Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 27
Текст из файла (страница 27)
иариои случае Во-вторых, полученный вид самой зависимости ст Ж ог(гьг) = /ьрЯйр(1 + оьг) ~, оо йг(О)е" пок, гле У'(0) = р' = та (рис. б1), достаточно характерен, он свойственен корреляционным функциям так называемых гауссовых стационарных случайных процессов (см, гл. 3, $4). Аналогичный расчет корреляции пространственных отклонений приводит к результатам совершенно иным (лля определенности будем считаты."И > 0): 1ЬЯ(Г)гзг(1+лог) = †.1~1 — (1+с ) + — е /1. 2В / 1 — ег' 1 — опт Гс 2Гг Так кек процесс смешения частицы а случае свободного брауноаского движения никогда стационарным не становится, то в етой корреляционной функции зависимость от г не исчезает ни при каких его значениях.
Более того, при переходе к шкале г .р 1/Г, когда лля (гье)з имеет место формула Эйнштейна, члены, содержашие /ьг, становпся в один ряд с попреаочными и — 2в а (Г) СЬл(1 + сЬГ) В (ди(1))з  — г, 7 125 $7. Гшсхасшические уравнение движения Задача 29. Определить в шкале времени ! ~ т (си. й Ц корреляцию отклонений импульса и отклонений координаты от своих средних значений ЬрЬх н оценить это «соотношение неопределенностейэ в случае Ф > 1/Г. Решение. Согласно 61 гл.2 -т!мь1 1 -го-в1 ь»рЬх»» / «1, »/ Вг, е ' ' р(1~ -!з), тГ Г о о Рис.бб. Зависниость корреляционной функции «коорднната — иилульс» от врененн откупа, интегрируя по 1' = 1, — гз, подставляя значение Рт = 2Гша и беря интеграл по !з, получаем (рис.
68) с-и ! е-зг» Ь Бах = 2В ( — — ) Г 2Г откуда з ! !»р!ьх М ВГ ° 1 при Г* В ! Ьр~~ И вЂ” при г.м —. Г Г' Полученное»соотношение неопределенностей» показывает, что «измерения» (если измеренным величинам сопоставляются средние значения, обозначаемые чертой сверху) координаты и импульсы не являются независимыми. Так, измеряя величину, являющуюся Функцией импульса и координаты брауновской частицы, получим 1 Вз/(Р, х) — Вз/(р, х) — 1 Вз/(р, В)— /(р,х) /(р, х) + — ' (1зр)'+ — ' гьрйх+ — ' (сьх)з+...
2 дрз Врбр 2 ВУз В шкале 1 С 1/Г при формальном ! - О (но ! Ъ г) величину /(р,х) — /(р,х) = Ь/ можно сделать как угодно малой, однако в шкале времени ! Ъ 1/Г при формальном 1 — О величина гз/ оказывается конечной. г» Задача 30. Показать, что с точки зрения первой огрубленной шкалы времени ! .з» т (включая Ж Ъ т) корреляция смещения брауновской частицы !зх(!) со случайным силовым воздействием на нее отсутствует. Решение. Так как согласно б 1 гл. 2 1 Р(! — У)Р(!) = р(1') = О в случае !1'( > т, то, учитывая, что «Г ( !Г ч, 1, получаем в низшем по т порядке ,1 — е 1 т! р ТВ /~,, пзГ 2 2 т2 2т о что в шкеле ! Ъ г и означает отсутствие корреляции. 126 Задачи и дополниглельные вопросы к главе 2 Задача З1. Решить уравнения Ланжевена для движения брауновской частицы в поле постоянной (или «квазипостояннойв) силы Р , = — дг//дк и определить зависимость от времени средник значений и дисперсий импульса н координаты.
Определить ограничение по Е сверху такого рассмотрения, связанное с конечныин размерами системы, а также область значений 1, для которой брауновское движение можно считать свободным. Решение. Стохастическое дифференциальное уравнение (см. гл. 2, б !) р+Гр=Р +Р, р( =ро определяет решения Г 1 е-г»» 1 р = р+ / ез» е" "Р(!»), а = У+ / ез, ° — Р(! — 1,), Г т о о которые отличаются от рассмотренного в 5 1 случая иными значениями средних У и р: -и 1 — е "' р=рое +Р Г -г» -г» ~анеин я=во+со + — ! ~1 — ) . Г тГ ~ Гг б»ормулы же двя (!»р)» и (»з я)» остаются прежними. Обозначая при ! Ъ 1/Г имеем Риаин р= =тио, Г рр» = те; 2В ио! «Х и — ! = (»Зя)» «у 7 — 2д *о+ ио! (Ьх)~ = — 1.
7 Чтобы действие поля У было несушественным (т.е. брауновское движение было бы свободным), потребуем, чтобы лиффузионное расширение )/(Ь*)' преобладало бы над регулярным смешением Š— ао = ио! (при обшем условии 1> 1/Г): 1(ВЦ 4( ) Я откуда получаем, что свободное брауноаское движение реализуется при 1 2еу — «1« Г (Опт/бя) Для случая движения брауновской частицы размером 1О 'см вводе (л 10 'г/(см с)) при ' комнатной температуре величина 27в/(тв) лля случая, когда плотность вещества браунов- ской частицы вдвое превышает плотность воды, оказывается порядка 1О»-10 4 с (напомним, что 1/Г 10 ц с).
Позтому визуальное наблюдение свободного брауновского движения воз- » можно в случае, когда плотность материала брауновской частицы близка к плотности срелы, либо в случае движения частиц в плоской горизонтальной (или очень мало наклоненной) кювете. Влияние на брауновское движение границ системы не будет сказываться, если одновре- менно й 7.
Опохаппичеснае уравнение движения тле Š— линейный размер системы. Таким образом„неучет эффектов, связанных с наличием границ, можно опрважпь прн Г ' "'" ( 2В ' )д1т!дв)~' Формула Эйнштейна лля смешения справедлива только в этом интервале значений Г. Задача 32. Исходя из того, что (см.
гл. 2, % 1) в шкале времени 1 ~ т (Др)' = под(1 — е агг) (Др)з„-, О (Ьр)зо = 1. 3.... ° (2п — 1) ~(Ьр)~~, и = 1, 2, 3,..., где Ьр = р — р, а среднее значение р в случае движения брауновской частицы во енешнен поле Р = — дУ/дж найдено нами в задаче 31, определить функцию распределения у(8, р), обладающую указанными выше моиентами. Определить эквивалентное этой функции дифференциальное уравнение типа Фоккера †План с начальным условием з(О,р) = 6(р — ро). ( 1 ( р)2 1 у(д р) = вохр (/2к(оьр)о (ЯР) ;шн, полставлвв сюда выражение ллв р (см.
задачу 3!), т/2кша тг'1 — о-жт ( 2под(! — е из) х Г ) Лиффоронцнруя эту функцию по 1 и производя несложные перестановки членов, получаем эквивалентное этому решению лля у(д р) дифференциальное уравнение типа Фоккера— Планка (тслько но е координатном, в в импульсном пространстве) с б-образным начальным .славном — = à — ( ( р — — ) У(Д р)) + Ггла — Я, р), ду(йр) д /г' Р'т 'т д' дв др», ГУ' ' ~ Вр у(О,р) = б(р-р,).
с Задача 33. Для случая одномерного движения брвуноаской частицы в поле У = ашт решить стохастическое уравнение движения в шкале времени С > т (т — время корреляции случайной силы Р(1)). Определить структуру средних (х — ~~» н по ним построить функцию распределения р(о, х). Исследовать случаи колебательного и апериодического брауновских движений в поле ашз. гашение. Линейное дифференциальное уравнение (см. гл. 2, й1) с начальными условиями 2о 1 й+ Гл+ — э = — Р(1), э(г о — — ло, л)г о = оо но зависящей от э правой частью решается точно станларгными методами: ° -г 1 о,(„~(--(г-~/г - — ')ц)- (--1г уг'- — 1оц — пю-ц, Нешвние.
Совокупность всех моментов функции распрслелення восстанавливает саму функ- цию распределения. В данном случае (см. аналогичную ситуацию в задаче 5) — это гауссово распрелеленио 128 Эадочо.о дололнцаельнме вопроси л главе 2 гГ(,-~~" ) г(-.,(ггт'г'--)г).
Используя развитую в б! процедуру, получим после взятия интегралов лла лнсперсии — --г,.:., (, ...,.(--(-(-~)))- — — с — з~ — ~, (~- г(-(г+т'г'- — )г))), а также в полной аналогии с $1 (х-х)м 'мб, (х — х)'"=1 ° 3 ° 5 ... ° (2п — 1)!(~Ы)'1 . Соответствующая совокупности этик моментов функция распределения имеет впд 1 1 ! (х - х)~ ! р(1,х) = екр ~— .(..-) Г (.-) ) ' Если парамстрм системы таковы, что 2а ~"'Ч" 1— то реализуется апериодический процесс.
В шкале 1 Ъ 1/Г псйучаем откуда р(1, х) = Зтот результат совпадает с решением уравнения Фоккера-Планка диа брауновской частицы в поле У = ах~ с начальным условием р(0. х) = 6(х — хе) (см. задачу 14). Полученное в нашей задаче решение ддя р(1, а) является более общим: оно получено в шкале времени 1 Ъ г, поэтому содержит еше ею оно не ограничено приближением большой вязкости и может, в частности, описмввгь эффекты брауноаского движение в колебательном режиме, когда 8а/ш > Г'.
рассмотрим этот случай более подробно. Обозначим С йо — — Г' = 2м, тогда Г 1 / 2ее+ Гха (-- ) ( г.гг+ — ~г гг) 2 ) 2М х — У= — 1 ехр ( — — 1г ) а1п(нег) ° — Р(1 — гг) гйн 1 2 ) ш а )г9 9 7. Опокослшчесяое уравнение двакелия а также Е 2тд 1 г г 1 о, 2 1 а»г'г (х — х)г = — + — — е —,е — — +, е ' 2а глг еогг \,à — »2ы Г Г+ »2ы ) Замечая, что )ба е, 2»г Гх!2ы= о,! — е», 19!»м —, уиз Г и производя несложнме преобразования, запишем дисперсию используя формулы Эйлера в виде 9 (х х)г 2а (1 — е ) — — ~/ — е мп(юг+ 9) ° згп(ы!), 2тв глгыгМ аа где /нг Г Гю з!ар м м!у! —, соэн = -»уг —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
