Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Зб, Прнперннй внд кор- Тогда введя переменнуго интегрирошшия 11 Зз РЕЯЯЦНОННОй ФУНКЦИИ Р(Р) Н 1', получим ее аппроксннацня ступенчатой функцией г-тт р)2 дкз е згр тт1 дст р(1т) егт о !т откупа, учитывая, что у нас т < 1/Г и егт Я 1, и беря интеграл по 1ю получаем с точностью до членов порядка тз и выше (р-р)з=(1-е ~) — +О( '), 2Г где поправка 0(тт) связана не только с аппроксимацией экспоненты егг единицей, но н вкладами от треугольных концов заштрихованной на рнс. 34 реальной области интегрирования. Заметим теперь, что»спецификация» функции р(1') лля получения этого результата для дисперсии (Ьр)~ не так уж важна: в оценку входит некоторая эффективная величина р, которая определяется с помощью соотношения т" тт +»» д1' ут(1')е = дб' ут(1') + 0(т ) й рт.
-т, -00 Полученная зависимость дисперсии (Ьр)~ тпд о от времени 1 носит ярко выраженный релаксационный характер: Р втт (р — р)т -~ рт -~ — прн 1 ~ со. т 2Г Считая, что при 1 - оо брауновская части- (М) ца прихолит в состояние термадинамического равновесия со средой, отождествим это пре- О дельное значение рт с тем, которое вычисля- 2Г ется с помощью распределения Максвелла: Рнс.
Зб, Завнснность от врененн днспер- р = птд. снн ннпуяьса (Ьр)' н среднего от квадрата Тогла получим окончательную формулу, опреннпупьса Р' по грубой икапв врененн с делающую эволюцию величины (др)~ в гру- бой шкале времени 1 Ъ т (рис. Зб): (н,р)з (р р)2 рт рт тлб(1 е ггт) Время 1 тм —— 1/(2Г) является для брауновской частицы временем установления максвеллопского распределения по скоростям, по прошествии 1 1/(2Г) начельное 86 Глава 2. Брауновсхоа двоженце значение импульса частицы ра уже ие определяет ее дальнейшего движения. При малых временах 1 « 1/(2Г) (но Ф ~ т) мы получаем характерное для брауновского движения линейное по 1 поведение дисперсии: или р« = ра+ 2Гп«01. Это так называемая формула Эйнштейна лля дисперсии импульсов (Ьр)~.
Этот результат является существенным во всей теории брауновского движения. Он показывает, что уже при выходе на грубую шкалу времени 1 > т (напомним, что т 10 ы с) мы получаем результат лля (с~р)', непредсказуемый с точки зрения примитивных представлений о механическом движении брауновской частицы. Действительно, согласно механике, которая в рассматриваемой нами ситуации «работает» и эффективна на интервалах времени 1 < т', имеем Р = Р(1) = Р(0) + Р'(0)1 +..., р - р, = Р(О)1+ -~'(О)1'+ откуда (р — рв) =Р(О)Ф +... г при Ф<г~, т.е. зависимости от первой степени 1 просто неоткуда взяться. Рассмотрим теперь в тех же приближениях, как ведут себя средние более высокого порядка. Имеем (р р)з д) д«дГ -гр-и> -гр-и)е-г«-Ыр(1 ) о(«)Р(1 ) о о о Подынтегральная функция может бьггь отлична от нуля только в том случае, если все три аргумента (Фнгз,гз) попадают в общую окрестность типа шнура вдоль главной диагонали куба, представляющего область интегрирования по $„$нгз (если какое-либо из Ц выйдет за пределы этой области, то мы получим Р(1,)Г(Гз)Р(1з) = Р(Ю,) г'(гз)2«(гз) = 0), Поэтому величина (р — р)' имеет вид с (р р)з дг е-згр-10сз+О(тз) = Узтг+О(тз) ЗГ о где результат интегрирования по гз и 1з вдоль главной диагонали, который мы назовем «строением» (от слова «три») и в котором мы явно выделили основную зависимость от т, сз — — тамаз, есть некоторая пока не известная величина.
Но так как при $- оо — аозт з аозт 2 (р — р)з -«рз -« — + О(г ) = —, ЗГ ЗГ' а этот результат мы сопоставляем со средним рз, рассчитанным по распределению Максвелла, рз = О, то в нашем отрубленном рассмотрении сз = О, т.е. результат «строения» должен быть опущен, и (р р)3 — 0 Глава 2.
Броуновское двеженое ранее поправочные члены к дисперсии (сор)т, которые дадут поправку к первому слагаемому в рт порядка о( з) Анапогичным образом можно рассмотреть и более высокие степени дисперсий (р — р)ь. Рассмотрим теперь смещение брауновской частицы (по-прежнему в пространственно однородном случае У(г) = О). Так как 0 ст й=-р, х~ =хо, 1 по* ~о Рис. Зт. Область иитетРиРооо- то, выполняя интегрирование, получаем иип по й и Фт при росисто смоцоиип броумоосиоа части- т цы х(Ф) х»мхе+ее +~ огт 1 до~ е 'е" — Р(1,). о о Если в последнем слагаемом правой части (рис, 37) изменить порядок интегрирования и проинтегрировать сначала по 1т, то этот член упростится: с т с е-гр тй о т, о Вводя переменную интегрирования Р = à — 11 вместо гп получим -гт г 1 -гг х=х,+е,— +~ а' — — р'(1-1'), Г Г пт о откуда лля среднего смешения брауновской частицы (по грубой шкале 1 > т) имеем 1 хо + еог при 1 чь —, Г' е-гс х = хо+по Г ео 1 хо+ — при $ > —.
Г Г Характерно, что при 1 < 1/Г смещение х — хо —— ео1 как бы остается еще »механическим», хотя, как мы видели выше, изменение во времени импульса брауновской частицы уже существенно иное. Для дисперсии смещения получаем знакомую конструкцию: т с е-гп (х — х) = ~Ы! огт ' ' 1о(11 »2). Г Г пт~ о о Введем, как и раньше, переменную интегрирования Р = 1, — 1т, проинтегрируем по 1', учитывая известные нам свойства функции оо(Р) и то, что при (1'~ ( т можно считать е г" сб 1, т-тт 1 е-гтт . егг 1 1 е "гн М' — Оо(1') = Г гят Г тпт э 1.
Харинювр движения брауновсной чаапицы 89 получим -г», (х — х)' = — дГо о 1/Г этот интеграл берется просто: 2тй !з 1 — — — в случае 3 итз 3 Г' В частных случаях ! ~ 1/Г и ! > оот пт' (х — х)' = !От га' ! 2й Гз 7 1 в случае ! Ъ вЂ”. Г 20 / ! е-н ! е-зг~~ (х — х)' = — ! ~1 — 2 — + у ~ Г! 2Гг,г! ' С практической точки зрения интересно знать не дисперсию (Ьх)', а срелнес квадратичное отклонение брауновской частицы от ее начального положения (х — хо)!. Этот элементарный пересчет з/1 — е г~т (х-х)з = (х-хо)'-ио ~ Г чы сделаем в частных случаях малых и больших Е Собирая вместе результаты лля смешения брауновской частицы и изменения ее импульса, получаем в случае малых 1, когда Г! < 1„ х Й хо+ со!, 2Р Г! (х — хо) = иог 1 + — з — — — со!, птиоз 3 г (,(!р)з В 27й! т. с.
для смещения при ! «С 1/Г (но ! > т) еще продолжает сохраняться механический характер движения (в данном случае — равномерною), а величина (,бр)' уже определяется формулой Эйнштейна. В случае больших 1, когда Г! ~» 1, имеем (х — хо)з й 2 — ! 1+ — — о — — ед 2 — 1, рз од гпй, т ГФ 2В 2 у т.с. на этих временах р' определяется равновесным статистическим значением шв, а квадратичное смещение (х — хо)~ Й 2-1, определяемое известной ОУормуяой т Эйншжейна (А.
Е!пзге!и, 1908), таково, что частица как бы «забывает» о своем механическом прошлом», и процесс становится как бы безынерционным, Такой процесс в следующей главе мы будем называть марковским. !)оафики квадратичных омешсний представлены на рис. 38. Естественно, что дальнейшая эволюция системы брауновских частиц может ".ыть рассмотрена уже в этой еше более грубой шкале времени, когда все временные Если же выполнить несложное интегрирование по !з и подставить значение рт = 2Ггяр = 27Р, получим окончательно для среднего квадратичного смещения брауновской частицы: Глава 2. Броуновское дацженое интервалы (включая те, которые обозначаются как й) значительно превышают величину 1/Г, т.е.
$ > 1/Г. Такое рассмотрение в рамках исследования «стохастического» уравнения уже неудобно. Мы привлечем для этих целей функцию распределения р(1,х), и на основе уравнений уже для этой функции будем решать вопрос о дальнейшей эволюции системы. Прежле чем зто сделать, выясним еше одно важное следствие формул Эйнштейна для $ .а 1/Г.
Совершенно аналогично тому, как зто делалось нами при исследовании величин (г»гр)2 и (сор)«, мы получим (теперь мы уже заранее знаем, что сз = О и с« = О) рт игр р« 2Г Г 2»,2В (х — х)2 й — 1 1„(х — х)2 = О, 7 (х — х)4 З[(х — х)21 12 Рис, ЗВ. Общий вид зависииости сред- него квадратичного смещеиив коордииа- ты и иикуиьса брауиовской частикы х= хе+ ио1. где скорость ио установившегося движения 1 1 Осг' »н«а = 7 7дх определяется в конечном счете вязкостью среды (переход в «равномерно движущую- ся» со скоростью -ио систему отсчета вернет нас к *старым ° формулам). Учитывая теперь, что О=(х-х)2=(х-хо)2-З(х- о)2,1+2(х-хо) 212-в212, /2В'т 2, 3 ~ — 2) 1' = (х — х) = (х — хв)« — 4(х — хв) . пег + 7 «»«ки И к»ыы« и т.д., мы получим для «скоростей» изменения отклонений (х — хо)в в грубой шкале 1 д 1/Г следующие результаты: х — хо! — = во (не исключено, что ио = О), г-о .;(х -'хо)2 2 — — формула Эйнштейна, г-о 7 и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
