Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 30
Текст из файла (страница 30)
д, Помимо плотностей вероятностей м„,введем условные, вероятности Ра(6!6) гд Ра(6,1~ ! 6,1а), где Ра вЕа определяет вероятность обнаружить величину Е в интервале (Ез, Еа + «1Еа) в момент за, если в момент времени оэ величина Е = Е,; Рз(Е,Еа16) йЕавР,(Е,,1„Еа,а~ !6,1~)за определяет вероятность обнаружить Е в (Ез, 6+ аЕз) в момент «з, если в Са осуще- ствлялось Е = 6, а в $, осуществлялось Е = 6 и т.л. Введенные величины не являются совершенно обособленными друг ог друза.
Они связаны несложными интегральными соотношениями, возникающими при свертках функции вз„по каким-либо из ее аргументов, например зоэ(6 Еа>Ез)ИЕа = зла(6 Еэ) и т.д., а также соотношениями типа вза(Еа ! Еэ) = эоа(Еа)Ра(Еа ! Ез) мз(6,6' Еэ) = вза(Еп Еа)Рз(Ен Еа ! 6) и т д., вытекающими из самого смысла введенных нами вероятностей (эти соотношения часто используются для определения самих условных вероятностей Ра, Рэ и т.д.). Мы будем рассматривать главным образом стационарные случайные процессы, т. е. случаи, когда функции зо„и Р„однородны во времени: вз«(Еэ Г~ + Го' Ь «а + Го1 ° 1 Е«э 1«+ 1о) = зо»(Ен гб Еаз 1а~ 1 Еп* 1») В этом случае ао (61) = (6г — 1) = вз (Е) вообще не зависит от времени, ма(6 Гб Еа,4а) =вэа(6 б' Еа'За-С~) =зла(ЕнЕа,' Са — Ч зависит от разности 1а — 1~ и т.д.
Аналогично Ра(Еь ° зз ! Ем «а) = Ра(Е~ ! 6. 4а — »з) и т.д. «Теоретически» стационарный случайный процесс реализуется только в рав- новесных статистических системах, Если же в этих системах совершаются еще и временные процессы (по грубой макроскопической шкале), на фоне которых имеется еше «шум» случайного процесса, то мы будем говорить о квазистацио- нарном случайном процессе (критерий квазистационарности естественно возникнет после того, как мы введем соответствующие корреляционные интервалы времени, характеризующие данный случайный процесс).
140 глава 3. Некоторые вопросы гпеорци случайных процессов Помимо случайных величин типа б(1) у нас будут фигурировать регулярные функции случайного аргумента у(С(С)). Конечно, это тоже случайная величина. Нас будут интересовать ее средние значения, дисперсии и т.д. Эти величины будут сопоставляться с экспериментально наблюдаемыми эффектами. Упомянутые средние — зто средние по «распределению»»о(С). Экспериментально наблюдаемые величины — это средние по некоторому конечному времени наблюдения (или времени измерения) гзТ, достаточно большому по сравнению с временами, характеризуюшими сам случайный процесс, но малому по сравнению с временем, определяющим квазистатичность или квазистационарность случайного процесса.
Рассмотрим сопоставление этих средних величин несколько более подробно. 5 2. Эргодичность случайного Процесса Проблема сопоставления средних по интервалу ЬТ со средним, рассчитываемым с помощью функции распределения гп(б), — в данном случае зто не та проблема эргодичноотн статистической системы, которая относится к разряду «вечных» и принципиальных вопросов теории, отсутствие полного и безусловного решения которых никак практически не мешает использованию канонических распределений Пчббса (более того, и не подрывает их авторитета) в равновесной статистической механике, В данном случае зто совершенно б+дг конкретный и практически важный вопрос о том, каким требованиям должен удовлетворять случайный процесс н измеряющий вне. Вз.
Определение врвнвни, лроввявнного его характеристики прибор, чтобы для описистемой в «состолиии» ((,(+ Сг(). соог- саниязтогопроцессаврамкахтойточности, вегсгвуюжнв интервалы огнвчвны нв оси г которую обеспечивает этот прибор, можно жирной чертой было использовать для расчета интересую- ших нас величин функции»о и Р. Рассмотрим сначала самый простой вопрос — проблему введения функции яч(б). Ввелем вспомогательную ступенчатуюфункцию, вырезаюшую малый интервал з начений (с', б+ Ьб): когда б < с(1) < б+ ьб; Ь(б — б(С)) = О, когда ф(1) вне интервала с»с; например, с»(б — б(1)) = / б(Щ-б')бб', с где б(б — 4') — дельта-функция Дирака.
Эта Ь-функция вырезает из графика б(1), как показано на рис. 81, кусочки, проекция которых на ось 1 определяет то время, в течение которого параметр С(в) попадает в заданный интервал Ь~. Если сушествует предел т с+ос 1 Г 11пз — / бг / б(4'(Ю) — (») Щ' = о время, проведенное системой в (б, с + Ь() — 1пп — 1)Г(0 = го (ОМ т Т 14! 5 2.
Эргодочноопь случойвсео процессе м жем 'интерпретировать полученную величину Ьйее(С) как вероятность обплотн ость наружить ~(1) в интервале значений (С, с+ ЬС) и ввести соответствующую вероятности все(с). эта функция нормирована: .Е-оо +ос 1, 1 Е « =тИ 16«' -О '=тТ1"'=1 по пмм ем О (т.е. сама еее (с) — интегрируемая функция на интервале -оо < и < + < и < +оо), Если опре(б) анным выше способом, то спроблема эргодичностио не возникает; так как езС < С, а функция 3(С) — регулярная функция своего ргум у(с) ь(б — с(ю)) = е(с(8))ь(с' — с(Ф)), н поэтому ЕЕЕЕ = Е ЕЕЕЕмЕЕЕМ = Е, ЕЕЕЕОМЕЕЕ = па сссм ем т +ос 1 ,«,~ Я())~Е) -Е) ~'=,В;у'аЯ()) = ХАЮ, О 0 -со т.
е. среднее по распределению сводится к средне у ре м по в мени. Аналогичное рас- СМОТРЕНИЕ МОЖНО ПРОВЕСТИ ДЛЯ ФУНКЦИИ вез .Д., и т, заметим только, что этого п имитивного понимания асс точк оч и зрения ортодоксальной математической науки р роятности (т.е., по существу, ее «частотного» определен ) й ия для наших исследований исключительно физических проблем будет вполне достаточно. П й пособ рассмотрения — это, впрочем, не совсем то, что нам редложенны с в мели при пракк ак усреднение по формально бесконечному интервалу вре нужно, так к к ы не ализ ется, а по сравнению тическом измерении каких-либо параметров системы не реал у с каким интервалом времени т (являющимся характеристикой данного случа ного процесса) это время ) ремя Т должно быть ббльшим, из приведенного рассмотрения не следует. в тео ии вероятностей Прежде чем выяснить этот вопрос, напомним известное р неравенство Чебышева лля вероятности Р(у, - Ц > е) того, что величина ~ отклоняется от среднего своего значения е, по модулю на вел у, ре ичин, п вышаклцую заданное значение е Р((~-0>е)= / (й« 1г-(фе — Уе1З/ЕЗ > 1, ПРЕВЫШаЮЩуЮ ЕДИНИЦУ Введем под знак интеграла величину (ь — у) егрировання в данной области интегрирования, а затем расш р ту б и им э область интегр ро на все значения е,', тогда получим еЦЕ - Е~ > *Е С вЂ ', 1 ЕЕ - С' ЕЕЕ ЕЕ С вЂ ', 1' ЕЕ - Ее' ЕЕЕ ЕЕ, к-пэе откуда и следует необходимое нам неравенство Чебышева (ее г)з РМ-Ь >.) < —,'.
!фг Пава 3. Иекопюрые вопросы меорпп глучойяык процессов Рассмотрим ради простоты стационарный случайный процесс, когда ич(с,М) = ач(с) и»оз = «оз®.сз' Фи — !з) Пусть величина (' представляет среднее по конечному интервалу времени Т некоторой регулярной функции г(С) случайной переменной С(!): х С= Т У(б(е))а=У.
о Усредняя эту величину по всем значениям 8(1) с помощью функции распределения ич (С), получим, учитывая независимость этого распределения от $, ~= / — /,Я(!))й!вг (С(Ф))И((1) = — / ику(С) = У-~ як = у, у 1 1 à — — 1 Г -о» о т. е.
величина ~ представляет собой среднее значение г(с) по распределению ич(с). Напишем теперь дисперсию этой величины х х сьс) -С-а'= —,,)«)юь(лкьыкиз-Слив ) лси») = о о х х +а 1 =я(~в!аьааялиу«Мень: -ы — кь км= о о х х + 1 Г = —,!а !'«)!'«ил»)лы и) вйи,а; -ь)-0 о о -«О где мы ввели функцию у((м Су, !з — $~), характеризующую корреляцию значений 4~ и Сз, «раздвинутых» на интервал времени $з — $ы Если время корреляции т «случайного процесса» С(!) конечно, т. е. величина Сз, начиная с некоторого Фз > Ф~ + т, д(Ф) оказывается не зависящей от выбора значения $, иными словами, процесс С(!) в масштабе Ь1 > т становится действительно случайным (а не только из-за названия, которое мы ему с самого начала 1 просто приписали), то функция у(!з-!1)-1 (рис. 82) 1 отлична от нуля только при !Фз — !1! ( т.
В связи ! с этим область интегрирования по Ф, и Фз из квадрата ! со стороной Т превратится в полосу шириной т О т вдоль его лиагонали (рис. 83). Поэтому, если время усреднения Т > т, то рис. 62. Заеисниость ореиенной корреикциониой функции от интервала гз — $~ =Г и отклонение среднего по времени от среднего по распределению можно сделать сколь угодно малым (сходимость «по вероятности», полученная на основе использования неравенства Чебышева для Р(Д- у! > е) при тГТ - О. Р 2. Эргодичность случайного лроиесса С реализацией полобной ситуации мы уже истречалясь в Р! предыдущей главы (там же приведены Т и характерные для брауновского движении порядки для времени т). Таким образом, мы приходим к важному для всего нашего рассмотрения выводу, что исамьзование аппарата функций т(С) в теории случайных процессов моясет быть эффективным в аом случае, когда используемая для их описания «экспериментальная» шкала времени ! грубо наспныько, что время Т, затрачиваемое на «фиксацию» ! Т 21 (или «измерение ) какой-либо зависящей от С(!) характеристики системы, значительно превосэюдит время карре- РНЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
