Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 14

Положим для удобства У = Ьз и обратим внимание, что стандартная формула перехода м Тз / а за е является предельной в смысле Х вЂ” со и что, обращая главное внимание на множитель г, мы з забываем, что интегрирование по р начинается не с пула, а с опрелеленного минималыюго значения р„м Ь/Ь. Учет этого обстоятельства сразу превращает ьматематическиез абстрактные бесконечности в реальную асимптотическую при Ь вЂ” оо зависимость от Ь, которая, начиная с й = 3, становится более сильной, чем Ь~ = У.

Действительно, обозначая буквами Аь числовые козффнпиенты, имеем, выпясыввя наиболее сильные аснмптотическне члены: вь „(вь) з (СьйГ)з = Аз ( — ) з '"'="(-") ("Е -) (ЬМ)' = А4 ( — ) ( — +...) + 3((сьрг)') и г.д. Если теперь ввести безразмерную величину лГ - Л' ,'~(ЬК)з Задачо и дополнолгельные вопросы к главе 2 то, обозначая новые коэффициенты А«ГА, = аь, получим 4!2 Г=О, уз=о ~ — ) (!л — +...), Сз =1, С«=а« ~ — ) ~ — -1-" ) +З((2)2. Г' ~д В пределе ВЕГ(дс) — со эти средние имеют значения 1'нп Е~'~' = О, 1нп Гз" = 1 ° 3 ... (2п — !), »ад».1- * Рсгг»«1- что соответствует нормальному гауссову распределению с единичной дисперсией 1 ( 1,) Ыг = — ЕХР) — -Е 2. ч'2я ( 2 Таким образом, в предельном смысле ВЕГ(дс) — со распределение по числу фотонов равновесного излучения имеет вид распределения Гаусса ( (Лг - 1:)2 ! ' ын(В, р) = ехр !/2к(ЬЛУ 2(45ЛГ)' (величины 4" = Ф н (ЬФ)' нами уже бмлн рассчитаны).

Заметим, что прн исследовании вопроса о виле распределения по энергии равновесного излучения «инфракрасной» трудности не возникает, так как соответствуюший интеграл ~(ср) и Ь /— ь» з ГРРАР Р / 4 р о не расходится на нижнем пределе р = О, и гауссовость распределения юя устанавливается так же, как в задаче 7. гр Задана 26, Получить формулу Эйнштейна для дисперсии энергии равновесного излу- чения в спектральном интервале частот 2ьар.

Решение. Запишем среднюю энергию 8 н дисперсию (ЬЕ)~, обрашая внимание на представление этих величин в виде интегралов по частоте 0» «4 д у 2д„)ГВ« Г 2 да 24Р Ю= ~~рспр — — / ,/ е" 2« — 1 «г'с' Д'х'е',/ е* — 2 15дзсз р О о — 2д Г е" Н зри~ д«4я'В~ И„Г и ВВ / (е' Н вЂ” 1)2 ргзсз 15пзсз о Если теперь предполо2кить, что значения частот ограничены небольшим интервалом Гхы (полоса «фильтра» прибора), то, обозначая ы'Ьы да4 4 4Г(ы) 1 2 Еа» ~ р 4 »Г(4«) получим искомую формулу Эйнштейна (!9О9): (4»Е)~ „= Д»2Е + —.

2 д»Г(а4) Эта формула в свое время довольно широка обе!окдалась в связи с проявлением у равновесного излучения волновых (в смысле электромагнитной классической теории Максвелла) 59 В 3. Флукшуацпо равновесного озлучения и»» откуда (/дЕ) = ~ (йыр) пр(!+и ). р Если излучение «классично», т. е, представляет собой суперпозицию электромагнитных волн классической максвелловской теории, то величины ар — не операторы, а классические амплитуды электромагнитного поля, т.е. они всегла коммутируют (орар» — — ар'ор), и нет разницы между «спариваниями» о ор» = ар»ар»» пр.

Это «приближение» дает 1,5 1,0 ( Е)' „. =КО-р)'пр, р 0,5 т. е. второе слагаемое формулы Эйнштейна (еслн вырезать «ды-область интегрирования по частотам). Исходя из максвелловской теории, этот результат для дисперсии энергии электромагнитного свободного поля, связанной с интерференцией волн, получил Х. Лоренц (Н.

Еогеп!г) в 19! 3 г. Если же к равновесному излучению отнестись как к бсльцмановскому газу «частиц» (понятия о квантовых газах и квантовой механике в те годы еще не существовали), для которого пр — — е ~рм, где (в отличие от Е = рз/(2т) для частиц) Ер — — рс = Ьы, то мы получим 1 2,822 ~(ЬАе) 10 с /ио (/»»!ш) Рис. 18. Расположение областей частот Релея — Джинса и Вина (ло отношению к распределению Планка), в которых флуюуации энергии равновесного излучения имеют характер флуктуаций в систеие волн и в систеие частиц Ед, — - Е е ~»жгЬГ(р) = йые ~Г'г5Г(ы) (ЬЕд«)з = В~ — Ед — — (йы) е ~р~гдГ(ы) = йыЕд«, что соотаетствует первому слагаемому в формуле Эйнштейна. Заметим, что выявление отдельно «волновых» и «корпускулярнмх» свойств электромагнитного излучения сыгршю определенную роль в подходе к идеям квантовой теории в период ее становления, но в настоящее время представляется совершенно искусственным.

С точки зрения планковского распределения для спектральной плотности равновесного излучения (рис.18) решение вопроса о преобладашги одного иэ слагаемых в формуле Эйнштейна над другим связано с выбором интервала сьы в области низких частот (область Релея — Джинса) ы ч. В/Д, в которой преобладают «волновые» свойства излучения, или в области высоких частот (область Вина) ы Ъ В/Ь, в которой преоблалаюшими оказываются корпускулярные» его свойства. г» Задача 12.

Оценить относительную флуктувцию давления р равновесного излучения на стенку полости объема )г при температуре В. и корпускулярных флуктуационных свойств. Если не пользоваться архаическими методами рассмотрения, то этот эффект довольно просто выявить. Действительно, используя методику задачи !4, запишем Задачи и дополншпельные вопросы к главе 1 Решенпе.

Имеем 1 1 — — ! 1 р = — ° — Е ~ФФ = — ° — (»1Е)' 3 У ' 9 поэтому 120((3) »г4 4 (д, 1г) Задача 18. Используя болывое каноническое распределение, найти выражение для корреляции»ьЕ(ьМ и оценить ее величину для системы типа газа и равновесного излучения. лешеное. Для газа с заданными уравнениями состояния, исполь»уя результат задачи 10, имеем (»1Е,ЬЩ(, = ~ — ~ (»ь!У)» 4. В дс для равновесного излучения, вспоминая, что в этом случае Р ш О, о = Р/В = О, получаем сразу согласно результату задачи 9 ».'»Е»ЬДг = В ~ — ~ = Здгд = тг —. » /д1»гъ 6С(3) д4 дд .=е Ь'е»с' Задача 19. Считая электромагнитное излучение в полости объема (г равновесным (с температурой В), определить флуктуации потока числа фотоноа и потока выносимой ими энергии через маленькое отверстие в стенке.

Решеное. Число фотонов с частотой ы, падающих на !ем» стенки в секунду под углом д Ьг„, 3 = ссозд У Учтем, что число независимых колебаний в диапазоне (ы,ы+ды), распространяющихся в направлениях внутри телесного угла 2к Ип д Вд, равно и Йи ВГ(ы,д) = зг — д(-созд), 0 < д <»г, 0 <и < со, 2,» э что среднее значение и лисперсия числа ЬГ равны В' д ДГ =и =, (4»дг„)» =и +и = — — и, ВВ м получим для полного среднего потока числа фотонов 1 1 Вэ У я»де сд» 3 = ~ уе = с — — — 1 — ы — Г(3) ° С(3), 2 2я»сэ Ьз,/ е* — 1 4я»с» М о гле Г(3) ° С(3) = 2 1,202..., и для дисперсии этого потока — — с' 1 В' д У п.ыды д» Р яде (~11)» ~((43 )» ы У 3 Ь дВ/ 2я'с' УЗ»г'сЬ'з е* — 1 М е е где последний интеграл равен Г(2) С(2) = е»/б, откуда б( й 4.

Флухглуацаи а ллассоческах сосшемах Для среднего потока энергии (вместо 1 надо в прельзауших выражениях подставить а„=ьы з„) и дисперсии этого потока получаем 1 1 Рз 1 азах йз к~ ~-' 2 2язсз Ь",/ е* — 1 4а зсзЬз 15 М е — с' ! 1 4йз Г х'йх 2йз я' (д )з ~"~(р )з(д. )з У 3 2кзсз Ьз / е* — 1 Tзкзсйз 15 е откуда дпя относительной флуктуации б =~='т' — —,В4~ —.

Безразмерная величина, стоящая под корнем, имеет порядок куба отношения средней длины волны равновесного излучения (или длины волны, соответствующей максимуму в планковском распределении) к линейному размеру полости. !> 54. Флуктуации в классических системах Задача 20. Определить зависимость от р и х относительной флуктуации числа частиц в небольшом объеме фазового пространства Др С (2кгпд)згз и Дг м.

Зг, дла идеального классического газа, находящегося в однородном силовом полц г1 = пзрк в сосуде высотой Ь (рис. 1Р). Ь 1, если р внутри Др, 1(р) = =(. О, если р вне Др. 1,=1()=, ' — ~1 — ехр ( — — ~) . др ( з 1г =1(р) = (2япза)з/з ( 2тд ) ' ехр с —— Решение. Введем вспомогательные функции ( 1, если точка г внутри Дг, 1(г) = О, если точка г вне Дг; Тогда для каждого микроскопического состояния системм (р„...,р„; г„...,гл) число частиц, попадаззших в ДрДг, равно !Зг(р,г) = ~~~, 1(г;)1(р;). шьдл Среднее число частиц в области ДРДг и дисперсия гг(Р, г) = йг1з1„, (ддг(Р '))' = Ьг1з 1..

(! — 1г1 ) выражаются через срелние от функций 1(р) и 1(г), рассчитанные с помощью максвелловского и барометрического распределений: Рис. 19. Система в однородном поле силЫ тяжести, в которой исследуется заеисииость интенсивности флуктуаций плотности чисва частиц е пространстве (г, р) от высоты з Задачи и дополнигпельные вопросы к главе 2 учнтъ2вая относительную малость шестимерного объема ззрззг, получаем оценку искомой относительной флуктуации ехр( — ~ ехр~ — ~.

Характер22о, что эта величина экспоненциально возрастает с увеличением высоты з и энергии рз/(22п). !» Задача 21. Исследовать изотермические флуктуации обьема У (а также удельного объема о = У/Ф) классического газа в условиях р = сонэ!„з»г = сопз1. Решение. Рассмотрим модель, обеспечивающую условия залачи; газ находится в цилиндре сечения Я под поршнем массы М, все вместе — в контакте с термостатом (рис. 20), Рассмотрим поршень как одну из частиц» равновесной системы н запишем его энергию в виде М р2 Н.„„м„= МлЛ+ — Л' = РУ+ —, р2 Н' = Н(х, У) + р1'+ —, 2М' В )1 Д21(2яд) ' ='"~ ( В гле дг(В, У) — свободная энергия системы, находящейся под поршнем, то мы получим функцию распределения по «координате» 1' в виде »),„(:»».»)+»»),'/ (»( °,»)+»»)„, о Это выражение позволяет продолжить исследование целиком в духе залачи 9.