Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 17

Решение. Рассмотрим изолированную систему, разделенную на две части (рис.25), кюквш из которых представляет равновесную термодинамическую подсистему с фиксированными значениями чисел частмп и объемов. Вместо термодннамическнх параметров В лля равновесных (» = 1, 2) и»т = »»+Ьг» лля неравновесных состояний введем температуры в соответствии с термодинамическим соотношением дд(е )/ВФ = 1/д. Тогда из постоянства значения полной знсргни В,(В + Сьд,) + Вз(В + Сьд,) = В)(В) + д (В) ма схр~- - —, 1 (Сг)~ (Сг)г з (дв) 11.

О 2 в (с,),+(с,), Дисперсии соответствующих отклонений (рис. 26) Рис. 26. Зависимость дисперсий †вз (Сг)з температуры д, смстемм 1 м разности между температурами систем 1 и 2 от отношения теплоемностей — в' (с,), + (с,), зтмх подсистем (ьд)з г 3 (с,), (с,), при увеличении размера системы 2 (т.с. прн (Сг)з - со), берущей на себя по отношению к системе 1 роль»термостате» нли термометра» (см. т. 1, О !), стремятся к стандартной (сг), Рис. 25. Схема сис- слцаУет что темы, рвссматрива- ! В(с,), 1 д(Сг\з емой е задаче 38 (Сг)~Фа~+ (Ьв~) +" ° +(Сг)»Ьвз+" — '-(Ьвг) +...

=О, о флуюуацмах тем- 2 дд 2 дв не!птуры в сомзме- глс (Сг)» = д»ч(в)/дв — теплоемкость 1-й подсистемы. Разлагая в ряд рммыхдругс другом по Ьв~ и !ьдз яо второго порядка включительно вмражение для о. = ее частях 1 м 2 8~(д+Ьд~)+$»(в+С»дз) иучитыжш, что ВЯ(д)/до =(С„) /В, получаем после приведения подобных членов, что 1 1 1 ! О В = д В = -- -(С ) (ЬВ ) - " -(С )з(вндз)'. 2 д' 2 д' Так как изменения Ьв, и Ьвз не независимы, а связаны (в первом поряакс) соотношением (с ),с!в, = -(с ) ьвм то дяя вероятности отклонения температуры, например, первой подсистемы от равновесного значения будем иметь в соответствии с формулой Эйнштедна (д в)г а для вероятности разности температур снв В', — д,' = ' г'! (С ) г!в, -ьв, (ьв,)' 5 б. Каиллюряодиилмическал шеорлл флуюпуацид С.лругод стороны, находясь в равновесии с системой, термометр вмзыаает искажения ее температуры СЬВ м7У Ь — Ш вЂ” з-'2 — т ы Чгт"У в с в с которые тем больше, чем больше газовый термометр.

Оценивая общую точность измерения температуры газовым термометром, мы можем учесть оба фиуктуационных эффекта как независимме, тогда Рис. 29. Глана установки с газовым тариоиатрои, рассиатриваеиыи в задача л1 ( ьв) Для оптимальных размеров газового термометра и его члучшию показаний отсюда находим Задача ч2. Оценить реальный характер флуюуаций плотности в газах и жидкоствх при комнатных температурах. г У с„' где с — скорость распространения акустической волны в данной системе.

Вмравнивание температуры (в приближении, в котором справедливо уравнение теплопровсдности, см., например, задачу 17 к гл. 2) происходит в трехмерной системе за время порялка дз гг бК' где К = х/(ср) — коэффициент температуропроводности (и — коэффициент теплопроволности, р — плотность системы, с — удельная теплоемкость). С точки зрения этих величин условие изотермичности флуктуаций плотности записывается как требование гг < гр, а условие их адиабвтичностн, когда тепловые потоки за време существования флуктуации практически несущественны, как условие гг Ъ т . Определяя критический размер области из условия тг г„оценим эту величину лля ряда простых систем при комнатных температурах (см.

таблицу, в которой для перевода в систему СГС коэффициент теплопроводности и надо умножить на 1О', а теплоемкость с — на 4,18 ° 1От). Интересуясь в реальнмх задачах флуктуациями плотности в областях, превышающих 10 4 см, мы убеждаемся в их адиабатичности, т.е. изотермнческая аппроксимация для дисперсии плотности (какими бы красивыми Решение. Рассмотрим внутри спнокомпонентнов системы некоторую область с линейными размерами Ь. Время выравнивания давления в этой области (т.е.

время сушеспювания а ней флуктуации павлония) порядка времени распространения в нед асины плотности„т.е. $ 8. 1((егл гродоеншных (лошоковмх) членов Для пца, близкого к идеальному, когда ( ),=' Вр'(, Вг В' е-1 — йВп, — и — (1+оп) и— Ве~, ' В В и получим для интенсивности рассеяния монохроматичебкого поляризованного света на статистической системе более простую формулу с физически понятной зависимостью от угла д и характерной зависимостью от частоты падаюшего излучения (как утверждают, объясняюшую голубой цвет нашего дневного неба) ' иа(пд е;1( 2 «(Ея)з а2(( ( .

5 8. учет градиентных ((тета(товых~ членов Задача 44. Исследовать вопрос о флуктуациях плотностк' в систеие и о связанной с ними струшуре парной корреляционной функции, полагая, что флуктуационные отклонения териодииаиического потенциала обязаны не только отклонениям плотности числа частиц, ио и ее градиентам. Решеное, для определенности рассмотрим систему с фиксированными значениями В и ((1. Тогда согласно б 3, п. 6) и е Напомним стандартную задачу об определении условий устойчивости системы в этик условиях: Вг = / Яг)р(г) дг = пнп, М = / р(г) бг = соим, (И (И где г(г) — локальное значение свободной энергии в расчете на,частицу системы, р(г)— плотность числа частиц (см.

залачу 24). Условие экстремума вспомоштельного функционала б((" = б((р — р((г) = 0 в пространственно однородном случае определяло однородность значения химического потенциала ре+ у = р(г)'ж р, а условие б Вк = ~ е (- — г) -(бр(г)) Ыг> О Р(~ ВР~ ~ Ве/,'2 (И приводило к стандартному условию устойчивости (- — «) >о, Если теперь, следуя задаче 25, мы представим отклонение в внае «суперпозиции» плоских волн, бр(г) = — ~ арье ,У (ьгс( то получим двя «отклонения» свободной энергии где мы учли, что е' бг»» УА(((): Задачи и дополнцшяльяые вопросы л глава 1 Таким образом, распределение ыа представится как произведение независимых гауссовых распределений по амплитудам )рьР, причем средние от них значения (рь)з д йГ ез (-др/де), от волнового вектора й вообше не зависят. Согласно задаче 25 это среднее определяет дисперсию числа частиц — — (рьР ! (Ь~)' = е'(-др/де) ' как и следовало ожидать, это — станлартная формула.

Если теперь мы предположим, что в разложение аз У' входят ис только плотности (бр(г)) з, ио также и произведение их градиентов ('рер(г))' (в случае «слабой» неравиовесности— только первого порядка) с такими коэффициентами, которые обеспечивают положительную определенность новой квадратичной формы для бзУ, то, перехода к й-представлению, мы получим, что АУ = Фа — ~~~ (Д +и ) —, р,,),Р 2!г йг ' где аи' »» (ез/В)(-др/дэ)».

Поэтому теперь будем иметь )рь)з е 1 К а дз+из' Это выражение (как приближение низших градиентов) справедливо только при малых значе- ниях волнового вектора й. Согласно задаче 25 полученная величина связана с Фурье-образом корреляционной функции я!(22) — 1. Располагая выражением для )р«Р в области малмх й, мы лля больших 22 получаем оценку Ориштейиа и Цернике (К Б Огпме!и, р Хепз|хе, 1918): -«я Зр(И) — ! — ° — ° -е™ . а 4я 2! В критической точке, когда и - О, корреляционная функция перестает быть «короткодейству- юшей», Х!(2!) — 1 1/22, радиус корреляции увеличивается до бесконечности и флуктуации плотности перестают быть алдитивными (см. $2). Заметим, что учет в выражении лля АУ' градиентных членов, которые в я-представлении приводят к появлеишо слагаемых, про- порциональных Д' н более высоким степеням й, нс изменяет станлартиого результата лля термодннамичсских (адаптивных) флуктуаций (ЬЖ)',н„так как эта величина определяется значением )рь)з в точке й — О, Глава Я Брауновское движение В этой главе мы рассмотрим физическое явление, основой эволюционного процесса которого является воздействие на систему случайной силы.

Частный, хотя и достаточно распространенный случай такого процесса — брауновское движение, экспериментально открытое Робертом Брауном (К. Вгони) в 1827 г., — с описательной точки зрения достаточно хорошо известен. На основе рассмотрения простейшей реализации этого физического процесса — трансляционного брауновского движения — мы не только произведем конкретные количественные оценки, но и постараемся понять с физической точки зрения многие стороны и особенности процессов подобного типа, более формальное рассмотрение которых отложим до следующей главы.

Заметим только, что, несмотря на высокий уровень развития теоретической механики, а во второй половине Х1Х в. и кинетических представлений, характер брауновского движения был окончательно понят и количественно описан только в начале ХХ в. Эта «задержка» в понимании явления была связана с осознанием природы и особенностей случайных процессов, одним из которых, причем наиболее характерным и наглядным, является брауновское движение. Итак, рассмотрим движение крупных частиц в термически однородной среде типа газа или жидкости.