Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Решение. Рассмотрим изолированную систему, разделенную на две части (рис.25), кюквш из которых представляет равновесную термодинамическую подсистему с фиксированными значениями чисел частмп и объемов. Вместо термодннамическнх параметров В лля равновесных (» = 1, 2) и»т = »»+Ьг» лля неравновесных состояний введем температуры в соответствии с термодинамическим соотношением дд(е )/ВФ = 1/д. Тогда из постоянства значения полной знсргни В,(В + Сьд,) + Вз(В + Сьд,) = В)(В) + д (В) ма схр~- - —, 1 (Сг)~ (Сг)г з (дв) 11.
О 2 в (с,),+(с,), Дисперсии соответствующих отклонений (рис. 26) Рис. 26. Зависимость дисперсий †вз (Сг)з температуры д, смстемм 1 м разности между температурами систем 1 и 2 от отношения теплоемностей — в' (с,), + (с,), зтмх подсистем (ьд)з г 3 (с,), (с,), при увеличении размера системы 2 (т.с. прн (Сг)з - со), берущей на себя по отношению к системе 1 роль»термостате» нли термометра» (см. т. 1, О !), стремятся к стандартной (сг), Рис. 25. Схема сис- слцаУет что темы, рвссматрива- ! В(с,), 1 д(Сг\з емой е задаче 38 (Сг)~Фа~+ (Ьв~) +" ° +(Сг)»Ьвз+" — '-(Ьвг) +...
=О, о флуюуацмах тем- 2 дд 2 дв не!птуры в сомзме- глс (Сг)» = д»ч(в)/дв — теплоемкость 1-й подсистемы. Разлагая в ряд рммыхдругс другом по Ьв~ и !ьдз яо второго порядка включительно вмражение для о. = ее частях 1 м 2 8~(д+Ьд~)+$»(в+С»дз) иучитыжш, что ВЯ(д)/до =(С„) /В, получаем после приведения подобных членов, что 1 1 1 ! О В = д В = -- -(С ) (ЬВ ) - " -(С )з(вндз)'. 2 д' 2 д' Так как изменения Ьв, и Ьвз не независимы, а связаны (в первом поряакс) соотношением (с ),с!в, = -(с ) ьвм то дяя вероятности отклонения температуры, например, первой подсистемы от равновесного значения будем иметь в соответствии с формулой Эйнштедна (д в)г а для вероятности разности температур снв В', — д,' = ' г'! (С ) г!в, -ьв, (ьв,)' 5 б. Каиллюряодиилмическал шеорлл флуюпуацид С.лругод стороны, находясь в равновесии с системой, термометр вмзыаает искажения ее температуры СЬВ м7У Ь — Ш вЂ” з-'2 — т ы Чгт"У в с в с которые тем больше, чем больше газовый термометр.
Оценивая общую точность измерения температуры газовым термометром, мы можем учесть оба фиуктуационных эффекта как независимме, тогда Рис. 29. Глана установки с газовым тариоиатрои, рассиатриваеиыи в задача л1 ( ьв) Для оптимальных размеров газового термометра и его члучшию показаний отсюда находим Задача ч2. Оценить реальный характер флуюуаций плотности в газах и жидкоствх при комнатных температурах. г У с„' где с — скорость распространения акустической волны в данной системе.
Вмравнивание температуры (в приближении, в котором справедливо уравнение теплопровсдности, см., например, задачу 17 к гл. 2) происходит в трехмерной системе за время порялка дз гг бК' где К = х/(ср) — коэффициент температуропроводности (и — коэффициент теплопроволности, р — плотность системы, с — удельная теплоемкость). С точки зрения этих величин условие изотермичности флуктуаций плотности записывается как требование гг < гр, а условие их адиабвтичностн, когда тепловые потоки за време существования флуктуации практически несущественны, как условие гг Ъ т . Определяя критический размер области из условия тг г„оценим эту величину лля ряда простых систем при комнатных температурах (см.
таблицу, в которой для перевода в систему СГС коэффициент теплопроводности и надо умножить на 1О', а теплоемкость с — на 4,18 ° 1От). Интересуясь в реальнмх задачах флуктуациями плотности в областях, превышающих 10 4 см, мы убеждаемся в их адиабатичности, т.е. изотермнческая аппроксимация для дисперсии плотности (какими бы красивыми Решение. Рассмотрим внутри спнокомпонентнов системы некоторую область с линейными размерами Ь. Время выравнивания давления в этой области (т.е.
время сушеспювания а ней флуктуации павлония) порядка времени распространения в нед асины плотности„т.е. $ 8. 1((егл гродоеншных (лошоковмх) членов Для пца, близкого к идеальному, когда ( ),=' Вр'(, Вг В' е-1 — йВп, — и — (1+оп) и— Ве~, ' В В и получим для интенсивности рассеяния монохроматичебкого поляризованного света на статистической системе более простую формулу с физически понятной зависимостью от угла д и характерной зависимостью от частоты падаюшего излучения (как утверждают, объясняюшую голубой цвет нашего дневного неба) ' иа(пд е;1( 2 «(Ея)з а2(( ( .
5 8. учет градиентных ((тета(товых~ членов Задача 44. Исследовать вопрос о флуктуациях плотностк' в систеие и о связанной с ними струшуре парной корреляционной функции, полагая, что флуктуационные отклонения териодииаиического потенциала обязаны не только отклонениям плотности числа частиц, ио и ее градиентам. Решеное, для определенности рассмотрим систему с фиксированными значениями В и ((1. Тогда согласно б 3, п. 6) и е Напомним стандартную задачу об определении условий устойчивости системы в этик условиях: Вг = / Яг)р(г) дг = пнп, М = / р(г) бг = соим, (И (И где г(г) — локальное значение свободной энергии в расчете на,частицу системы, р(г)— плотность числа частиц (см.
залачу 24). Условие экстремума вспомоштельного функционала б((" = б((р — р((г) = 0 в пространственно однородном случае определяло однородность значения химического потенциала ре+ у = р(г)'ж р, а условие б Вк = ~ е (- — г) -(бр(г)) Ыг> О Р(~ ВР~ ~ Ве/,'2 (И приводило к стандартному условию устойчивости (- — «) >о, Если теперь, следуя задаче 25, мы представим отклонение в внае «суперпозиции» плоских волн, бр(г) = — ~ арье ,У (ьгс( то получим двя «отклонения» свободной энергии где мы учли, что е' бг»» УА(((): Задачи и дополнцшяльяые вопросы л глава 1 Таким образом, распределение ыа представится как произведение независимых гауссовых распределений по амплитудам )рьР, причем средние от них значения (рь)з д йГ ез (-др/де), от волнового вектора й вообше не зависят. Согласно задаче 25 это среднее определяет дисперсию числа частиц — — (рьР ! (Ь~)' = е'(-др/де) ' как и следовало ожидать, это — станлартная формула.
Если теперь мы предположим, что в разложение аз У' входят ис только плотности (бр(г)) з, ио также и произведение их градиентов ('рер(г))' (в случае «слабой» неравиовесности— только первого порядка) с такими коэффициентами, которые обеспечивают положительную определенность новой квадратичной формы для бзУ, то, перехода к й-представлению, мы получим, что АУ = Фа — ~~~ (Д +и ) —, р,,),Р 2!г йг ' где аи' »» (ез/В)(-др/дэ)».
Поэтому теперь будем иметь )рь)з е 1 К а дз+из' Это выражение (как приближение низших градиентов) справедливо только при малых значе- ниях волнового вектора й. Согласно задаче 25 полученная величина связана с Фурье-образом корреляционной функции я!(22) — 1. Располагая выражением для )р«Р в области малмх й, мы лля больших 22 получаем оценку Ориштейиа и Цернике (К Б Огпме!и, р Хепз|хе, 1918): -«я Зр(И) — ! — ° — ° -е™ . а 4я 2! В критической точке, когда и - О, корреляционная функция перестает быть «короткодейству- юшей», Х!(2!) — 1 1/22, радиус корреляции увеличивается до бесконечности и флуктуации плотности перестают быть алдитивными (см. $2). Заметим, что учет в выражении лля АУ' градиентных членов, которые в я-представлении приводят к появлеишо слагаемых, про- порциональных Д' н более высоким степеням й, нс изменяет станлартиого результата лля термодннамичсских (адаптивных) флуктуаций (ЬЖ)',н„так как эта величина определяется значением )рь)з в точке й — О, Глава Я Брауновское движение В этой главе мы рассмотрим физическое явление, основой эволюционного процесса которого является воздействие на систему случайной силы.
Частный, хотя и достаточно распространенный случай такого процесса — брауновское движение, экспериментально открытое Робертом Брауном (К. Вгони) в 1827 г., — с описательной точки зрения достаточно хорошо известен. На основе рассмотрения простейшей реализации этого физического процесса — трансляционного брауновского движения — мы не только произведем конкретные количественные оценки, но и постараемся понять с физической точки зрения многие стороны и особенности процессов подобного типа, более формальное рассмотрение которых отложим до следующей главы.
Заметим только, что, несмотря на высокий уровень развития теоретической механики, а во второй половине Х1Х в. и кинетических представлений, характер брауновского движения был окончательно понят и количественно описан только в начале ХХ в. Эта «задержка» в понимании явления была связана с осознанием природы и особенностей случайных процессов, одним из которых, причем наиболее характерным и наглядным, является брауновское движение. Итак, рассмотрим движение крупных частиц в термически однородной среде типа газа или жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
