Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 5

Собственные значения величины / обозначим как >'„, где индекс и пробегает значения О, 1, 2, 3, ... Обозначим волновую функцию системы з состоянии, в котором величина ) имеет значение 1„, посредством Ч'„. Волновые функции Ч'„называют собстеениэ>ми 4ункциями данной физической величины ). Каждая из этих функций предполагается нормированной, так что 1 ) Ч>„~~ с(Ч = 1.

' (3,1) Ч'= ~ а„Ч'„, л (3,2) где суммирование производнтся по всем п, а а„ вЂ” некоторые постоянные козфф>шиенты. Таким образом, мы приходим к выводу, что всякая волновая функция может быть, как говорят, разложена по собственным функциям любой физической величины. О системе функций, по которым можно произвести такое разложение, говорят как о полкой системе 4рнкиий. Разложение (3,2) дает возможность определить вероятности обнаружения (путем измерений) у системы в состоянии с волновой функцией Ч' того или иного значения 1„величины 1. Действительно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, этн Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией Ч', то произведенное над нею измерение величины 1 даст в результате одно из собственных значений 1„.

В соответствии с принципом супсрпознпни можно утверждать, что волновая функция Ч' должна представлять собой линейную комбинацию тех из собственных функций Ч'„, которые соответствуют значениям 1„, могущим быть обнаруженными с отличной от нуля вероятностью при измерении, произведенном над системой, находящейся в рассматриваемом состоянии.

Поэтому в общем случае произгольного состояния фуикния Ч может быть представлена в виде ряда опвРАТОРы 23 вероятности должны определяться некоторыми билинейными по Ч' и Ч'" выражениями и потому должны быть билинейными по а„и а'„. Далее, эти выражения, разумеется, должны быть поло- жительными. Наконец, вероятность значения )'„должна обра- щаться в единицу, если система находится в состоянии с волно- ъой функцией Ч' = Ч'„, и должна обращаться в нуль, если в раз- ложении (3,2) волновой функции Ч" отсутствует член с данной Ч' . Единственной существенно положительной величиной, удовлет- воряющей этому условию, является квадрат модуля коэффици- ента а„. Таким образом, мы приходим к результату, что квадрат модуля ) а„)' каждого из коэффициентов разложения (3,2) оп- ределяет вероятность соответствующего значения )'„величины ) в состоянии с волновой функцией Ч".

Сумма вероятностей всех 'возможных значений г'„должна быть равна единице; другими словами, должно иметь место соотношение Е)а.!'= ( (3,3) Если бы функция Ч не была нормирована, то не имело бы места также и соотношение (З,З). Сумма ~ ) а„)' должна была бы л при этом определяться некоторым выражением, билинейным по 'Ч' и Чг* я обращающимся в единицу прн нормированном Ч'.

Таковым является только интеграл ) ЧгЧт~й~. Таким образом, должно иметь место равенство ~ а„а„' = ) ЧЧ' Ид. а С другой стороны, умножив на Ч' разложение Ч" = ~„а,"Чг„' комплексно сопряженной с Ч' функции Ч'а н проинтегрировав, получим ) ЧЧ'* дд = ~ а„) Ч"„Ч'пд. а Сравнивая это с (3,4), имеем ~ ~а„и„' = ~'„а„" ) Ч„'Ч' пд, откуда находим следующую формулу, определяющую коэффициенты а„разложения функции Ч' по собственным функциям Ч'„~ а„= ~ Ч'Ч'„'пд. (3,5) Если подставить сюда (3,2), то получим а„= Ъ„а„, ) Ч' Ч";,й~, основныв понятия квлнтовоя механики (гл.

з йа откуда видно, что собственные функции должны удовлетворять условиям ~Ч~ Ч;Ид=б„., (3,6) где 6„= ! при и = пт и 6„= О при и ~ пт. О факте обращения в нуль интегралов от произведений Ч' Ч'й с пз ~ и говорят как о взаимной ортогональноспти функций Ч'„. Таким образом, совокупность собственных функций Ч'„ образует полную систему нормированных и взаимно ортогональных (или, как говорят для краткости, — ортонормированных) функций.

Введем понятие о среднем значении ~ величины 7' в данном состоянии. Соответственно обычному определению средних значений определим ~ как сумму всех собственных значений 7'„ данной величины, умноженных каждое на соответствующую вероят. ность ) ап )з 7 = ~ 7„)ая)з, (3,7) Запишем (' в виде выражения, которое бы содержало не коэффициенты разложения функции Ч", а самую эту функцию. Поскольку в (3,7) входят произведения а„а,', то ясно, что искомое выражение должно быть билинейным по Ч' и Ч'е.

Введем некого. рый математический оператор, который мы обозначим как (т), и определим следующим образом. Пусть (РР) обозначает результат воздействия оператора 7 на функцию Ч'. Мы определим 7 так, чтобы интеграл от произведения (~Ч') на комплексно сопряженную функцию Чте был равен среднему значению 7: 1= ~ р*(ГР)Ф (3,8) Легко видеть, что в общем случае оператор )' представляет собой некоторый линейный ') интегральный оператор.

Действительно, воспользовавшись выражением (3,5) для а„, мы можем переписать определение (3,7) среднего значения в виде ~- ~ь..м-) т (Ь,гт)зд. ч л Сравнивая с (3,8), мы видим, что результат воздействия оператора ( на функцию Чт имеет вид ((Ч') = ~ а„)„Ч'„.

(з,й) ') Мы условимся обозначать везде операторы буквами со шляпкой.- ') Линейным называется оператор. обладаюшнй снойстнамн: у (Ч'т+ Ч'а) = У Ч'т + УЧ'„У (аЧ') = а(Ч', где Ч'т, Фа — пРонзнольные фУнкпнн, а а — пРо нзаольная постоянная, ОПЕРАТОРЫ е з) 25 Если подставить сюда выражение (З,б) для а„, то мы найдем, что ) есть интегральный оператор вида (Г~) = 1 К(Ь 9')Ч'ЮМ. (3,10) ') Ниже мы будем везде, где это не может привести к недорззуменню, опускзть скобки в выражении (1Ч'), причем оператор предполагается действующим нз написанное вслед зз ним вырзженне.

з) По определению, если для оператора 1 имеем Ц ю, то комплексно сопряженным оператором 1* будет оператор, дли которого имеет место 1э~>' = Ч'. где функция К (д, д') (так называемое ядро оператора) есть КИ ч ) Е У ЧгА(9)Ч (ч)' (3,! 1) Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике приводится в соответствие определенный линейный оператор. Из (3,9) видно, что если функцией Ч' является одна из собственных функций Ч'„(так что все а„, кроме одного, равны нулю), то в результате воздействия на нее оператора г эта функция просто умножается на соответствующее собственное значение )„т).' )Ч"„= )'„Чг„. (3,12) Таким образом, собственные функции данной физической величины Г являются решениями уравнения )'Ч' = 1%', где )' — постоянная, а собственные значения — это те значения постоянной 1, при которых написанное уравнение имеет решения, удовлетворяющие требуемым условиям.

Как мы увидим ниже, вид операторов для различных физических величин может быть определен из прямых физических соображений, и тогда указанйое свойство операторов дает возможность находить собственные функции и собственные значения посредством решения уравнений )'Ч' = ~Ч'. Как собственные значения вещественной физической величины, так и ее средние значения во всяком состоянии — вещественны. Это обстоятельство накладывает определенное ограничение на свойства соответствующих операторов.

Приравняв выражение (3,8) комплексно ему сопряженному, получим соотношение ~ Ч. дЧ) б9 = ~ Ч д Ч ) бй, (3,И) где ге обозначает оператор, комплексно сопряженный с ) з). Для произвольного линейного оператора такое соотношение, 26 Основные НОнятия квинтовой мехАннки ггл. ( вообще говоря, не имеет места, так что оно представляет собой некоторое ограничение, накладываемое на возможный вид операторов ), Для произвольного оператора ) можно указать, как говорят, транспонироеанный с ним оператор ), определяемый так, чтобы ~ Ф ((тр) г(г) = ~ Ч' (т)Ф) с(д, (3,14) С ругой стороны, имеем (7)ь = И Ч'РГЧ! ду7 = 1 т1'Гту" й1 = /Ч"1"К (д.

Приравняв оба выражения, найдем, что Г=Г. (3,16) откуда ясно, что 1', вообще говоря, не совпадает с 1а. Условие (3,15) можно написать теперь в виде (3,17) т. е, оператор вещественной физической величины совпадает со своим сопряженным (эрмитовы операторы называют тактке само. совряясенныаси). ") Дли линейного интегрального оператора вида 1330) условие армитовсстн оаначает„что ядро оператора дольтно быть таким, чтобы К (Ч, 4') = К" (Ч', а), где Чг, Ф вЂ” две различные функции. Если выбрать в качестве функции Ф сопряженнучо с Ч" функцию Чга, то сравнение с (3,!3)- показывает, что должно быть (3,15) Операторы, удовлетворяющие этому условию, называют эрмитоиыма ').