Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ВЗ. Обяавтв лите»РИРО" лицин случайного процесса, Т » т (естественно, что это влнил, овРеделлюцлл элвисивремя Т значительно меньше отсчитываемых по грубэой днения шкале вРемени 2 интеРвалов). Полтчаемые при таком ' ненияср нелл повренени рассмотрении результаты для интервалов времени 1 < т т средне Рло распределению не имеют ни физических, ни формальных оснований.
Остановимся еше на одной часто используемой при рассмотрении случайных процессов интерпретации процедуры усреДнения. ПредставиМ; что Случайный прЬ- цесс С(2) как бы записан на ленту (типа бумажной ленты электрокардиографа), из которой взяты отрезки, соответствуюшэ1е некоторому интервалу !в. Для упрощения будем считать, что все эти отрезки равной длительноспг (это не обязательно: гв может быть средней длительностью в данном наборе интервалов).
Среднее от заданной функции У(Д!)) берется по набору большого числа ГэГ таких интервалов (по своеобразному «ансамблю отрезков» здписи С(!))л т. е. в этрм случае «измеряемая» величина записывается как причем С = У(0 »» / У(~) (О К. Если !и » т, то достаточно рассмотреть, как это делалось ранее, только один из интервалов, так как учет других уже не прибавляет новой информации. Поэтому рассмотрим случай !в < т. Если интервалы непосредственно следуют друг за другом, т. е. !»»! = !и + !в, то пРоблема вновь сводитсЯ к Уже РассмотРенной, в котоРой Т = ФФв, Однако возможны случаи, когда интервалы 2«18„= 1„'+1' — ' г"„разлвинуты (Гь1„> гв) или пеРекРываютсн (221„< !в). ДлЯ ЬпРеделенностн положим, что все 2!!и одинаковы, »э!„= М (можно, конечно, предположить. что моменты г„расположены случайно, а Ю вЂ” среднее значение Гьг„).
ТЬгда 1„= (и — 1)222 и мы имеем и н»лл»э» юьэ» (Д~)2 = — ~~у ~~у ( — ' ( — 2 Д щд~э Г(~1)Г((2) ш1(б1) х х м1(с2)с(с! с2! !2 !1) где Глана 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов Функция Г2(22 — 2,) отлична от нуля только в области 22 — 2~ < т, т.е. она выбирает какое- либо из значений и, внутри заштрихованной на рис. 84 области. Таким образом, для каждого и имеется только 2(то+ т)/2) 2 таких значений гп, лля которых 22 — 2~ < т (так как это отношение не обязано быть целым, то получаюшунгся дробь надо просто дополнить до целого числа). Поэтому получаем «Ч вЂ” 2+ 2+ (ЬД2 — ° У А 2»г2»»г 23г»»» ' и поэтому отождествление среднего по распределению и2,(~) значения у с величиной Д2п..., $л), определяемой как среднее по набору 23г отрезков случайного процесса с(2) от Рис. 64. Обнао» интегрировании и и-м временных средних по каждому иэ них, оказыслагаемом суммы (п=!,2,...,К), оп- веется оправданной в случае Реденяющеа среднее квадратичное отнлоненне среднего по «ансаиблю» от- т+ со ре»нов случайного процесса ог среднею 23Г,ѻà но распределению ю~ С Физической точки зрения этот результат эквивалентен полученному ранее, так как Югьг порядка полного времени т «наблюдения» процесса с(2), а величина т+2» (при нашем предположении 2» < т) порядка времени корреляции т.
$ 3. Стационарный марновский случайный процесс Пусть последовательность моментов времени 2; упорядочена условленным нами способом 2~ < 22 < ... < 2„~ < 2„, где и = 3,4,.... случайный процесс с(2) называется марковским, если условная вероятность Р»((„2,; ...; (» п2„, !б»,2») =РД» п2»,1~»,2»), т. с. это такой процесс, когда вероятность обнаружить систему в (с„,с, + 22с,) в момент времени 2„, если в момент 2 = 2„~ она находилась в положении с = ~„-и не зависит от того, н каких положениях она находилась в предшествуюшие 2„~ моменты времени (в 92 предыдушей главы мы говорили, что не зависит от того, каким путем и откуда система попала к моменту времени 2 = $„, в точку» с = с, ~).
Для таких процессов (спсг,сз) =ига,б2)Р3(с с2 (с3) = = «о2(4! с2)Р2(с2! с3) = го!(6)Р2(6! с2)~ 2(с2 (сз) (аналогичным образом любые ю„выражаются через Функцию и2~ и произведение вероятностей Р2 от соответствуюших аргументов). Интегрируя левую часть равенства по переменной С2, имеем «озыпЬ(3) Аб =«о2(Ы» =«о (с»Р2(с (бз) З 4.
Гауссовский случайный своционарнмй марковский процесс 145 откуда получаем, сокращая на м,(6), ЕЪ(616) = Рг(616)Рд(616)46. Это есть не что иное, как уравнение Смолуховского (или Чепмена — Колмогорова— Смолуховского), которое мы рассматривали в б 2 предыдущей главы. Восстанавливая временные аргументы, имеем Рг(6 !газ' гз — 1~) = Рд(6! бд,' гд — 6)Рг(614з; гз — Гг) 46 Это нелинейное интегральное уравнение имеет разного типа решения, включая такие, которые к рассматриваемым нами физическим задачам вообще отношения не имеют, например, решение 1 сг ~д(сь 1 6 ) = — ,д, (то, что оно удовлетворяет уравнению Смолуховского, читатель может проверить самостоятельно).
В предыдущей главе мы показали, что физический интерес представляют решения, соответствующие конечным скоростям изменения первого и второго моментов функции Рд и равным нулю скоростям изменения всех высших моментов этой функции. В этом случае уравнение Смолуховского сводится к линейному дифференциальному уравнению параболического типа, называемому уравнением Фоккера— Планка, которое при соответствующих заданных начальных и граничных условиях имеет единственное решение. $4. Гауссовский случайный стационарный марковский процесс Как мы видели в предыдущем параграфе, марковский случайный процесс может быть описан с помощью функций распределения зи,(~) и Рд, причем лля условной вероятности Рг мы сформулировали процедуру ее расчета„например, с помощью уравнения Фоккера — Планка. Для функции зи~(С) такой процедуры нет, поэтому вопрос о виде распределения взз(С) остается одним из основных в теории случайных процессов.
В отличие от статистической механики равновесных систем у нас нет какого-то общего (или исходного) выражения лля зи (в равновесной статистической механике таким распределением является распределение Пзббса). Наиболее распространенный выбор функции вз,(Е) — это гауссово распределение. Для такого выбора, как мы убедились на материале гл. 1 и 2, имеются достаточно убедительные физические основания, но есть и чисто формальные обстоятельства, связанные с реализацией этого распределения. Рассмотрим этот вопрос на примере простейшего случая.
а) Распределение вероятностей значений суммы независимых случайных величин Имея дело с физическими системами, например, с брауновским движением, мы встречаемся со случайными величинами типа случайной силы Р(1) — равнодействующей многих сил, которые в используемой грубой шкале времени представляются некоррелироаанными, независимыми друг от друга случайными воздействиями на систему (см. гл. 2, $1). 14б Пгава 3.
Непопюрые вопросы юеорцо случооных процессов Рассмотрим для простоты одномерный случай. Пусть имеется некоторая функция распределения и,(~). Ее фурье-представление (называемое часто характеристической функцией распределения) будем обозначать И',(д): -чг в~(~) = — 3( Мое ' Нг~(д), $Г~(д) = / ИСе'г м~(~) = енг. 2к з Представляя ему в виде бесконечного степенного ряда, имеем тр~(т) = ~х'~, ' Р. с=а Таким образом, если известны все средние значения ~", называемые моментами функции распределения то,®, то мы знаем и функцию И',(д), по которой можно восстановить интересующее нас распрелеление м~(~). Аналогично для функции распределения по ~ы..., С„можно записать Пусть теперь все 5,..., б„— независимые случайные величины, характеризуемые в отдельности одной и той же функцией м, (с;) (в случае, если б,,..., б„представляют значения С(Ф), взятые в моменты времени Ф,,...,М„, эта ситуация реализуется тогла, когда временные аргументы разделены интервалами, превышающими время корреляции т).
ТОгда Если в последней формуле мы положим о~ — — оз = ... = о„= о, я'(й." е)= хр(ч(6+ "+М =ту(т)=~ ~— „, ~~ 6) ь=о ' с=~ то получим характеристическую функцию одномерного распределения по сумме = Я $ независимых величин 5. Переходя от этой характеристической функции ° =! к С-представлению в(Е„) = — / е ст И/„(д)Ид, 2я,/ мы получим функцию распределения по значениям суммы Е„ б) Центральная предельная теорема (частный случай) Если независимые случайные переменные („...,б„характеризуются одной и той же функцией распределения в, (С), имеют нулевые средние значения и конечную отличную от нуля дисперсию Сз = Гз, то вероятность того, что относительная з 4. гауссовской случобныб сгпацоонорны0 нарковской процесс 147 величина суммы 2; 5/~/п(~ меньше заданного значения ~, при и — оо стремится ш! к интегралу ошибок Ф(~), С Ф(~) = — е С ~ 4С".
з/2к / Р— '~„6<~ гг~т ьы Обобщение на случай 5 зе О несложно, для этого надо заменить сг - сг — с"; ~'-~'- уг. Итак„пусть имеется некоторое распрелеление гв,(~) такое, что +ВО +~о С = Сгв, 48 = О, Сг = 4 и,® оС' — конечная величина, сзхз с~к~ Зт (х) = [Ж~(х))" = 1 — — — г 2л 6(па)зГг 24пг(Рг)г Чтобы бездумно не возводить многочлен в очень большую и-ю степень, рассмотрим логарифм этой функции: / хг Х хг (3)<3 ~4~~4 х4 1п!4г„(х)=п1п ~1 — — †...) — — — — 4 + ' +... 2к ) 2 бп~/гУ)з/г 24пф)г 8и (мы учли, что 1п(1+а) = а — аг/2+...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
