Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 10

Эти функции, энеРГия и нмпульо ~гл. и а также сами собственные значения энергии, определяются урав- нением Нф = Еф. (!0,2) Стационарное состояние с наименьшим из всех возможных значением энергии называется нормальным или основным состоянием системы. Разложение произвольной волновой функции Ч" по волновым функциям стационарных состояний имеет вид В Ч'= Е а.е " '"'ф„й).

(!О,З) Квадраты ! а„)' коэффициентов разложения, как обычно, определяют вероятности различных значений энергии системы. Распределение вероятностей для координат в стационарном состоянии определяется квадратом ~ Ч'„)' = ) ф„~', мы видим, что оио не зависит от времени. То же самое относится и к средним значениям г = ~ Ч'„')Ч'„ей) = ) ф„'~ф„дд всякой физической величины ~ (оператор которой не зависит от времени явно). Как указывалось, оператор всякой сохраняющейся величины коммутативен с гамильтонианом. Это значит, что всякая сохраняющаяся физическая величина может быть измерена одновременно с энергией. Среди различных стационарных состояний могут быть и такие, которые соответствуют одному и тому же собственному значению энергии (или, как говорят, энергетическому уровню системы), отличаясь значениями каких-либо других физических величин.

О таких уровнях, которым соответствует по нескольку различных стационарных состояний, говорят как о вырожденных. Физически возможность существования вырожденных уровней связана с тем, что энергия, вообще говоря, не составляет сама по себе полной системы физических величин. Уровни энергии системы. вообще говоря, вырождены, если имеются две сохраняющиеся физические величины ) и л, операторы которых некоммутативны. Действительно, пусть ф есть волновая функция стационарного состояния, в котором, наряду с энергией, имеет определенное значение величина ~.

Тогда можно утверждать, что функция ~Ч не совпадает (с точностью до постоянного множителя) с ф; противное означало бы, что имеет определенное значение также и величина д, что невозможно, так как ~ и я не могут быть измерены одновременно. С другой стороны, функция уф есть собственная функция гамильтоииаиа, соответствующая тому же значению Е энергии, что и ф: йМф) =ййф =Е(рр). стдционлрныв состояния Ф !о! Таким образом, мы видим, что энергии Е соответствуют более чем одна собственная функция, т.

е. уровень вырожден. Ясно, что любая линейная комбинация волновых функций, соответствующих одному и тому же вырожденному уровню энергии, есть тоже собственная функция того же значения энергии. Другими словами, выбор собственных функций вырожденного значения энергии неоднозначен. Произвольно выбранные собственные функции вырожденного уровня, вообще говоря, не взаимно ортогональны, Надлежащим подбором их линейных комбинаций можно„однако, всегда получить набор взаимно ортогональных (и нормированных) собственных функций ').

Эти утверждения относительно собственных функций вырожденного уровня относятся, разумеется, не только к собственным функциям энергии, но и к собственным функциям всякого оператора. Автоматически ортогональными являются лишь функции, соответствующие различным собственным значениям данного оператора; функции же, соответствующие одному и тому же вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогоиальны. Если гамильтониан системы представляет собой сумму двух (или нескольких) частей, Й = Й, + Йв, одна из которых содержит только координаты д„ а другая — координаты фм то собственные функции оператора Й могут быть написаны в виде произведений собственных функций операторов Й, и Й,, а собственные значения энергии равны суммам собственных значений этих операторов. Спектр собственных значений энергии может быть как дискретным, так и непрерывным. Стационарное состояние дискретного спектра всегда соответствует финитножу движению системы, т.

е. движению, при котором система или какая-либо ее часть не уходит на бесконечность. Действительно, для собственных функций дискретного спектра интеграл ) ( Ч')в с(д, взятый по всему пространству, конечен. Это, во всяком случае, означает, что квадрат ( Ч' (з достаточно быстро убывает, обращаясь на бесконечности в нуль. Другими словами, вероятность бесконечных значений координат равна нулю, т. е. система совершает финитное движение или, как говорят, находится в связанном состоянии. Для волновых функций непрерывного спектра интеграл ~ Ч'(э с(о расходится.

Квадрат волновой функции ( Ч'!в не опреде- ') Причем зто может быть сделано бесчисленным множеством сиособсв; действительно, число независимых коэффициентов в линейном иреобразоваини и функций равно л', а число условий нормировки н ертогональиости л функций равно л ( л + !)г2, т. е. меньше, чем лэ. ггл. вв ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬО 48 ляет здесь непосредственно вероятности различных значений координат н должен рассматриваться лишь как величина, пропорциональная этой вероятности. Расходимость интеграла ) ) Чг(ес(а всегда бывает связана с тем, что (Ч" (и не обращается на бесконечности в нуль (нлн обращается в нуль недостаточно быстро). Поэтому можно утверждать, что интеграл ) ( Ч'~а Ид, взятый по области пространства, внешней по отношению к любой сколь угодно большой, но конечной замкнутой поверхности, будет все же расходиться.

Это значит, что в рассматриваемом состоянии система (или какая-либо ее часть) находится на бесконечности. Для волновой функции, представляющей собой суперпозицию волновых функций различных стационарных состояний непрерывного спектра, интеграл ) ) Чг)е вй) может оказаться сходящимся, так что система находится в конечной области пространства. Однако с течением времени эта область будет неограниченно смешаться, и в конце концов система уходит на бесконечность. Действительно, произвольная суперпозиция волновых функций непрерывного спектра имеет вид Ч'=) аке " фи(д)с(Е Квадрат модуля Ч' может быть написан в виде двойного интеграла ) Ч')' = ) ) ае ае е я фе (д) фе (Ч) в(Е е(Е'. Если усреднить это выражение по некоторому промежутку времени Т и затем устремить Т к бесконечности, то средние значения осциллирующих множителей ехр (в' (Е' — Е) тУЙ), а с ними и весь интеграл обратятся в пределе в нуль.

Другими словами, среднее по времени значение вероятности нахождения системы в любом заданном месте конфигурационного пространства обращается в нуль; но это возможно только, если движение происходит во всем бесконечном пространстве '). Таким образом, стационарные состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению системы. ') Заметим, что для функиии Ч', представля сигей собой суперпозипвпо функиий дискретного спектра, было бы (Ч'~'-'= ~В а„п' ехР ~ — „(Е,„—,Е„)В ~ фнф,*„= В (п„ф„(4) !', н,ы и т.

е. плотности вероятности остается при усреднении по времени конечной. мдтргшы $11. Матрицы Предположим для удобства, что рассматриваемая система обладает дискретным энергетическим спектром (все получаемые ниже соотношения непосредственным образом обобщаются и на случай непрерывного спектра). Пусть Ч' = 2,'а„Ч«„есть разложение произвольной волновой функции по волновым функциям Ч'„стационарных состояний.

Если подставить это разложение в определение (3„8) среднего значения некоторой величины 1, то получим ~= Е Еа.а.~а.(1), (1 1,1) где („„(() обозначают интегралы 1..(1)ее ~Ч;РР.Ф (11,2) Совокупность величин у„(1) со всеми возможными и, пг называют лгатриг(ег) величины Г, а о каждом из /„(1) говорят как о матричном элементе, соответствующем переходу из состояния пт в состояние и ').

Зависимость матричных элементов ~„(1) от времени определяется (если оператор 1 не содержит ! явно) зависимостью от времени функций Ч"„. Подставляя для них выражения (10,1), найдем, что (11,3) (1) = („е где Еп — Е»» от юл (1 1,4) есть частота перехода между состояниями и и т, а величины (11,5) составляют не зависящую от времени матрицу величины Г, которой обычно и приходится пользоваться '). ') Матричное представление физических величин было введено Гейзенбергом (Вг. Не(зелзегф в !925 г., еще до открытия Шредингером волнового уравнения.

«Матричная механика» была затем развита Бармам, Гейзенберсом н»гордоном (М. Вогл, Р. уогйпл). ») В связи с неопределенностью фазового множителя в нормированныя волновых фУнкнинх (см. 4 2) матРичные элементы )лм (и (лш (г)) тоже опРедег гя — я лены лишь с точностью до множителей вида е ' "' "). И здесь эта неопределеннссгь не отражается на физических результатах. 1гл. и ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС 50 Матричные элементы производной 1 получаются дифференцированием по времени матричных элементов величины 1; это следует непосредственно из того, что 1=1= Е Еа а.1..(() Ввиду (11,3) имеем, таким образом, для матричных элементов 1: 1ьт (() = ггвава1тиъ (() (1 1,7) нли (сокращая с обеих сторон временной множитель е'~ ') для не зависящих от времени матричных элементов (1)„= (гв„1„= — „' (ń— Е ) 1„. (! 1,8) В целях упрощения обозначений в формулах мы выводим ниже все соотношения для не зависящих от времени матричных элементов; в точности такие же соотношения имеют место и лля зависящих от времени матриц.

Для матричных элементов комплексно сопряженной с 1 величины 1* с учетом определения сопряженного оператора получим г - г (1*)ась = ) фл1'Фтг(у = ~фп1' й г(у= ) фт1'фаЩ т. е. (1'). =- (1-)' (11,9) Для вещественных физических величин, которые мы обычно только и рассматриваем, имеем, следовательно, 1. =1' ° (11,10) (1„;„стоит вместо (1 „)ь). Такие матрицы, как и соответствующие им операторы, называют зрмшповылги. Матричные элементы с и = и называют диагональными.

Эти элементы вообще не зависят от времени, а из (11,10) ясно, что они вещественны. Элемент 1„„представляет собой среднее значение 'величины 1 в состоянии ф„. Нетрудно получить правило умножения матриц. Для этого заметим предварительно, что имеет место формула 1ф =11.ч'. (! 1,1!) Это есть не что иное, как разложение функции 1ф„по функциям' ф,„с коэффициентами, определяемыми согласно общему правилу (3,5).