Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2 условием утт/(2Г) = рт = шВ (см. также гл. 2, задачу 2). Согласно формуле Найквиста (после сделанных напоминаний — любому ее варианту) имеем для оценки теплового шума случайного воздействия на брауновскую частицу та полосе частот гам, выбираемой произвольно внутри диапазона (О, нго), величину гэы кт~ = 27 —, тг определяемую значениями только макроскопических параметров (температура, коэффициент вязкости среды, размер брауновской частицы).
Перейдем теперь от свободною брауновского движения частицы — несколько формального примера, на котором было удобно представить асю схему рассуждений, к физически более интересному случаю, для которого формула Найквиста и была впервые установлена, — к оценке теплового шума ЭДС на концах сопротивления Я. Включим данное сопротивление в электрическую цепь так, чтобы реализовалась рассмотренная выше схема. Самый простой вариант такой цели, эквивалентная схема которого представлена на рис. 94, — короткозамкиутое сопротивление (вариант с разомкнутым сопротивлением рассмотрен в задаче 17). Имеем для тока 1 11т В Ъ|+ В1 = Е, 2 2 Обозначая р = 11, тп = Ь, Г = Щй, имеем сразу Рнс.
94. Эклнеллентнал злектрнческлл схема короткозлм- оценку шума ЭДС в интервале часют г5ы (ооять— кнутого солротнлленнл с гене- только через макроскопические величины) ратором теплового иумл ЭДС Е вЂ” Жи Ез~ = 2Гс —. а' Это и есть собственно формула Найквиста (Н.
Му<р!зг, 1928). Ее же можно получить и при других вариантах выбора электрической цепи (см. задачу 17), в которой участвует данное сопротивление. Использование спектральной техники — это лишь улобный прием ее получения, и мы видели (гл. 1, задача 28), что формула лля теплового шума ЭДС сопротивления, нахоляшегося в состоянии равновесия с термостатом, может быть получена из обших соображений, минуя процелуру частотных разложений, предположение о гауссовости случайного процесса и т. д, 159 в 9. Обсуждение В 9.
Обсуждение Еще раз подчеркнем некоторые моменты проведенного в этой главе исследования. 1) Не располагая каким-либо общим аппаратом, из которого можно было бы как в частном случае получить необходимые функции распределения, нам пришлось, исхоля из самых общих соображений, последовательно сужая класс рассматриваемых процессов и наклалывая все большее число дополнительных условий на систему, прийти к замкнутому формализму, описывающему гауссовый марковский случайный процесс.
Это, конечно, весьма частный случай случайного процесса, но физические основания принять эти ограничения были — мы их заимствовали из гл. 2. Может быть, экономнее было бы просто декларировать необходимые конструкции лля функции распределения или уравнения для них, но такай метод построения теории (который можно оправдать только с практической точки зрения, но никак не с методической и научной) не выявил бы физических условий применимости аппарата. 2) Изложенная в главах 2 и 3 теория — это теория неравновесных процессов (конечно, только для систем определенного типа). Один из моментов ее построения— зто условие, чтобы получаемые с ее помощью средние величины при наступлении стацнонарности случайного процесса (формально при с — оо) переходили бы в средниЕ рассчитанные по методу Гиббса. 3) Во второй половине главы (й 4-6) мы познакомились с техникой спектральных разложений, Она имеет большое распространение, так как удобна при рассмотрении конкретных вопросов.
Общие идеи этого метода, которые естественным образом возникли в недрах теории колебаний, оказались весьма универсальными и используются последние десятилетия (в различных модификациях) во многих разделах теоретической физики, особенно в квантовой теории, квантовой статистике и т, д. 4) Остановимся на несколько иной точке зрения на процедуру введения частотных представлений в теории случайных процессов. В $5 мы сформулировали с-процедуру с тем, чтобы обеспечить существование фурье-образа функлии с(с), не имеющей свойства достаточно быстро убывать цри 14 -+ со (эта функция вообще лаже не убывает, она блуждает около значения ~ = О). Эта процедура является частным случаем более общей, заключающейся в замене исходной функции Щ на другую: Р(й) ((й) д(й) =б(й;д), где й(й) — регулярная функция, обеспечивающая существование фурье-образа С и практически равная единице лля конечных с (рис.
95). В в 5 мы сделали простейший выбор: й(й)=е 'Р~, с)0, е О. Рнс. 95, Разлнчные парнанты выбора обрезающей на с - йоо случайный процесс ДС) функцнн р(Ф) 1бо 1лава 3. Некоторые вопросы теории случойныл лрояессов Из других возможностей рассмотрим только одну: ( 1 прн Ф < Т, д(1) = р(т- ~1() = ~ аю, когда нз «ленты» значений ДФ) вырезается кусок (нли серия одинаковых по длине кусков), для которого — < Зт об стор ч ск ВОзник ложення об эргоднчностн случайного про с() ( . б ).
ную Т-процедуру (заменяющую в данном случае е-процедуру) следующим разом; 1 б(Ю), ~Ф~ < Т, р,т) = ~ ' ' йщ а(а,т) =а(с), ~о, ~ц~т, н получим с ее помощью основные формулы б 5. При любом заданном Т введение фурье-представления теперь проблемы не представляет: +«О +«О Г Ь«О ат,т) =' а(т)е 'и гйи, й«(т) = — / Я,т)е й, ОО ОО б (т) = 1-',(т) Определим временную корреляционную функцию случайного процесса й(1) как предел среднею по большому интервалу 2Т.' т +О» ° Ф б (р)~'+1) = 1пп — 4'(1')б(1'+1) й'~ 1пп — й'(С',Т®1'+с,т) й = 3' СО +ОО +«О = 1!т — й' оыЫб'„(Т)~,~(т)еки е т 2Т) СО ОО Полагая случайный процесс стационарным: б (р) ци+с) йг(1) / иы.т( ) ОО получаем знакомое по б 5 условне стационарностн 1нп — й'б'(Т) б (Т) ец ~1Г = Яй ед '1г =.7(ы) 6(ы — ы'), т 2Т ОО где спектральная плотность случайного процесса б(1) ь«1 й4 ,7( ) = — йбг(1) е' ' = — й йт — / б'($') Д$'+1) е 'й.
-(О -т 161 в 9. Обсуждение Отметим еще одну точку зрения на понимание среднего в теории случайных процессов. Можно представить, что «лента» записи процесса 6(!) разрезана для простоты на равные куски, соответствующие конечному интервалу 2Т, и затем производится усреднение по большому набору этих отрезков Ф т+тгь ле= н —,', К вЂ”,' / леха. е -к т+тз„ Зтот вариант сводится к рассмотренному выше случаю, так как, введя Т = Т(1+2Ф), получаем, что -у 5) И наконец, кратко опишем материал, отнесеннмй к разделу задач. Задачи 1-3 интересны в том отношении, что, выявляя корреляционные свойства случайного процесса типа суммы независимых воздействий на систему, мы не делаем никаких прелг)сложений о гауссовости и т.д.
(судя по результатам, они и оправдались бы). В параграфе, посвяшенном общим свойствам спектральной плотности, исследуется вопрос о модификации спектральной плотности, связанной с переходом к более грубой шкале времени (нли к использованию лля измерения случайного процесса более грубого прибора) (в залачах 4, 5 никакой гауссовости самостоятельно не возникает), выясненм условия, которым должна удовлетворять спектральная плотность 6-процесса лля того, чтобы гг-процесс (г1-смешение 4) мог быль стационарным (7, 10), в задачах !О и 13 обсужден вопрос о сопоставлении метода спектральных разложений и развитого в гл.
2 метода стохастических уравнений. Залачн 11, 12 — примеры точного расчета корреляционных свойств на основе одного метола Гиббса (без дополнительных предположений). Такие расчеты проводятся до конца только для идеальных систем, в которых зависимость от времени опевоаторов рождения и уничтожения может быть представлена в виде множителей егм ~'. Мы остановились на равновесном излучении, так как несложные проблемы, прелложенные в задачах 11 и !2, не требуют привлечения теоретико-волевых методов. В задачах на метов Райса следует отметить задачу! 4, где проведено исследование корреляционных функций и спектральных плотностей для систем типа осциллятора в вязкой среде.
Такие системы встречаются в целом ряде проблем (у наев в задачах 18, 24-26). Задачи ! 6-2! о тепловых шумах в электрических цепях достаточно традиционны, за исключением, пожалуй, только зааачи 21 — в ней исследуется вопрос, как модифицируется формула Найквиста при учете в проводнике токов смещения (высокие частоты, но эффектов запаздывания еше нет). Наконец, в последнем параграфе рассмотрены задачи, в которых используется двумерное гауссово распределение гиг(6н~р) с целью выявления корреляционных свойств 6-процесса.
Наряду с общими вопросами рассмотрены случайные процессы в системах, включающих нелинейный элемент (у нас — детектор электрической цепи). В обсуждении к задаче 24 рассмотрен вопрос о том, каков должен быть тепловой шум простейшего нелинейного элемента (детектора), чтобы он не выполнял бы роль демона Максвелла. Последняя задача — о шуме фазы волны, прошедшей через систему с флуктуациями. В ней выяснено, как при этом меняется спектральный состав падающего на систему регулярного сигнала и каковы условия возникновения комбинационного рассеяния (эффекта Мандельштама — Рамана). Задачи и дополнительные вопросы 51.
Сумма независимых воздействий как случайный процесс и его корреляционные свойства Задача 1. На систему со средней частотой и раэ в секунду действуют независимые импульсы так, что время возникновения каждого из них гг является случайной величиной.
Определить дисперсию и относительную флуктуацию числа импульсов, действующих на систему в течение заданного интервала времени Глт. Решение. Пусть Т вЂ” интервал времени, значительно превышающий ГЗТ. Твк квк величина и фиксирована, то при Т - со полное число импульсов, действующих на систему за зто время, РГ Ьз. Введем вспомогательную ступенчкгую функцию 1, если г попадает в интервал Гьт, Ф) = О, если Ф вне Гьт, определяющую число импульсов в зааанном интервале Гьт, РГ(Гьт) = ~г г(г,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
