Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Обобщение рассмотрения на трехмерный случай не представляет особого труда. Физический смысл этого уравнения мы рассмотрим в следующем параграфе. э 3. уравнелце Фояяеро — Вланко 5 3. Уравнение Фоккера — Планка Рассмотрим сразу трехмерную систему (это не вызывает дополнительных математических осложнений) и обратим внимание на физические процессы, происходяшие в системе. Отказавшись, вследствие нерегулярного характера движения брауновской частицы, от описания движения какой-либо одной из них (хотя на эксперименте ее движение с достаточной точностью может быль и зафиксировано), будем описывать эволюцию частицы (или идеального газа из брауновских частиц) с помощью функции распределения р, что допустимо согласно 5 1 в самой грубой временной шкале 1 2 1/Г.
Так как распределение по импульсам брауновских частиц в этой шкале является в любой момент времени максвелловским, то нас будет интересовать только функция распределения по координатам р(1, г) такая, что р(1, г) Иг определяет вероятность обнаружить брауновскую частицу в объеме (г, г+ Иг) в момент времени 1, причем р(1, г) вг = 1. йв Так как наши брауновские частицы стабильны, не исчезают, не рождаются вновь (нет их источников), то функция р(1, г) должна удовлетворять уравнению непрерывности вр в вр В1 Вг дг — + — (рг) = — + гйг (рг) = О. Введя грубую шкалу времени 1 > 1ГГ (включая в( Ъ 1/Г), мы фактически лишили себя возможности использовать микроскопические соображения для преврашения этого соотношения в уравнение для одной функции р(г,г). Оставаясь в рамках полуфеноменологического рассмотрения, представим поток рг как бы складывающимся из двух частей: да+ в«»уч Первая из них ве обусловлена внешними силами, действуюшими на брауновскую частицу, вторая в — случайными «флуктуируюшими» воздействиями на нее со стороны частиц среды (с аналогичным разделением на «регулярную» и «случайную» части мы уже встречались в предыдушем параграфе).
Для регулярной части мы можем использовать представления макроскопической гидролинамики о движении тела в вязкой среде. Для малых скоростей и сферических частиц »»н«ш = 7яе~ 7 = бяЛ«1 поэтому упорядоченный поток частиц можно записать как 1 д(Г Рв»= Р у дг гле 1à — потенциал внешнего силового поля. Случайное же блуждание с махроскопической точки зрения имеет характер диффузионного процесса, поэтому зяффузионный поток частиц мы запишем как (случай малых градиентов) вр рв =-Э— ю3м в > гле величина Р по физическому смыслу является коэффициентом лиффузии брауновских частиц данного размера, массы в среде с данной температурой, вязкостью 9б Глава 2.
Броуновское Ввоженое и т.д. Конечно, в каждом ланном случае эта величина может быть определена экспериментально, но заготовить таблицы значений Ю на все случаи жизни ие представляется целесообразным. В связи с этой трудностью рассмотрим предел 1 со, когда система достигает своего состояния термодинамического равновесия. Напомним, что такое состояние характеризуется постоянством во времени всех характеристик системы и отсутствием потоков любого типа. Поэтому помимо Вр/И = 0 мы имеем три «уравнения» для компонент потока /1 рт= — ~-рйшб1Г+2Зйшар =О, 7 которые можно записать в виде д1пр д / Гг '1 — — — а=х,у,г, В: д" ~ Ю7/ Решение этого уравнения Г/(г) 1 р(г) = сопзг ехр мы могли бы предсказать заранее, так как идеальный газ брауновских частиц в поле У(г) характеризуется в равновесном случае больцмановским распределением У(г) 1 р(г) =сопз1 ехр в )' Сопоставляя этн выражения, мы получаем, что коэффициент диффузии Ю довольно просто связан с температурой, вязкостью среды и размером брауновских частиц Ю зу =— 7 Поаставляя это значение в выражение лля потока рв„и собирая все члены вместе, мы приходим к уже знакомому, полученному в 52 из уравнения Смолуховского, уравнению Фоккера-Планка (А.
П. Ро1гхег, М. Р!апек, 1914-1917) для функции р(с, г) вр д — — -01т (р йшб 1/) — - сзр = О, Я у 7 Это линейное дифференциальное уравнение параболического типа, дополненное условием нормировки, начальными и граничными условиями, полностью опреде- ляет решение для искомой функции р(1, г). Это решение определяет эволюцию системы на временах 1 Ъ 1/Г, которая имеет релаксационный характер (к рас- прелелению Больцмана) с некоторым временем релаксации т„, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и брауновских частиц, но и от формы сосуда, типа его границ, начального распрелеления и т.д. Некоторые простейшие примеры, допускающие точное решение этой задачи математической физики, от- несены в раздел залач.
Рассмотрим здесь только одну — ту, которая соответствует случаю свободного одномерного брауновского движения, и убедимся на этом приме- ре, чю схема уравнение Фоккера — Планка плюс соответствующие дополнительные условия лает все требуемые для 1 Ъ 1/Г результаты. Итак, внешнего паля нет, У = О, имеется бесконечная одномерная система с условием отсутствия потоков на бесконечности и начальным условием, соответ- ствующим нахождению брауновской частицы в начальный момент в точке х = 0: др д дар — — р(О, х) = б(х), дг у дяз' $3.
Уравнение Фоккера — Планка ~1хр(1,х) =1, р~, =О, — ~ =О, Ор1 и +лВ Пережиш к фурье-представлению р(1, х) = — ий ра(1)е'~*, 2к / получаем в й-прелставлении элементарную математическую задачу ра = - -й р,„ р,(О) = 1, т,е. р,(1) = ехр ~ — -й 1~, Вз ( В 21 7 7 откуда, перехш2я к х-представлению, получаем искомый ответ (см.
рис. 42) %и77в ~ ю!7в)' Так как х +' = О, а для четных степеней + ОЭ х2в ( 1) о стх вв (-1) ей -ав' вб ров / дов зу( а' — В х' = 2 — 1 — формула Эйнштейна, 7 ~2 хз =О, х4 ж!2 ~-) 1 и т.д., 7 откуда следует, что -,'ха~, = О при й > 3, т.е. функция р(1, х) действительно принадлежит требуемому классу функций. Так как в этой модельной системе внешнего поля нет, а стенки раздвинуты на х бесконечность, то предельное при 1 - оо распределение плотности соответствует р = О.
Значение полученного решения для р(1, х) не ограничивается только рамками рассмотренного примера, Эта функция может служить основой для получения ряда распределений по другим характеристикам свободного брауновского движения (см. задачи 5-7), для построения решения задач с границами (см. задачи 11-14), для проведения оценок. О х Остановимся на одной из них — оценке Рис, 42. Вид решений уравнения Феввремени заполнения брауновскими частицами сосуда конечных размеров.
С математической 1 < 1, < 1, < г, точки зрения время такой релаксации бесконеч- невского движения но (время установления больцмановского распределения), речь идет о физической оценке эффективного времени релаксации. Рассмотрим сначала одномерную систему, в которой движение брауновских частиц Пгава 2. Броуновское движение ограничено стенками, так что — Ь < х < +Ь. Если бы Ь вЂ” оо, то эффективный размер облака брауновских частиц определялся бы формулой Эйнштейна. ха = 2Ж.
Если бы на расстоянии Ь = ъг21И от точки х = О по обе стороны стояли стенки (рис. 43), то внутри системы за это время 1 мы получили бы достаточно равномерное распределение брауновских частиц сги числа б ауновскик чвсгич по п о- (чиелсннаЯ оценка оставшейсЯ «неодноРолности» шествии вренени г = г,'7(2й) после произвелена в задаче 17). поэтому и полагают, что того нонентв, когда все они находи- время полной релаксации в слое -Ь < х < +Ь лись в начале координат, дпя случв- имеет величину ев свободного движения р, в(г,х) и движения р(г,х) в огрвниченнан стенкани слое (-Ь < х < Ь) 223 В двумерном случае (брауновские частицы в плоском кювете радиуса Я) формула Эйнштейна имеет вид гз хз+уз = 4Рс, и соответствуюшая оценка приобретает иной коэффициент, шз спаян 4 Аналогично в трехмерном случае, когда и' = х'+ уз+ яз = Зхз, 22з Яьлн б27 Коэффициент диффузии Р в этих формулах выражается через параметры браунов- ской частицы и среды: И д 27 = — =— 7 бя аг1 Полученная оценка г„,„„, конечно, достаточно груба, но зато она и достаточно универсальна, так как не зависит от деталей формы сосуда и начального распределения брауновских частиц.
5 4. Обсуждение Подведем теперь итог характерным временным процессам в системах, рассматриваемых в этой главе. При исследовании движения брауновской частицы мы установили, что эволюцию системы можно представить как последовательность характерных ее этапов.
1-й энгоп, О < $ < г — механическая шкала времени. Здесь т — время корреляции случайного воздействия Г(1) (ширина функции уг(1)). Описание эволюции системы — это задача теоретической механики о столкновении нескольких частиц с конкретными механическими параметрами (массами, скоростями, начальными положениями) с одной большой частицей. Движение последней полностью детер- минировано.
99 5 4. Обсуждение 2-й этап. ! > г — первая грубая шкала времени. Детали воздействия среды на частицу смазаны, в качестве динамических ее параметров выступают усредненные по с3! > г величины (Ь! ч; !). Изменение этих средних с течением ! уже не имеет прямой аналогии с простым механическим движением: с Р й р~~+ 27дг — формула Эйнштейна, при г< !/Г (х — хе)' сн иез!' — движение как бы по инерции; зм — распределение по р — максаелловское.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
