Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu), страница 6

Таким образом, операторы, соответствующие и математическом аппарате квантовой механики вещественным физическим величинам, должны быть эрмитовыми. Формально можно рассматривать также и комплексные физические величины, т. е. величины, собственные значения которык комплексны. Пусть 1 есть такая величина. Тогда можно ввести комплексно сопряженную с ней величину )ь, собственные значения которой комплексно сопряжены с собственными значениями ), Оператор, соответствующий величине гь, обозначим посредством )'. Его называют сопряженныле оператору ) и его необходимо, вообще говоря, отличать от комплексно сопряженного оператора гь, действительно, по опрсделению оператора 1', среднее значение величины ге в некотором состоянии Ч' есть сложение и умнОжение ОпеРлтОРОВ 21 Понажем, каким образом можно непосредственно доказать вэаммную Ортогональность собственных функций эрмитова оператора, соответствующих различным собственным значениям.

Пусть 1„, 1 — два различных собственных значения веществен. кой величины 1, а Ч'„, Ч'„— соответствующие им собственные функции: Рул ~л 1ю Умножив обе стороны первого из этих равенств на Ч';л, а ра. венство, комплексно сопРЯженное втоРомУ, — на Ч'л н, вычтЯ эти произведения почленно друг из друга, получим Ч"т1'Рл — Ч'п) "Ч'п1 = (~л — ~т) ЧплТи Нроннитегрируем обе части этого равенства по ид. Поскольку 1л = ~, то а силу 13,14) интеграл от левой части равенства обращается в нуль, так что получим 11„— 1.) ) Ч „Ч;„бд = О, откуда, ввиду )„чь ), следует искомое свойство ортогональности функций Ч'„ и Ч" 1п)ы все время говорим здесь только об одной физической величине 1, между тем как следовало бы говорить, как было отмечено в начале параграфа, о полной системе одновременно измеримых физических величин.

Тогда мы нашли бы, что каждой из этих величин 1, д, ... соответствует свой оператор 1, й, ... Собственные функции Ч'„соответствуют состояниям, в которых все рассматриваемые величины имеют определенные значения, т. е. соответствуют определенным наборам собственных значений 1„, д„, ... н являются совместными решениями системы уравнений гЧ' = 11Р фЧ' = ЕЧ" й 4. Сложение и умножение операторов Если 1' и ~ — операторы, отвечающие двум физическим величинам ) н д, то сумме ) + д отвечает оператор 1 + 1т.

Смысл сложения различных физических величин в квантовой механике, однако, существенно различен в зависимости от того, измеримы ли этн величины одновременно или нет. Если величины 1 и я одновременно измеримы, то операторы ) и дт имеют совместные собственные функции, которые являются в то же время к собственными функциямн оператора 1 + К, а собственные значения последнего оператора равны суммам )„+ д„. Если же величины ) и д не могут иметь одновременно определенных значений, то смысл их суммы 1+ д более ограничен. яэ основные понятия квлнтовои мехлникн игл.

г Можно лишь утверждать, что среднее значение этой велячнны в произвольном состоянии равно сумме средних значений каждого из слагаемых в отдельности: 1-)-И =7+Й (4, () Что же касается собственных значений и функций оператора г + И, то здесь оии, вообще говоря, не будут иметь никакого отношения к собственным значениям и функциям величин ) и И. Очевидио, что если операторы ( и й — эрмитовы, то эрмитовым будет и оператор ) + Й, так что его собственные значения — вещественны и представляют собой собственные значения определенной таким образом новой величины ~ .г И.

Отметим следУющУю теоРемУ. ПУсть )„Ио — наименьшие собственные значения величин ), И, а (г + И), — то же для величины ~ + И. Тогда можно утверждать, что Ч + И)о ~~ 1о + Ио. (4,2) Знак равенства имеет место, если величины ) и И одновременно измеримы. Доказательство следует из очевидного факта, что среднее зиачеиие величины во всяком случае больше или равно ее наи. меньшему собственному значению. В состоянии, в котором вели. чина () + И) имеет значение Ц + И)„имеем () + И) = (г + И)„ и посколькУ, с дРУгой стоРоиы, (~ + И) = ) + И ~~,ло + И„мы приходим к неравенству (4,2).

Пусть теперь снова Г и И вЂ” одновременно измеримые нели- чины. Наряду с их суммой можно ввести понятие и об их произведении как о величине, собственные значения которой равны произведениям собственных значений величин ) и И. Легко видеть, что такой величине соответствует оператор, действие которого состоит в последовательном действии иа функцию сначала одного, а затем другого оператора. Такой оператор изображается математически как произведение операторов г и Й.

Действительно, если Ч'„— общие собственные функции операторов ( н И, то имеем и'Р. = 1 (ФЧ'.) = 1И.Ч. = И.|'Ро = Ио)оЧ'. (символ )Й обозначает оператор, действие которого на функцию Ч' заключается в последовательном действии сначала оператора й иа фуикцию Ч', а затем оператора г на функцию ИЧг). С тем же успехом мы могли бы взять вместо оператора Я оператор И(, отличающийся от первого порядком множителей. Очевидно, что результат воздействия обоих этих операторов на функции Ч"„ будет оаинаковым, Но поскольку всякая волновая функция Ч' может быть представлена в виде линейной комбинации функций Ч"„, чо отсюда следуе~, что одинаковым будет результат воздействия сложение и умнОжение ОпеРАтОРОВ РЯ операторов Ци Кг и на произвольную функцию.

Этот факт может быть записан в виде символического равенства Яй = й) или (4,3) О таких двух операторах Г и й говорят, как о комАЕтативных друг с другом. Таким образом, мы приходим к важному результату: если две величины ~ и д могут иметь одновременно определенные значения, то их операторы коммутативны друг с другом. Может быть доказана и обратная теорема (см. ~ ! !): если операторы ) и й коммутативны, то у них все собственные функции можно выбрать общимн, что физически означает одновременную нзмеримость соответствующих физических величин. Таким образом, коммутативность операторов является необходимым и достаточным условием одновременной измернмости физических величин. Частным случаем произведения операторов является оператор, возведенный в некоторую степень.

На основании сказанного мы можем заключить, что собственные значения оператора ГР (р— целое число) равны собственным значениям оператора г, возведенным в ту же р.ю степень. Вообще, можно определить любую функцию оператора у (г) как оператор„собственные значения которого равны такой же функции ~р ф собственных значений оператора г. Если функция ~р Щ разложима в ряд Тэйлора, то таким разложением действие оператора ~р (г) сводится к действию различных степеней гР. В частности, оператор ) ' называется обратным Оператору Г. Очевидно, что в результате последовательного воздействия операторов г и )' ' на произвольную функцию последняя остается неизменной, т. е. Ц ' = ) ') = !.

Если же величины )' н я не измеримы одновременно, то понятие их произведения не имеет указанного выше прямого смысла. Это проявляется уже в том, что оператор ~~ в этом случае не будет врмитовым, а поэтому не может соответствовать вещественной физической величине. Действительно, по определению транспонированного оператора, пишем ~ Ч7аФбй = ~Ч7(аФ) И = ~(аФ) Уу)Ф Здесь оператор ) действует только на функцию Ч', а оператор у на Ф, так что под интегралом стоит просто произведение двух функций: йФ и !т(т, Применив еще раз определение транспоннрованного оператора, пишем ~ '6аФ бй = ~ ЧЧ"НаФ) бй = ~ ФаЬ бп. 30 основные понятия квантовон механики игл. Таким образом, мы получили интеграл, в котором по сравне. нию с первоначальным функпии Ч' и Ф поменялись местами.

Другими словами, оператор ф' есть оператор, транспонированный с )д, и мы можем написать (а=а6 (4,4) — оператор, транспоиированный с произведением (й, есть про-' изведение транспонированных множителей, написанных в обратном порядке. Взяв комплексно сопряженное от обеих сторон равенства (4,4), найдем, что (Ц)+ д+~~ Если каждый из операторов ) и Ь вЂ” эрмитов, то Щ)' = ~ф, Отсюда следует, что оператор Я будет эрмитовым, только если множители е и й — коммутативны. Отметим,. что из произведении )и и Я двух некоммутативиых эрмитовых операторов можно составить эрмитов же оператор— их еимметризовамное произведение в (~в+а))' Легко также убедиться в том„что разность Ц вЂ” й)' есть «антнэрмнтовэ оператор (т.