Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 11

~2 ~~у»~ Отсюда следует, что если величина 7 является термодинамической величиной адаптивного типа, у = у', т. е, такой, что эг ° Ф, тогда (~йг)з дг б,,„дг-цз если же величина 7 является величиной неаддитивной, 7 = р, т.е. такой, что и ° Ф~ = 1, то -~1г (чь~р)з — б у флуктуации с указанной асимптотической по Лг (или по У) зависимостью принято называть терягодиножическииы фяуктуаиияяги (как мы это уже делали в предыдущем з2). 2) Рассмотренные Ь-состояния не вызываются какими-либо специальными внешними силами. Их появление связано с тем, что эти состояния, являясь элементами смешанного состояния, входят в число Г всех реализаций данного равновесного состояния системы и их существование является тем неистребимым тепловым шумом», который характерен для любой статистической системы. 3) В квазитермолинамической теории флуктуаций полагается, что число этих Ь-состояний асимптотически преобладает над числом микросостояний, имеющих нетермодинамический характер.

Именно это н обеспечивает соответствующую адлитивную структуру дисперсий (ЬУ')' и (Ь~р)~. Преобладание нетермодинамических состояний привело бы к иной зависимости этих величин от аддитивного параметра (мы проследили эту возможность в 5 2). 41 б 3. Квозоглермодинамоческоя влеороя флукп~уацов 4) Расчет дисперсии какой-либо величины при выборе дополнительных условий типа 13 или 7, соответствующих каноническому или большому каноническому распрелелениям Гиббса, выполненный в рамках полуфеноменологической теории нли с помощью канонических распределений лля термодинамнческих флуктуаций, должен приводить к одним и тем же результатам (отличие может быть только в членах, не составляющих главной аснмптотики по йг), так как и канонические распределения Гиббса, и рассмотренная теория флуктуаций основываются на олних и тех же исходных положениях.

Заметим, кстати, что по отношению к каноническим распределениям (в которых В = сопи н ЬВ = 0) результат для дисперсии (ЬВ)~ является новым, т. к. получить его при выборе вариантов )3 или 7 невозможно в силу исходной заланности величины В. 5) Полуфеноменологическая теория флуктуаций тесным образом (дохолящим зо буквальных повторений) связана с термодинамической теорией устойчивости статистических систем (см. т.

1, Эб). Требование ЬЯ = Я' — Я < 0 для изолированной системы (или требование устойчивости 0-состояния по отношению к флуктуационным в3-отклонениям) формально сводилось к требованию положительности всех Лк > 0 (или положительности соответствующих дисперсий). Это накладывает определенные физические условия на саму систему. В частности, для пространственно однородной системы это сразу привело к известным условиям устойчивости сук>0, — — >О. 6) Отметим интересное следствие, вытекающее из записанного в промежуточной Оюрме (*) выражения для вероятности вод.

Если лля изолированной системы (см. рис. 5 а, величины вг, У,о, 1т не флуктуируют) мы имели (исходная формула Эйнштейна) вол ~кг, - ехр (в3Я), то согласно (*) для системы в термостате, изображенной на рис.5 13 (В, 1г,о,бг фиксированы), 1 ( ьяг1 вод! ~ ехр — -(Ьо — Ь(ВЯ))) = ехр ~ — — ); В ) (( в) зля системы, выделенной воображаемыми стенками (рис. 5 7), 1 ( бзй1 вод~ ехр — -(ЬЯ вЂ” Ь(ВЯ) — Ь(рйг))) = ехр ~ — — ); вгак в) зля системы «под поршнем» (рис. 5 б) 1 ( Ьм1 ,), „- р( — -~ью~ььг)-мвм)1= о1 — — 1. Эти же формулы можно получить и не прибегая к промежуточной формуле (в). Каждая из этих формул может быть взята вместо зйнштейновской (а) в качестве исходной для получения необходимых рабочих вариантов. Характер этих формул согласован с экстремальными особенностями термодинамических потенциалов, отмеченных в э 3. Мы воспользуемся вариантом (13) в задаче 39 (термостат конечных размеров) и в задаче 44, в которой сделана попытка простейшего учета градиентных членов в отклонении Ьб'.

42 Вава 1. Теорвя флуяшупций 7) Все квазитермодинамическое рассмотрение флуктуаций существенно основывалось иа их относительной малости. Поэтому в тех случаях, когда полученные формулы дают большие или даже бесконечные значения флуктуаций (в наших примерах да — оо при Р— О и Ỡ— оо при приближении к критической точке, в которой (др/дв)» = 0), количественная их оценка уже не может быть оправдана, теория в этих случаях определяет только тенденцию к увеличению фдукгуаций при определенных условиях. При возрастании величин флуктуаций нарушаются многие из сделанных нами физических предположений, флуктуации уже не могут считаться независимыми друг от друга, аддитивными, квазистатическими и т.д., для их описания помимо членов типа ~', дающих гауссово распределение, существенны будут члены более высоких порядков (пример такой ситуации рассмотрен в задаче 2!), а также вклалы, пропорциональные градиентам этих величин, т.

е. потокам между отдельными областями (см. задачу 44), возникают пространственные корреляции флуктуаций и т.д. Мы не будем затрагивать всех этих проблем, существенно выходящих за рамки общего курса. Раздел «Задачи и дополнительные вопросы к главе 1» включает 44 задачи, часть из которых действительно является задачами, использующими предложенный в основном тексте формализм. Из дополнительных вопросов отметим примеры, связанные с использованием методов 4юрмальной теории вероятностей (1 — 5), в разделе «Канонические распрелеления и теория флуктуаций» вЂ” исследование общего вопроса о гауссовости распределения по энергии и числу частиц в рамках канонического распределения Гиббса, в разделе «Классические системы» — задачи 24, 25, а также 44, связанные с использованием величин р» — фурье-компонент плотности числа частиц и их связи с парной корреляционной функцией и флуктуациямн плотности, в залачах 28, 29 участвуют системы из гармонических осцилляторов (резонатор, струна; равновесному электромагнитному излучению посвящен самостоятельный раздел), и, наконец, задача 43 — традиционная проблема рассеяния света на флуктуациях плотности.

Задачи и дополнительные вопросы 5 1. Бинемиальное распределение, или распределение Бернулли, в теории флуктуаций Пусть вероятность свершения какого-либо события при однократном эксперименте над системой равна р. Тогда вероятность того, что при лГ пробах это событие произойдет и раз и не произойдет (!!г — и) раз в случае, когда каждая нз проб независима от других, определяется формулой Бернулли (Р. Беглова!, середина Хй!! в.) !!г! го„(йг) =,( ' ), р" (! — р)~ ", где первый множитель — комбинаторного происхождения (число способов выбрать и элементов из йг) появляется вследствие того, что мы не фиксируем порядка выпадения каждого из и событий, так как он у нас любой, второй представляет вероятность и-кратного свершения события, а третий — вероятность (йГ- и)-кратного его несвершения (каждое из этих событий независимо друг от друга). Легко показать, используя формулу бинома Ньютона, что геь(Ю) — 1, и — ~~~ иге„(Н) = Нр ~~~ гем(йà — 1) = зТр, и о.

=о ~=о Ф-з и2 = и(и — 1)+ и = М(И вЂ” 1)р Х ш (И вЂ” 2)+Мр = Мр(! — р)+ йГ р, (Ьи) = и~ — (и) = лгр(! — р) н т.д. В тех случаях, когда какое-либо из чисел, стоящих под знаком факториала, велико по сравнению с единицей, можно воспользоваться асимптотической формулой Стнрлинга ,к и /К' К! = тг2кК ~ — ) при К >) !. з,е Тогда биномиальное распределение допускает следуюшие видоизменения.

1) Случай Пуассона (Б. Ро!эзоп): М » 1, и — любое, и = йГ р не рас ге г с ростом йг (т.е. при лГ -+ со вероятность р - 0). Используя формулу Стнрлинга и учитывая, что (! — и/лГ)л „, — е ", получим пз закона Бернулли в этом случае распределение в„(Ю) = — е = — е и я (1!гр) нг и! гй Задачи и дололниглельные вопросы к главе 1 2) Случай Гаусса (С. Сацвэ) (или случай Лапласа (Р Бар!асс): йг» 1, п» 1, дг»н. В этом случае иэ распределения Бернулли или распределения Пуассона с помошью формулы Стирлинга и разложения для логарифма !п (1+ х) = х — -х +..., х ~ 1, 11 2 получаем в случае, когда х = Ьп/и ч.

1, распределение Гаусса: й)з ( - дг~)з вм(лГ) = схр ехр — ~ г(дг( гмх~р-р) ~ гхрО-мг Задача 1. В поле зрения микроскопа наблюдатель через основной окуляр видит 200 брауновскнх частиц. Более «точныйв, второй окуляр таков, что ега поле зрения составляет 1/100 часть первого. Какова вероятность не обнаружить в этом поле зрения ни одной частицы. обнаружить одну частицу... и т.дд Решение. В данной ситуации лля яторого эксперимента реализуется случай Пуассона со средним числом частиц в поле зрения второго окуляра 6 = 200/! 00 = 2. Поэтому сразу имеем 0 1 2 3 4 5 б ™ Рнс.