Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 7

е, такой, для которого траиспонированный оператор равен взятому с обратным знаком комплексно сопряженному). Он может быть сделан эрмптовым умножением на (; таким образом, (4.7) И. й=Ч вЂ” йг для так называевюго коммупанюра операторов. Легко в том, что имеет место соотношение (И. Ы =(1. й)Ю+~Ы, й). (4,8) убедиться (4,9) Заметим, что если (),,6( = О и Ц, й~ = О, то отсюда, вообще говоря, отнюдь не следует, что и ( и й коммутативны, ф 5. Непрерывный спектр Все выведенные в 5 3, 4 соотношения, описывающие свойства собственных функций дискретного спектра, без труда могут быть обобщены на случай непрерывного спектра собственных значений. есть тоже эрмитов оператор. В дальнейшем мы будем иногда пользоваться для краткости обозначением непгееывиып спакте З! Пусть ! — физическая величина, обладающая непрерывным опектром.

Ее собственные значения мы будем обозначать просто той же буквой ) без индекса, а соответствующие собственные функции будем обозначать Ч'ь Подобно тому как произвольная волновая функция Чг может быть разложена в ряд (3,2) по собственным функциям величины с дискретным спектром, она может быть также разложена — на этот раз в интеграл — и по полной системе собственных функпий величины с непрерывным спектром.

Такое разложение имеет вид *р(д) = ~а,Р,(д)я, где интегрирование производится по всей области значений, ко. торые может принимать величина Более сложным, чем в случае дискретного спектра, является вопрос о нормировке собственных функций непрерывного спектра. Требование равенства единице интеграла от квадрата модуля функпии здесь, мы как увидим далее, невыполнимо. Вместо этого поставим себе целью пронормировать функции Ч'~ таким образом, чтобы ! аг !'Щ представляло собой вероятность рассматриваемой физической величине иметь в состоянии, описываюшемся волновой функцией Ч', значение в заданном интервале между 1 и ! + Щ.

Поскольку сумма вероятностей всех возможных значений ~ должна быть равна единице, то имеем ) (а~('ф = ! (5,2) (аналогично соотношению (3,3) для дискретного спектра). Поступая в точности аналогично тому, как мы делали при выводе формулы (3,5), и используя те же соображения, пишем, с одной стороны, (5, 1) а! = ) п! ДЧ.'~ Ч! 0д~4'. ) Ч'Ччй~ = ) (а1(згд, и, с другой стороны, ! Ч'Ч" Нд = ) ) а~"71'Чгд~ й~. Из сравнения обоих выражений находим формулу, определяюшую коэффициенты разложения а1 = )' Ч'(д) Ч'7(д) "д, (5,3) в точности аналогичную (3,5). Для вывода условия нормировки подставим теперь (5,!) в (5,3): 1гл. ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Это соотношение должно иметь место при произвольных ау и потому должно Выполняться тождественно.

Для этого необходимо прежде всего, чтобы коэффициент при а! Под знаком интеграла (т. е. интеграл ~ Ч', Ч'! Ид) обращался в нуль при всех При )' = ) этот коэффициент должен обратиться в бесконечность (в противном случае интеграл по !(у' будет равен просто нулю). Таким образом, интеграл ) Ч'! Ч'! !тд есть функция разности 1 — ~', обращающаяся в нуль при отличных от нуля значе. пнях аргумента и в бесконечность при равном нулю аргументе.

Обозначим эту функцию посредством 6 (1' — 1)! ') Чт! Чт! т)4 = 6 ()' — )). (5,4) Способ обращения функции 6 (1' — 1) в бесконечность при 1' — 1 = 0 определяется тем, что должно быть ~ 6К вЂ” ))а! ф' = ар Ясно, что для этого должно быть ~6() — ))ф' =1. Определенная таким образом функции называется бчрункцией '). Выпишем еще раз определяющие ее формулы. Имеем 6 (х) = 0 при х чь О, 6 (О) = оо, (5,5) причем так, что +» 1 6(х)!(х = 1. (5,5) Ш В качестве пределов интегрирования можно написать любые другие, между которыми находится точка х = О.

Если у (х) есть некоторая функция, непрерывная при х = О, то +И ) 6 (х) 1(х)т(х = 1(0). (5,7) 03 В более общем виде эта формула может быть написана как ) 6(х — а)1(х) !(х =1(а), (5,8) где область интегрирования включает точку х = а, а ! (х) — не. прерывна при х = а. Очевидно также, что 6-функция четна, т. е. 6 ( — х) = 6(х). (5,9) ') Дельта-функция была введена в теоретическую физику Дираком (Р. А.

М. О!гас). непРБРИВный спектР $6! Наконец, написав ) 6(ах)дх = ) 6(») —" заключаем, что 6(ах) = — 6(х), 1 )а( (5,10) где а — любая постоянная. Формула (5,4) выражает собой правило нормировки собственных функций непрерывного спектра; она заменяет собой условие (3,5) дискретного спектра. Мы видим, что функции Ч'1 и с»1 с ( ~ 1' по-прежнему ортогональны друг к другу.

Интегралы же от квадратов ) Ч'г 1' функций непрерывного спектра расходятся. Функции Ч'г (д) удовлетворяют еше одному соотношению, сходному с (5,4). Для его вывода подставляем (5,3) в (5,1), что дает Ч'(а) = ~ '» Ю О,~ с»1 (4') Чс (4) с(() М' откуда сразу заключаем, что должно быть ) ч'1 Юч'1М4=6(а — 4') (5,11) Аналогичное соотношение может быть, разумеется, выведено и для дискретного спектра, где оно имеет вид Е Ч"«' (4') Ч'. (4) = 6 (4' — 4) (5,!2) Сравнив пару формул (5,1) и (5,4) с парой (5,3) и (5,11), мы видим, что, с одной стороны, функции Ч'1 (с1) осуществляют раз. ложенне функции с» (д) с коэффициентами разложения ап а, с другой стороны, формулу (5,3) можно рассматривать как со. вершенно аналогичное разложение функции а1 = — а ()) по функ.

пням Ч'1 (а), причем роль коэффициентов разложения играет Ч' (а). Фунпсция а ()), как и с» (д), вполне определяет состояние системы; о ней говорят как о волновой функции в)-предспсаелеиии (а о функ. ции с» (д) — как о волновой Функции в д-представлении). Подобно тому как ! Ч' (а) 1' определяет вероятность для системы иметь координаты в заданном интервале с(с), так ~ а Я 1' определяет вероятность значений величины ) в заданном интервале с(1. Функции же Чс, (д) являются, с одной стороны, собственными функциями величины,' в д-представлении и, с другой стороны, их комплексно сопряженные Ч') (д) представляют собой собственные функции координаты с) в 1-представлении.

Пусть ср (1) — некоторая функция величины 1, причем такая, что Ч и 1 связаны друг с другом взаимно однозначным образом. Каждую нз функцвй Ч', (а) можно тогда рассматривать н как собственную функцию величины ф. При этом, однако, необходимо изменить нормировку этих функций. Действительно, собственные функции Ч' (()) величины (р должны быть нормированы условием ~ 'Ре (гоЧ" (н М = 6 [ф (Г) — ф й), между тем как функции Ч'т нормированы условием (5,4). Аргумент 6-функции обращается в нуль при Г = 1.

При у', близком к ), имеем ф((') — ф й = —,Ч вЂ” () ! др(Д я) Ввиду (5,10) мы можем поэтому написать ') 6 [(р (1') — ф ())) = „6 ()' — )) (5,!3) Сравнение (5,13) с (5,4) показывает теперь, что функции Ч" и Ч'у связаны друг с другом соотношением ! Существуют такие физические величины, .которые обладают в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в другой — непрерывным. Дли собственных функций такой величяны имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только отметить, что полную систему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе.

Поэтому разложение произвольной волновой функции по собственным функциям такой величины имеет вид Ч'(ф) = Е пнЧ'н (ф) + ~ п(Ч'т (4) (у, (5, 15) (5,!4) где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непрерывному спектру. Примером величины, обладающей непрерывным спектром, является сама координата (). Легко видеть, что соответствующим ей оператором является простое умножение на (1. Действительно, ') Вообн(е, если ф (х) есть некоторая однозначная функция (но обратная ей функция может быть неодноаначноа), то имеет место формула б (ф (хВ = р,. б (х — (а(1, ( л'( [ф'(а(11 (б,(За) где а( — корни ураанення ф (х) = О. 34 ОСНОВНЫВ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ (гл.

1 ПРЕДЕЛЬНЫИ ПЕРЕХОД поскольку вероятность различных значений координаты определяется квадратом ) Ч'(о) (з, то среднее значение координаты й = ~ д) Ч'(ай) Рз ~ Ч'едЧ'с(((. Сравнив это выражение с определением операторов согласно (3,8), мы видим, что ") п=о. (5,!6) Собственные функции этого оператора должны определяться, со. гласно общему правилу, уравнением дЧ'е, = деЧт„, где посредством де временно обозначены конкретные значенйя координаты в отличие от переменной д. Поскольку это равенство может удовлетворяться либо при Ч'„= О, либо при д = фю то ясно, что удовлетворяющие условию нормировки собственные функции есть ') Ч„= б(Ч вЂ” б,).

(5,(7) й 6. Предельный переход Квантовая механика содержит в себе классическую в качестве предельного случая. Возникает вопрос о том, каким образом осуществляется этот предельный переход. В квантовой механике электрон описывается волновой функцией, определяющей различные значения его координаты; об втой функции нам известно пока лишь то, что она является решением некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных. В классической же механике электрон рассма. трнвается как материальная частица, движущаяся по траектории, вполне определяющейся уравнениями движении. Взаимоотношение, в некотором смысле аналогичное взаимоотношению между квантовой и классической механикой, имеет место в электродинамике между волновой н геометрической оптикой.