция от векторного аргумента а(трехмерная 6-функция) определяется как произведение 6-функций от каждой нз компонент вектора: 6 (а( = = 6 (ан) 6 (ая) 6 (а,).

з) условный смысл втой формулы состоит в том, что функция, стоящая в левой стороне равенства, обладает присущим 6.функпии свойством (6,8). Действительно, подстапив функцию 6 (х — а), выраженную в виде ((6,7), в (о«,6), получим известную интегральную формулу Фурье г" (а) = ( ( ) (х) е г» ~~«(х —, 2п ' О» ») Обратим внимание ва то, что при такой нормировке плотность вероятности (ф(е =- Н т. е. функция нормирована на «одну частицу в единичном объеме», Э»о совпадение, разумеется, не случайно — ср. ниже примечание на стр. 2!4. гимн словами, величины р„, р„, р, составляют для частицы одни из возможных-польых наборов физических величин. Их собственные значения образуют непрерывный спектр, простирающийся от — оо до оо.

Согласно правилу нормировки собственных функций непрерывного спектра (5,4) интеграл ~ фв фф)г, взятый по всему пространству (с()г = с(х г(у с(г), должен быть равен 6-функции 6 (р' — р) т). По причинам, которые станут ясными из дальнейших применений, более естественна, однако, нормировка собственных функций импульса частицы на 6-функцию от разности импульсов, делеьных иа 2пй.

$ !5! импгльс Разложение произвольной волновой функции ф (г) по собственным функциям ее импульса представляет собой пе что иное, как разложение в интеграл Фурье: 'т" (г) = ) а(Р)Ь(г) 2 зэ — — ') а(Р)есе — „, (15,9) — вероятность импульсу иметь значения в интервале бар. Подобно тому как оператор р соответствует импульсу, опре.

деляя его собственные функции в координатном представлении можно ввести оператор г координат частицы в импульсном представлении. Он должен быть определен так, чтобы среднее значение координат могло быть записано в виде г ') а (р)га (р) 2 (15,11) С другой стороны, это же среднее значение определяется по волновой функции ф (г) посредством г = ~ ф'гфе('г'. Подставив ф (г) в виде (15,9) и интегрируя по частям, имеем гф(г) = ~ га(р)е — = ) Ие сжд и'Р г . жги эа (р! е'р (2па)е 3 др (2ла)' ' С помощью этого выражения и учитывая (15,!О), находим Сравнив с (15,11), мы видим, что оператор радиуса-вектора в импульсном представлении д г =Й вЂ”. др Оператор же импульса в этом представлении сводится к умноже- нию на р.

(Рр = е(р„бра,). В соответствии с формулой (5,3) коэффициенты разложения равны а (р) = ) ф (г) ф (г) Нг' = ) ф (г) е '""~" Ю, (! 5,10) Функцию а (р) можно рассматривать (см. 2 5) как волновую функцию частицы в импульсном представлении: 1гл. ц энеРГия н импульс илн, введя оператор р = — 1611г т(Г+а» [! + а ар+ 2 С Л ар) + ) т(Г)' Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой оператор Т, =ехр ~ — „ар), (15,13) Это и есть искомый олераглор конечного смещения. й 16. Соотношения неопределенности Выведем правила коммутации между операторами импульса н координат.

Поскольку результат последовательного дифференцирования по одной из переменных х, у, г и умножения на другую из них не зависит от порядка этих операций, то ,б„у — ур„= О, р„г — г,б„= О (16,1) н аналогично для йв й" Для вывода правила коммутации р„ с х пишем (,б„х — хр„) ф = — И вЂ” „(хтр)+ Их — „= — Иф д да Мы видим, что результат воздействия оператора Рнх — хр„сводится к умножению функции на — 16; то >не самое относится, конечно, к коммутапии ре с у и )т, с г.

Таким образом имеем ') Р,х — хР, = — И, рау — уре —— — И, р,г — гр, = — И. (16,2) Все соотношения (16,1) и (16,2) можно записать вместе в виде р;ха — хар, = — Иб,а, 1, й = х, у, г. (!6,3) '1 Зги соотношения, открытые в матричной форме Гедаемдергом в 1925 г„ послужили отправной точкой в создании квантовой механики. Наконец, выведем формулу, выражающую через р оператор параллельного переноса в пространстве на любое конечное (а не только бесконечно малое) расстояние а. По определению такого оператора (назовем его Т,) должно быть Т,ф(г) = ф(г+ а). Разлагая функцию ф (г+ а) в ряд Тэйлора, имеем ф (г + а) = ф (г) + а — + да (г) $16! соотношпния неопгеделенности Прежде чем перейти к выяснению физического смысла этих соотношений и следствий из них, напишем две полезные для дальнейшего формулы.