Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 13

дг дт дг Тогда гауссово распределение по энергии становится при больших значениях М остро сосредоточенным около значения е = е распределением с шириной )/= (гте)2 1т»ц и стремится к б(е — е) при»»Г - оо (рис. !7). Здесь , В!пЕ е= — д 1'т' дд Рнс. 17. Дефорнацня распределения по удельной энергии равновесной системы с ростом числа частиц в ней (ьт! < 1»гт < ЛГЗ) 2»7~ 2 ! 2 (бгЕ)з = д — = В Сгн. (»ье)з — — В стн, дй 1У где стн — удельная (в расчете на одну частицу) теплоемкость система» при фиксированных 1У и )г. Задача 8. Исходя из большого канонического распределения Гиббса показать, что распределение по числу частиц в системе, выделенной воображаемыми стенкани (переменные О, У, ц), в предельном статистическом случае стремится к гауссовоиу распределению.

Решение. Записывая большую статистическую сумму в виде ~~,'е». (н1»эн ~»'е 1ны и, 1 на и а=-, В' б!п~ лг = . т' = — тг', Ва — Вз1пГ, б Г' Рп (»ьГ»г)з = — ы — ж тг — т' дат да да и т. зь (в качестве аддитивного параметра естественно использовать объем системы О или среднее число частиц Ф' = пт ), а для функции распределения по относительной величине п = »»Гг'У (числу частиц в единице объема) мы придем к всимптотическому распределению ! (и — и) которое имеет ширину»/(гзп)з !/зги и становится б-образным при тг - со. Здесь бп ! бп (Ьп)2 = — — = —  —.

)г ба тг йр Заметим, что полученный вывод о гауссовости предельного распределения по числу частиц существенно основывался на предположении о том, что величины» (ЬФ)', т~. (Ь1у)з и т.л. и проводя расчеты, аналогичные проделанным в задаче 7 (только теперь дифференцирование проводится по а, а величина и — фиксирована), мы получим и аналогичный же результат для средних Задачи и Вополнигпельные вопросы к главе 1 52 Считая В = Ж"(В, Ф'), можем написать Заметим, кстати, что первое слагаемое в полученном выражении — зто дисперсия полной энергии в условиях, когда фиксированы переменные В, T, зт, ~Ь Е)з ) „и = В Сгн = РГВ сгн. Таким образом, получаем: (ыч)'„„= в ( — ) (сье) = в с + — ° (за)' У ВФ 'т ЬЕЬИегя = ~ — ) ° (его)т.

(,ВЛ'~4 (е) Ве(В, е) де(В, е) Вр(В, е) — = сгн,' — =  — — р. дв ' де дд Поэтому величина (де/В т")ет также определяется через заданные уравнения состояние ( — ) =е+ре-ед( — ) Наконец, полагая р р(д, «) = у(в, е) + ре, получим откуда Полученное ранее условие устойчивости е„е„— ет, > О запишется с учетом формул (4) в виде В'Стн ( ЗЕ)г > О, откуда в сочетании с условием е„> О получаем известные требования с„>О; (ф) со (условие е„> О удовлетворяется автоматически). Задача 11, Показать, что изотермические флукуации плотности энтропии в = в(В, е) связаны с дисперсией плотности числа частиц (сьп)т соотношением д;т ( Р 4((,ь )з~ Внугренняя энергия В(в, Г т ) = .4'е(в, е) может быть определена с точностью до аяднтивиой константы т"ее из системы уравнений б 2.

Каноническое распределения е теории флуяглуоцпд 53 Решение. Приведенный результат сразуследует из замечания, сделанного в начале 82 основного текста. Если воспольэзваться формулой для (1Ы)' = у!т(зз!1г)з, полученной в предыдущей задаче, то мы получим чисто термодинамическое соотношение 'зд В), 'з,дд), йг' совпадающее, кстати, с результатом расчета этой дисперсии в рамках полуфеноменологнческой теории (см. б б Задач). г> Задача 12, С помощью полученного в задаче 10 выражения для дисперсии числа частиц оценить флуктуации плотности числа электронов в металле при комнатной температуре. Решение. Плотность числа электронов в металле можно оценить, позаимствовав из физичес- ких таблиц величину плотности металла р, а из таблицы Менделеева — его атомный вес Лз.

Например, лля меди рс„й9,1г/см, Мей 63,5; пзс„й63,5 1,7 10 мг, и плотность числа свободных электронов (по одному электрону на атом меди) и= — = — й8 1О см Рс гя ц -з тси Оценка граничной энергии Ферми дает ,, зтз ег = — ~Зя~ — ) гд 9 ° 10 'з эрг сд 6,5 !О К 2гп 1, У) (мы учли, чтод И 1,05 1О зз эрг с, постоянная Больцмана й й 1,38 10 марг/К).

При В ч, ег можно считать, что химический потенциал Р совпадает с граничной энергией Ферми, ="( --»Р) ) =-" откуда получаем для дисперсии числа электронов оценку: /ВГ~ 3 В (бзЗУ)з = В (~ — ) и -Лг —. ~др/ 2 Для комнатных температур 7 300 К имеем В/ег 1/200, поэтому, полагая К =! смз, !зг = п, получаем (Ьп)~ 6 10, б» 0,4 10 Задача 13.

Оценить с помощью формулы для (зЗЕ)з/ (см. формулу (*) в задаче 30) флуктуации энергии электронов в единице объема металла при комнатной температуре. Решение. При В «С ег главные члены лля внутренней энергии ЕГ и теплоемкости Сгл имеют вид 3 яз В бы -3!ге, С гд !У вЂ” —. 5 ' 2 ег Поэтому, учитывая зависимость энергии Ферми ер от РГ и дб/ВЛГ = ег, получаем В з 3 В з 3 В (СЬЕ)з! гдВдт — — +., — — Л же, -!у —. 2 ег 2 ег 2 ег Характерно, что при В ч, ег член, пропорциональный (ЬК)~, оказывается главным, в то время как первое слагаемое, равное (ззЕ)з[ „, имеет порядок температурной поправки.

Используя данные, приведенные в предыдущей задаче, получаем Юй5 10 ег, 3/1ЬЕ)'й2,4.!Омер, басй0,5 10 'з. г> Задачи и дополниглельные вопросы к главе 1 Задача 1гр. Определить дисперсию и относительную флуатуацию для чисел заполнения идеальных бозе- (выше температуры бозе-эйнштейновской конденсации) и ферии- газов, а также больцмвновского идеального газа, Решение. Обозначим 3 = — ~ — —,и, х = ~~ехр(-э дт ), лр О !л зр и ыдг Вэр ерр т 1' д !л зр — = и (! ~ ар), дэз ! и э = ~ 1п (1 ~ е *Р), (гь лгр)з — Л2 — пр е, = = ехр ( — ~ =,ехр (- ~ — — -) ~.

В больцмановском случае, когда ехр (-Р/в) > ! и пр к 1, получаем з п(2яь)з 3 где для исключения химического потенциале мы воспользовались условием ДГ = Я пр и обозначили и = ДГ/1Р, д = 2в+!. р Для читателей, уже знакомых с представлением вторичного квантования, подобные задачи решаются практически сразу.

Напомним некоторые сведения нз этой области (в значительно большем объеме, чем это необходимо лля решения данного примера). В этом формализме квантовой теории используются так называемые операторы рождения а„+,н уничтожения ар, которые соответственно названию изменяют число заполнения !ур на единицу (в пределах, допустимых для Фр значений) и удовлетворяют следуюшнм перестановочным соотношениям: а ал Т.а,,а = СЬ(Р— Р'), а ар ~а ар «» ара„аллар = О, ь гзе гь(р — р') — кронекеровская гь-функция. С помошью этих операторов можно записать квантовме операторы любых линамнческих величин. В нашей частной задаче это только само число заполнения и его степени: г дгр»вЂ” р а а, лт = азора ар. Определяются так называемые «спаривания» операторов как средние по большому каноническому распределению для идеального бозе- ияи ферми-газа от написанной пары операторов: арал = арал = Ь(Р Р) арар = Ь(!Р Р)пр, ар а+ ре аргер — — Ь(р — р )(1 х арар) = Ь(р — р')(1 ~ пр), « ара,р —— ар ар» —— О ~ вторая строчка — следствие перестановочных соотношений для операторов ар н а+ ).

Тогда среднее по большому каноническому распределению для соответствуюшего идехчьного газа от произвеления, содержашего й операторов рождения и столько же операторов зннчтожения (в иных случаях это среднее обрашается в нуль), равно сумме всех возможных потных систем спариваний (кажлая полная система спариваний состоит из произведения й где в бозе-случае ггр = О, 1, 2,..., а для ферми-газа лт = О,!. Тогда будем иметь (верхний знак — бозе-, нижнйй — ферми-случай) й 3.

Флунвуации равновесного озлученил спариааний указанного выше типа, умно2кенного а ферми-случае на ( — 1) а степени числа пересечений линий спариааний). Эта теорема о спариааниях, аосходяшая к известной каантоао-полеаой теореме Вика, была впервые доказана К, Блохом н С. де Доминиснсом (С. В1осй, 3, де Гуов1п1с1э, 1958) и носит их имена. Ее докаэательстао. а пелол2 несложное, относится к статистической механике рааноаесных систем, и мы его приводить здесь нс будем, Пример расстановки линий спариааний (оставлены сразу только ненулеоые спаривания, а инлексы у операторов опушены): а«а а+а"а а = а па+а+па + а аа а+па + +а аа а+па + а аа а«аа+а аа а аа + а па а аа.

Во 2-м, 3-м и 6-м слагаемых имеется по одному пересечению линий спариааннй, поэтому в фермисслучае эти системы спариааний умножаются но (-1). В навей задаче Мр — — ара =ар, 2 рэГ»2 — — арар ара -Р арарара =пр +яр(1 то ), поэтому (,лДтР=Ж п,э=п,(1~п„).

При небольшом навыке каждая иэ систем спариааний отдельно не выписывается, а сразу пишется соотоетстауюшая комбинация из средних чисел заполнения и . Необходимо отметить, что приведенное выше решение поставленной и условии задачи прямым способом асе же необходимо, так как используемый для доказательства теоремы о спариааниах метод мате»2атической индукции нуждается а исходном (или «отпрааном») результате, продоигаюшем докаэательстао теоремы на случай осе возраставшего числа пар оператороа а и а. 1> $ 3.

Флуктуации равновесного излучения Приведем некоторые обшие формулы, пстречаюшиеся и задачах, и которых в качестве статистической системы рассматривается равновесное электромагнитное излучение (равновесный газ фотонов). Так как энергия фотона линейно связана с модулем его импульса, Ер = лор = рс, то формула для числа фотонов (или «равновесных независимых осцилляторов» электромагнитного поля), приходящегося на интервал частот (ы,ы+ Йи), которая позволяет перейти от «суммироаания» по импульсу р к интегралу по частоте, имеет внд ыз бы ,2 ьр„, (О)=Р „, ЕДЕ,)«е 1'И ) —,, р о Функция 2 (й«р) обычно включает и себя бозе-распределение, поэтому в приложениях встречаются интегралы, которые, собстяенно, являются определением С-функции Римана: ,ь-~ — 22я = Г(й)«,(В).

о 5б Задачи и дололнплгелькьзе вопросы к главе 1 Выпишем некоторые значения Г-функции и г,"-функции, встречаюшиеся в наших задачах: й 1,341, В частном случае й = 2п этот интеграл можно взять, используя технику вычетов (см. математическое приложение к задачам 11, 12 в гл. 3): ОР шзя'-2 (2я)зяВР— Нш = е* — 1 4п е где определяемые этим соотношением числа Бернулли В„равны 1 1 1 1 5 В,=-, Взра —, ВЗ= —, Вь= —, ВЗ= —, Итд. б' 30' 42' 30' бб' Задача 15. Показать, что все моненты (ду — зч)» для равновесного излучения, рас- считанные по приведенным выше формулам, расходятся, начиная с й = 3, и решить вопрос о гауссовости распределения по числу фотонов в системе (д, У), заполненной равновесным электромагнитным излучением.

Решение. Среднее число фотонов -4 ИУ=Еп,=Е =У вЂ”. 1 2»(З)дз ер !Р ! Гзззгзгз ' Р Р Обозначая ддгр — — дгр — пр и замечая, что д1ЧР = О и дпр (ддг)2,2 (!+и ) — Р— В0 2В)' ддгр,дззг„м ддгр, ддг = О для р2 Фрз, получим (ддг)2 ч зддг дьг ~ з(д12г)2 У е2 ! У езсзлз,/ 12, дя е* — 1р Заза Р!рз Р о Далее, с помошью теоремы о спарнваниях (см. задачу 14) илн непосредственным образом легко получить, что 3 2 Дгрз = яра арьарара = бпр+бп +яр, откуда, вследствие ДКр —— О, (дг — 4')з — ~Х~ (ддг)з — ~~ (2п +Зп +п ) = 1' — — — е дя, Р Р о Й 2,612, 2,(3) й 1,202, à — = -з/я, Г ('(5) й 1,037, 3 4 -з/я, Г(п) = (и — 1)!.

57 й 3. Флуктуации равновесного излучения Последняя формула нам фактически уже не нужна, так как сразу анана, что величина (Ж вЂ” Л')' расходится на нижнем пределе (еинфракраснаяь расходимость) благодаря члену~ ф г г Г рв Г ,/ (е~ М 1)з / е о Величина четвертого момента (ЬЛУ= ~'. Иг Ь3и Ь.У Ь3и =~ (МР +3(~ (ЛЛУз) ммюм з Р расходится еще сильнее, так как в первом слагаемом есть члены ~п «/ — и ~п„ /— о г о и так далее. Таким образом, с откровенно поверхностной точки зрения фунюгия распределения по числу фотонов ын не является гауссовой, так как при й ) 3 все (сьлг)ь = оо, а имеет, например, вид ! юн (рг — 4')з + соим (нли еще какой-либо в этом же роде), что неправдоподобно.