Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 25
Текст из файла (страница 25)
а о Конечно же, стенка как короткодействуюший фактор на брауновскую частицу, расположенную вдали от нее, непосредственно не действует. На брауновскую частицу действует среда, а зтодействие в макроскопическом плане выражается черезжидкоетрение, Р, = — уо. Если представить реакцию стенки на облако брауновских частиц как «снлу», в среднем уравновешивающую вязкое воздействие среды на зто облако, т, е. ввести представление о среде, как бы материально транслирующей зто воздействие — актуальная тема динамического офира, обсуждавшаяся еше во времена Максвелла, Р „„„= -Р „„„„,.
„„— то сразу получим 115 $4. Уравнение йонкера — Планна. Точные решеная Для момента времени т получаем р(т, О) = рд(т, О) ° (1 + 2е + 2е э + ...) й ре(т, О) 1,27 .. р(т, Ь) = ре(т, 0) е ' (2 + 2е " + ...) Ш ре(т, 0) ° 1,234 ... — И 0,97, р(т, Ъ) р(т, 0) т. е. к моменту времени т = Ьэ/(2Р) отклонение плотности брауновскнх частиц от равновесного значения составит не более 3%.
Вид решения для р(1, х) при 1 = т представлен на рис.54. Задача 16. Брауновские частицы краски находятся в поле ТТ(х) = гпях в жидкости, заполняющей конусообразный сосуд с углом а образующей с осью конуса (рмс. Бб). Определить высоту, на которой будет находиться максимальное число брауновских частиц, а также среднее значение потенциальной энергии брауновской частицы. Рис.
88. Система, ограниченная коиическии сосудом и помещенная в поле шах, которая рассматривается е задаче 18 Рис. 86. Плотность распределения по высоте х числа брауновских частиц в конусе, помещенном е поле силы тяжести Решение. В равновесном случае плотность частиц определяется формулой Больцмана р(х) = С ехр ( — ~), где постоянная С определяется иэ условия нормировки и дг = С / Их ехр ( - — )э их 18 и = С2и 18 о ~ — ~ игах) э э э а ига ~ е Число частиц, находящихся в слое (х, х+ дх), равно хз олг(х) = ДГ -1 — ) ехр1 — — Тх ах = н(х) Их.
2~в) '( а 1 Плотность и(х) имеет максимум ня высоте хе — 29/(глл) (рис. 56). Средняя потенциальная энерпгя брауновской частицы равна ОО 1 Т ТГ = — / игах Ийг(х) = ЗР. -дг1 о Откуда для интересуюшего нас отношения концентраций в центре системы и на ее границе будем имен 116 Задачи и дополниглельные вопросы к главе 2 Задача 19. Определить стационарный поток р(х) брауновскнх частиц двигающихся в поле 17(х), если на плоскости х О их концентра- рв цня поддерживается равной рв, на плоскости х = Ь концентрация рд, Рассмотреть слу- чай, когда зто поле представляет прямоуголь- ный барьер сг(х) = сус для точек в интервале а < х < а+ сьа (см.
рнс. 57). Решение. В стационарном случае поток числа частиц вдоль оси х постоянен, т.с. а а+Ла Ь Рис, 67. Распределение плотности брвуновских частиц пс двине сосуда в системе со стационврнмн их потоком в случае, коща частицы преодолевают потенциальныйй барьер Ув В бр у = -- р — — — — = -- е — (рв Г ) = сопвг. 7 дх 7 дх 7 дх Умножив левую и правую часть етого соотноглсния нв е~гв и проинтегрировав по х в квкихлибо првлелвх х~ щ * < хы мы получим соотношение, которое Чвнлрвсвквр нвзевл формулой Крвмврсв (Н.А. Кзвгпсгв, 1940) ю -- ~р(х)е ыу ~ у / ещ увдх н Полагая х, = 0 и хз — — Ь, павучввм в ' 1,~~0 Р )ЧДг()0, 7 в Если У(х) — прямоугольный барьер, то Рв — Рь у= Г Ь+Ьа (есьГг — 1) Для плотности брвуновскнх частиц получаем в разных интервалах (см.
Рис. 57) 77 Р = Рв В' 0<х<а; а<я < а+Ьа; Р = (Рв — а — ~ в ' — — (х — а), 77 т -ьпв в/ в Р=Р,-Ю ~гга(вЩР 1) Ь ~ д а + гьа < х < 7. Задача 20. Разрабатывая вариант диффузионной теории химических реакций у поверхности реагирующего со средой образца, Кранерс рассмотрел проблену выхода крупных частиц иэ поверхностного слоя в случае, когда потенциальный барьер, определяющий его динамическую струюуру, имеет провал, в зоне которого поддерживается стационарная плотность брауновских частиц. Оценить поток выходящих из слоя брвуновскнх частиц при следующих упрощающих предположениях: а) поверхность образца является плоской, в связи с чем вся задача становится одномерной; б) потенциальный барьер су(х) имеет упрощенную прямоугольную структуру, изображенную на рис.бй; 84.
Уровненое Фоккера †Ллон. Точные решения в) высота его «2 ТТ над «провалом» ТТ(х) = ТТе велика настолько (М7 .з (з/з)Р), что поток прокодящих через барьер частиц очень мал, и в зоне провала О < х < о плотность браунавскик частиц Р(х) практически постоянна; г) выведшие наружу (х > а+ сь) частицм назад уже ие возвращаются (уходят «на бесканечнастьэ нлн вступают в химическую реакцию и исчезают), в связи с чем можно считать, что их плотность вне слоя практически равна нулю; д) весь процесс стационарен (т.
е. убыль брауновских частиц в яне ТТо все время поддерживается на одинаковом уровне за счет «откалывання» нх ат образца). а о+А О у Рис. 5Р. Зависииость удельного по- тока выходящих з «вакуум» через ба- рьер с»ТТ брауиовских частиц ст ко- эффициента вязкости 7 Рис. $6. Прямоугольная аппроксииация потеициальиога барьера приграничного слоя. Пунктирной линией обозначена модель ТТ(е) Краиерсв, состоящая из двух сопряженных в точке * = о встречных парабол я о -пог« ,т = — = — е Р«7«з Если появление экспоненты е ььу« в этой формуле представляется чем-то традиционным, то зависимость плотности потока от вязкости среды 7 является уже характерной (см.
рнс.59). В случае Т - О (исчезающе малая ююкость) плотности находящего потока Пюзит расходимость, однако в этом случае движение частиц (или облака из них) Уже нс описывается в рамках диффузного приближения: в яме О ( н < о они начиняют двигатьск от стенки до стенки и обратно, почти ис тормозясь средой. В предельном случае Т = О плотность потока пролепнощих через барьер г5ТТ частиц естественным образом описывается известной формулой Ричардсона (см. т. 2, мщачн к гл.
!, $7) и ' ' 4уяпт имеющей ту же экспоненпнюгьную структуру, но уже с нс зависящим от 7 и толщины барьера «5 предзкспонснциальным множителем. г> Решение. Поляны в формуле Крамсрса (см. задачу га) эг — — О, нз = о+Ь Р(О) = Р«.
Р(э) ~ О при х ) о+ «5, и вычисляя примитивные интегралы, сразу имеем для плотности потока брауновских честил в случае ЬТТ/Р > ! р«Р -лиг« 2 = „-„+ 5«~он — ,—„,~Р«е откупа для удельного патока брауновских часпщ, выходящих нэ приповерхностной «лмы», получаем 118 Зодачо и дололноглельные вопросы и слове 2 $5. Учет нестабильности брауновсних частиц Задача 21. Полагая, что среда, окружающая брауновскую частицу, ежесекундно растворяет с единицм ее поверхности а частиц (брауновскал частица полагается сферической, плотность числа частиц ее материала и задана), определить, как меняется с течением времени величина хз.
Ноэффициент диффузии 2)о брауновских частиц в среде в момент времени ! = О считается заданным. Решеное. Число частиц, составляюших брауновскую частицу !У = злу!'п, согласно условию изменяется по закону !У = -4кутза, откуда следует, что размер бреуновской частицы уменьшается с течением времени по линейному закону а Р а 22(!)=Л,--г=я,(~! — -~, т= —. п ~ Т)' пмь Так как 22 ш В/т, Г = бк)2п 22 и диффузионный поток, квк и раньше, 2, = -22(дрггдх), то исходное уравнение Фоккера — Планка имеет вид лля ! < Т р(О, х) = б(х), р( = р'(, = О, ~ р(4, х) дх = !. С помощью замены Т т =Т!ив Т-! или ! = Т(! — е О ) получаем уравнение простейшего вида Оз — = 224 —,, р'1, = р/, = 6(х), решение которого нем известно (см.
гл. 2, $ 3), откуда сразу имеем (рис. бб) — Т х! = 222~т = 2РзТ!и —, ! < Т. Т вЂ” !' Задача 22. Полагап что брауновские частицы, описанные в предыдущей задаче, двигаются в плоской кювете, заполненной прозрачной жидкостью, и считая, что в момент ! = 0 они находились в окрестности начала координат, определить характер изменения во времени видимого радиуса Я облака частиц, если прибор регистрирует его а случае, когда брауновские частицы экранируют более З!г-й части (К » 1), прокодящего через наблюдаемый участок кюветы потока света. Рнс.
бр. Зависимость диспер- сии смещения ху в случае не- стабильных брауновских час- тиц от времени ускорение роста хз с течением времени связано с усилением процесса диффузии по мере уменьшения размеров частию Задаче решается и при других вариантах зависимости 22 от времени. у 5. Учев мшглобнльноппн браулоаскнх чаалнц 119 Решенне. Так как каждая частица экранирует плошадь яа', на кшкком элементе »СЯ = г г(г ггр их будет к моменту времени С в среднем р(С, г) »СЯ штук, где г = /а»+у», р(г,г) =р(С,е) р(С,у) (одномерные функции распределения по е и у — зто решения предыдущей задачи), а нижний предел зкранировки С =Т(1 — ехр( — — )) н См =Т(1 — ехр( — — )) определяются после решения трансценаентных уравнений 2г' 1 г' = С,ехр Т В случае а = Со)Т <.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
