Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 15

Олнако мы воспользуемся случаем и проведем зто исследование иным способом. Чтобы пользоваться полученным распределением шг, необходимо знать явную его зависимость от величины У. Пусть У = 7" — равновесное значение объема, для которопз имеет место термолинамнческое соотношенке д!»(В, У») дУ» и»»У = У вЂ” у'. Тогла, разлагая в ряд Тейлора по ЬУ/ у', получим в экспоненте »»(В, У)+РУ = 2Р(Р, У )+РУ' — — — (с»У) — — — (22У) — — — (б ) †..

1 др 1 дзр 2 1 дтр 2 дУ' б дУ»2 24 дУ' Рис. 20. Схема системы, е которой учет теплового движения поршня, обеспечивающего постоянное давление а цилиндре, упрощает решение вопроса об нзотерммческих флукгуацмях обьема находяе!егося под поршнем газа гле объем У = ЯЛ выбран в качестве обобщенной координаты, канонически сопря2кенный по отношению к величине У импульс определяется как дН»»»»»» р у дУ В' а р = Мл/Я вЂ” давление на рассматриваемую систему. Гамид ьтониан всей системы запишется как где х = (Р,,..., Рн1 гн..., гн), Если тепеРь каноническое РаспРеде- ление П2ббса ш,гр(В, р, 29) проинтегрировать по всем значениям х н Р и учесп, что 63 О 4.

Флукшуацоо в ллассоческох сосаземах Если (др/д у')ал ( О, то мы получаем гауссово распределение зз = ( 1 +~ з — гг') / ,' (- ~,) и дисперсию объема (в = У/!1Г; е = 7'"/!зз) !згв — 1 В (г3У)г = (У вЂ” У)г = (в,)г (-Вр/8 ),' йг(-Вр/Ве)е В критической точке, котла (др/87')з» = О мы должны иметь одновременно (условия устойчивости критического состояния) Поэтому распределение юг уже не имеет вида гауссова распределения: изг = ехр 1( — — (У - 'у') ! ! ехр 1( — — (У вЂ” у') 3! з!У. ~,24В ВУ'з ) /',/ ~,248 87'з е Учитывая, что Г-функция имеет интегральное представление е х Вх=Г(х), е получаем в этом случае 248 Г ( з/з) згг У) г !ЗГзи 1 66 Взр/8'рз Г (1/4) д р(В, е) н Вез 1 В (гхе)з Ы вЂ” 1,66 !у'М ' Взр(В «) Вез Лзя газа Ван дер Ваальса, например, ( ) о 'з Зо р+ )(е Ь)=В, е„а=3Ь, В„е ооозначая уз = е/е„, н т = В/В,, легко получить Ьг(3 — 1) з3(! т)~ Таким образом, в рамках модели, в которой флуктуируюшим объектом являетсв макроскозическая порция газа при однородных и фиксированных значениях температуры и давления, чы получили всюду конечную величину флуктуации объема (в следовательно, и плотности), зхлючая критическую точку.

Однако впечатление благополучна обманчиво, так как формально «конечные» результаты для (гьУ)з в критической точке имеют нетермодинамическую зсимптотику по !тз. Вопрос, как сопоставить величины флуктуаций в области Вр/де < О ; критическими, остается нерешенным, так как в предельном статистическом случае велнина л(гЬУ)г в критической точке все равно расходится как гзг'~ . 64 Задачи и далолниглельные вопросы к алове 2 Задача 22. Выразить дисперсию плотности числа частиц (гзп)т газа малой плотности с короткодействиеи через первый непрнводииый интеграл Майера Д(й). Полагая, что потенциал взаимодействия Ф(В) вне сферы бесконечнога отталкивания 2тв иал по сравнению со средней кинетической энергией частицы, выразить (Ьп)~ через постоянные Ван дер Ваальса.

Решение. Используя формулу для (~М)' из $2, выражение для парной корреляционной функции в нулевом приближении по плотности 1/», ,ьь1( -егЮМ и определение интеграла !3,(д) = / (е ег !à — 1) ьГК, получаем лля дисперсии плотности числа частиц — ! / ! (~п)ь= (1+ )3,+...) »'ь, » Заметим, что в там же приближении по 1/» этот результат следует нз уравнения состояния с первой внрнальной цопрввкой Юг' 1 р=- (1- — А(В)+...) и формулы о/»3 (дв)ь ж (-ОИО»)ь ' ПолагаЯ лвлсе Ф(В) = +са дла О < В < 2гь — — Н н (Ф(ВИ « д лла В > ь1, пол1лгнм 1 г' 2Ь га'ь (Д~~' = — 1 — — +— )' где постоянные Ван дер Ваальса ~о Ь=-' из, а= /!Ф(В))г В' И.

3 Задача 23. Получить формулу для флуктуаций плотности числа чапиц (сьп)т газа, состоящего из равного числа противоположно заряженных частиц, и рассчитать зту величину в случае, когда корреляционные функции Р+.ь(В) = Р=(В) и в'.ь (В) вне сферы бесконечного отталкивания учитывают дебаевскую зкраниравку. Решение.

Используя методику й 2 получения формулы для (Ьп)' в случае однокомпонентной системы, получим для нашего случая (Ьв)' = — ~1+ — / ( — 1) 4»В ьГВ) ь Вля парных корреляционных функций заряженных частиц (рис. 2!) можно использовать аппроксимацию (см. т. 2, гл. 3, й 1-д)): О при В<2»в=й, л ь(В) = е,еь „л ! — — 'е "л при В >'2ь'ь, ВВ 65 В 4.

Флулшуоцаи в ялассическах сиоиенол где к = 4(ге /(де). Поэтому в случае е~/(Ва) ч, 1, в котором справедлива нацисаннал выше Формула лля Р,ь, получим с точностью до членов, пропорциональных зарялу е в третьей степени: 1 — 1/ 1 4 з )/яе ( )3 / 3 е ~ е 3 28(/все/ Зтот же результат можно получить нз уравнения состо- яния системы (в том жс приближении), 2ге гр 1/и /2 в е /я ! РЯ е е 1/В е(з Рис. 21, Внд парных корреляцион- ных функций для противоположно н одноименно заряженных ионов ко- нечного радиуса с помощью Формулы, использованной с той же целью в предмдущей ншаче. Задача 24. Выразить через корреляционную функцию Гз(22) корреляцию отклонений плотностей числа частиц от их средних значений (."ьр(г()сьр(гз), и!е /лР(г) = Р(г) Р а еоператор» плотности числа частиц р(г) = ~~) б(г — г(). )ч(чл Решение.

Согласно общим Формулам для среднего от квадрата аадитнвной динамической величины в пространственно однородном случае р)(г) = 1, рз(го гз) = аз(!г, — гз!), получаем 1 ! р(г1) р(гз) = — б(г) — гз)+ — рг(!г1 — гз!). е ег Так как р(г) = 1/е, то искомая корреляция равна 1 ~~Р(г~ )/ЬР(гз) = б(г( г)) + з (Вз(!г( — гз!) — 1) . Из этой формулы следует сразу полученная в В 2 Формула для дисперсии числа частиц в некотором объеме (ге, мысленно выделенном внутри рассматриваемой системы: так как /Ее= / р(г)аг, ю)чем / /ьр(г)ог, (и) то ! / 1 ( (Ь)ус) Ц аг)агз ЙР(г))ЬР(гт) те ' ~! + / (Р2(1() 1) Ж) . е~ е/ Задача 2В.

Выразить через корреляционную функцию вз(Я) среднее !Рв!з, где Рь— фурье-компонента плотности числа частиц р(г). Найти также обратную формулу. Решеное. Имеем ! е 1 Рь= / е юр(г)кг= ~~ е ™, р(г) = — ~,рье("= — / Рьее'е)с У (2Д) / ш) (с!сл ь Поэтому отклонение плотности (так как Ре = )т") ! ЬР(г) = Р(г) — Р = — ~ Рье(, (ьго) 66 Задачи и дополнительные аалрагы л главе 1 н мы имеем, учитывая, что рь — — р ь, )рь(з = Д Ыг~ Нгг е и" ч1Ьр(г1)15р(гз) = дг ~1+ — / гзй е ' (Рз(12) — 1)) . ай Обратное соотношение представляет собой обратное преобразование Фурье: Рз(22)-'1='е — Ц~~ е™( — -1) = — „з/е'"( — -1) Ж. а 1 Отсюда, в частности, следует (см.

прелыдушую задачу), что дисперсия числа частил в области Уо (~'г)Уо) = Дго( — ) гле лГо = Уо/е (заметкм, что в этой формуле стоит значение 1рг,(о при й -~ О, а не само значение ро =де ). Задача 20. Зеркальца гальванометроа подвешены на тонких митях с коэффициентами кругильной жесткости ЗЭг = 10эрг и Юз = 0,9 10 ~ эрг ма расстоянии Ь = 5 и от шкалы.

Оценить амплитуды дрожания (связанного с тепловыми флуктуацняни) световых зайчиков на шкале. Решение. Средняя потенциальная энергия классического оспнллятора, нахоляшегося в рав- новесии с термостатом, — д (Г=-Р з=-. 2 2 Учитывая, что при повороте зеркальна на угол 1ф отраженный луч поварачивается на удвоенный угол, получим, что при комнатной температуре Т 300 К в зависимости от качества нитей гьх~ О,бо 10 'слг, сгвз 0,2 ем= 2мм, Задача 27. Определить флуктуации потока числа, частиц идеального классического газа, вылетающих через маленькое отверстие в стенке сосуда в вакуум.

Газ в сосуде считать равновесным. Решение. Поток, создаваемый одной частицей, падающей на стенку с нормальной составля- ющей скорости (е,);, равен 1 (у*) = — (*) У Полный поток, усрелненный по состояниям со скоростями О 4 (е,); < со и любыми скоростями (е„); и (е,);, охазыаается равным и г г '=! о Дисперсия полного потока частим (~|.)' = Š— '((.);(.); -(.); (.) ) = Š— ',~<.)! О г Произведя усреднение с помощью ма ковелловского распределения по области е, > О, получим окончателыю для искомой дисперсии потока — в (охи,)з =, — н — (я — 1).

' ДГ 2гггл 67 $5. Формула Нпйлеюпа. Тепловой шум Для относительной флуктуации потока имеем /(АЬ)' т/я - 1 1,42 в Б. Формула Найквиста. Тепловой шум системы гармонических осцилляторов Задача 28. Оценить мощность теплового шума, испускаемого электрическим сопротивлением В в находящуюся в состоянии термодинамического равновесия с нии согласованную длинную линию, и получить формулу Найквиста для среднего квадрата ЗДС теплового шума этого сопротивления в полосе частот Ьгг.

Решение. Попключим сопротивление В к резонатору, в который оно может»шуметь», испуская электромагнитные колебания. Так как свойсцю самого сопротивления пе зависят от того, какие еше термодинамические системы находятся с ним в состоянии термолинамнческого равновесия, то распорядимся этим произволом так, чтобы максимально упростить решение поставленной залачи.

Пусть сопротивление В подключено (рис 22) к очень длинной (длины 1) двухпроводной линии без потерь, которая согласована с В, т е. электромагнитные волны, падмошие из линии на сопротивление, поглощаются им без отраженна (например, В = 1тД/СС, где Ь и С— индуктивность и емкость единицы длины линии). Рис. 22.