Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 4

Это значит, что если электрон находится в состоянии, описанном наиболее полным возможным в квантовой механике образом, то тем не менее его поведение в следующие моменты времени принципиально неоднозначно. Поэтому квантовая механика не может делать строго определенных предсказаний относительно булущега поведения электрона. При заданном начальном состоянии электрона последующее измерение может дать различные результаты. Задача квантовой механики состоит лишь в определении вероятности получения того или иного результата при этом измерении.

Разумеется, в некоторых случаях вероятность некоторого определенного результата измерения может оказаться равной единице, т. е. перейти в достоверность, так что результат данного измерения буде» однозначным, Все процессы измерения в квантовой механике можно разбить на дм категории. В одну из них, обнимающую большинство измерений, входят измерения, которые ни при каком состоянии системы не приводят с достоверностью к однозначному результату. В другую же входят измерения, лля каждого результата которых существует состояние, в котором измерение привалит с достовернастшо к данному результату. Именно эти последние измерения, которые можно назвать иредсказуеА«ыли, играют в квантовой механике основную роль.

Определяемые такими измерениями количественные характеристики состояния суть то, что в квантовой механике называют физическими величинами. Если в некотором состоянии измерение дает с достоверностью однозначный результат, то мы будем говорить, что в этом состоянии соответствующая физическая величина имеет опрелеленное значение. В дальнейшем мы будем везде понимать выражение «физическая величина» именно в указанном здесь смысле.

В лальнейшем мы неоднократно убедимся, что далеко ие всякая совокупность физических величин в квантовой механике может быть измерена одновременно, т. е. Может иметь одновременно определенные значения (об одном примере — скорости и координатах электрона мы уже говорили). Большую роль в квантовой механике играют наборы фязнчес кпх величин, обладающие следующим свойством: эти величины измеримы одновременно, причем если онн имеют одновременно !9 ПРинцип супеепозиции определенные значения, то уже никакая другая физическая величина (ие являющаяся их функцией) ие может иметь в этом состоянии определенного значения. О таких наборах физических величин мы будем говорить как о полных наборах.

Всякое описание состояния электрона возникает в результате некоторого измерения. Мы сформулируем теперь, что означает полное описание состояния в квантовой механике. Полным образом описанные состояния возникают в результате одновременного пзмерения полного набора физических величин. Г1о результатам такого измерения можно, в частности, определить вероятность результатои всякого последующего измерения яезависимо от всего, что происходило с электроном до первого измерения. В дальнейшем везде (за исключением только 9 14) под состояниями квантовой системы мы будем понимать состояния, описанные именно полным образом. й 2.

Принцип суперпозиция Радикальное изменение физических представлений о движении в квантовой механике по сравнению с классической требует, естественно, и столь же радикального изменения математического аппарата теории. В этой связи прежде всего возникает вопрос о способе описания состояния в квантовой мехнике. Условимся обозначать посредством д совокупность координат квантовой системы, а посредством Ыд — произведение дифференциалов этих координат (его называют элементом объема «онфигурационного пространства системы); для одной частиды й) совпадает с элементом объема е(У обычного пространства.

Основу математического аппарата квантовой механики составляет утверждение, что состояние системы может быть описано определенной (вообще говоря, комплексной) функцией координат Ч' (д), причем квадрат модуля этой функции определяет распределение вероятностей значений координат. ~Т)" сй) есть вероятность того. что произведенное над системой измерение обнаружит значения координат в элементе сЩ конфигурационного пространства. Функция Ч' называется волновой функцией системы ').

Знание волновой функции позволяет в принципе вычпсяять вероятности различных результатов также н вообще всякого измерения (не обязательно измерения координат). При этом все эти вероятности определяются выражениями, билинейными по 'Р и 1ге. Наиболее общий вид такого выражения есть (2,1) ц Оее Зиле впермее ееедеие в кеентееуп иееееику ейредииеерои (Е. Зсьгд~иедег, 192б).

20 ОСНОПГ!ЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ Э[ВХАНИКИ [гл. ! где функция !р (а, (!') зависит от рода и результата измерения, а интегрирования нронзводятся по всему конфигурационному пространству. Сама вероятность Ч'Ч'* различными значений координат тоже является выражением такого типа '). С течением времени состояние системы, а с ним и волновая функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую функцию можно рассматривать как функцию также и от времени.

Если волновая функция известна в некоторый начальный моменз времени, то по самому смыслу понятия полного описания состояния она тем самым в принципе определена и во все будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой функции от времени определяется уравнениями, которые будут выведены в дальнейшем, Сумма вероятностей всех возможных значений координат системы должна, по определению, быть равной единице.

Поэтому нужно, чтобы результат интегрирования )Ч')э по всему конфигурационному пространству был равен единице: ~ ) Ч~ )э й~ =!. (2,2) Это равенство представляет собой так называемое условие нормировки волновых функций. Если интеграл от ~Ч'[э сходится, то выбором соответствующего постоянного коэффициента функция Ч' всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы увидим, однако, в дальнейшем, что интеграл от ~Ч')э может расходиться и тогда Ч' не может быть нормирована условием (2,2). В таких случаях [Ч')э не определяет, конечно, абсолютные значения вероятности координат, но отношение квадратов ) Ч")э в двух различных точках конфигурационного пространства определяет относительную вероятность соответствующих значений координат.

Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции величины с непосредственным физическим смыслом имеют вид (2,1), в котором Ч" входит умноженной на Ч'э, то ясно, что нормированная волновая функция определена лишь с точностью до постоянного фазового множителя вида е!", где от — любое вещественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не можеа быть устранена; однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических результатах. В основе положительного содержания квантовой механики лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функции> заключающихся в следующем. Пусть в состоянии с волновой функцией Ч'! (а) некоторов измерение приводит с достоверностью к определенному резуль- ') Оно получается нэ (2,1) при ф (Ч, о') = б (д — дч) б (д' — дч), где б обо энэчэет тэк нээынээмую б-фуикпию, определяемую ниже, н б 5; посредспюм ээ обозначено энэченне координаты, ээроятность которого мы ищем. ОПЕРАТОРЫ 4 э! тату — результату 1, а в состоянии Ч', (г)) — к результату 2.

Тогда принимается, что всякая линейная комбинация Ч'т и Ч'„ т. е. всякая функция вида стЧгт + саЧ'е (с» с, —. постоянные), описывает состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1, либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам известна зависимость состояний от времени, которая для одного случая дается функцией Ч', (д, 1), а для другого — Ч', (д, (), то любая их линейная комбинация тоже дает возможную зависимость состояния от времени. Эти утверждения составляют содержание так называемого ириицыпа супераозиции состояний — основного положительного принципа квантовой механики. Из него следует, в частности, что все уравнения, которым удовлетворяют волновые функции, должны быть линейными по Ч'.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, и предполо. жим, что состояние этой системы задано так, что каждая из ча. стей описана полным образом '). Тогда можно утверждать, что вероятности координат г)т первой части независимы от вероятностей координат де второй части, и потому распределение вероятностей для системы в целом должно быть равно произведению вероятностей для ее частей. Это значит, что волновая функция Чггэ (з„г)е) системы может быть пРедставлена в виде пРоизведениЯ волновых функций Ч', (дг) и Ч', (г)я) ее частей: Ч'ге (Чг Чэ) = Ч' (Чт) Ч'е (Чэ).

(2,3) Если обе части не взаимодействуют друг с другом, то такое соотношение между волновыми функциями системы и ее частей сохранится и в будущие моменты времени: (2,4) й 3. Операторы Рассмотрим некоторую физическую величину у, характеризующую состояние квантовой системы. Строго говоря, в нижеследующих рассуждениях следовало бы говорить не об одной величине, а сразу о целом полном их наборе. Однако все рассуждения от этого по существу не меняются, и в целях краткости и простоты мы говорим ниже всего лишь об одной физической величине. Эначения, которые может принимать данная физическая величина, называют в квантовой механике ее собственными значе- ') Тем самым, конечно, дана н полное описание состояния системы в целом.

Подчеркнем, однако, что обратное утверждение отнюдь не справедлнао: полное описание состояния системы как целого епге не определяет, вообп~е говоря, полным обраэом состояний ее отдельных частей (см, также $14), [гл. [ 22 основные понятия кзднтовон механики паями, а об нх совокупности говорят как о спектре собственных значений данной величины. В классической механике величины пробегают, вообще говоря, непрерывный ряд значений. В квантовой механике тоже существуют физические величины (например, координаты), собственные значения которых заполняют непрерывный ряд; в таких случаях говорят о непрерывном о>ектре собственных значений. Наряду с такими величинами в квантовой механике существуют, однако, и другие, собственные значения которых образуют некоторый дискретный набор; в таких случаях говорят о дискретном спектре. Будем считать сначала для простоты, что рассматриваемая величина 1" обладает дискретным спектром; случай непрерывного спектра рассматривается в $ 5.