Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 38
Текст из файла (страница 38)
шум силы зе(1) «бедняга), имеем й =но — Л, сову= —, гйу= —, г г й Л ыо ыо получим, замыкая контур интегрирования по и в случае 1 ) 0 снизу (при 1 < Π— сверху) и беря вмчеты в точках ы = ~й — гЛ (рис. 101), результат ф () /,у Е( ) -ьн -ог соз( у) соз у который нам уже знаком по задаче 34 к гл. 2. Полученные результаты имеют характерный вид, представленный на рис. 108 и 109 (функция Е(ы) — для четырех значений Л). О его 1 огн='ггао 2Л Рнс. 109. Спекгральнаа плотность авгокорреляциониой функции сиещений брауиовской частицы, двигающейся а поле упругой силы, при четырех значениях затухания Л, < Л, < Лг < Л, 2Л ыо я (ыг ыг)г+4Лгыг Если Л' < мог, то, обознвчаа Рис. 10$. Двгокорреляциоииая Функ- ция сиещеиий брауновской часгицы, двигающейся в поле упругой силы У = пгы~е~/2 Рис.
107, Расположение особенностей спектральной плогиосги корреляционной функции сиещеияй иа коиплексиой й-плоскосш 178 Задачи и дололниглельные вопросы и главе 3 Расчет корреляционной функции скоростей довольно прост. так как о(1) = й(г), то согласно задаче 7 эч(Г) = о(1)о(0) = — — э';(Ф),,У,(ы) = ы,У,(ы). Учнтмвая, что вз/ег = 1/иоз, получаем практически без труда (йз+ у) 2Л ы' ф,(г) — -лю сову ' " ' я (шз — ыз)з+ 4Л»ыз Графики этих функинй, представленные на рис. 110 н 111, тоже достаточно характерны. сов (»2г я) ма=о»лг Рис.
110, Автокорреляционная функция ско- ростей частиц, совершающих брауновсхое движение в лоле упругой силы Рнс. 111. Спектральная плотность корреляционной функции скоростей частиц совершающих брауноасхое движение е воле упругой силы лри трех значениях затуха- нияЛ~ <Лз <до Оба графика необходимо зеркально продолжить на области Г < 0 н и < О. В прелаае Л вЂ” 0 обе спектральные плотности 1,(ы) и 1,(ы) перестают быть размытымн, превращаясь в две линии на резонансных частотах ы ю жыо, 1 1»(ы))л-о Мл-о (о(ш — ™о) + б(м+ ыо)) С ростом Л макснмум функция 1,(ы), расширяясь, сползает к нулю, достигая его при Л ю ыо/2 (осцнлляцня Ф»(Ц прн этом еше сохраняется, так как й = л/й~т — Лз).
Максимум 1,(ы) остается на месте, ы»г = ыо. В случае Л > ыо все четыре полюса функции 1,(ы) лежат на мнимой оси, н зависимость Ф(1) от времени будет 1аке чисто эксноненцнвльной: й,(1) = ~(Л+)/гЛ» ыз)е-(л-4» ~а)' (Л ~Рз ыз'~е-М/л'-~,)~) о»о л ф (1) — ((Л+ „Лз-ыз)е (»ол/лт-ото)г (Л /Лз ыз)е-(»»/» ~~а)г) 2,/Л вЂ” ~ ~ Рассмотренная выше схема достаточно абстрактна. Ее реализация — это не обязательно движение закрепленной на пружинке частицы нли стрелки прибора в вязкой среае.
Величина в(Г) может описывать процесс типа собственного колебания системы, в электрических цепях это могут быть электромагнитные колебания и т.д. В этих случаях величины х(1), т, Г (нли Л = Г/2), ыо' необходимо соотвотствуюшнм образом переименовать. 1> Задана 16. Определить в диапазоне основной н первых гармоник спектральную интенсивность теплового шума звуковых колебаний в органной трубе заданной длины й 4. б!еглод слелглрольлыл разложений (меглод Ройся) )79 и поперечного сечения, закрытой на верхнем ев конце (инжннй конец закрыт всегда), полагая в этом диапазоне скорость звука постоянной, а затухание колебаний очень малым. Выяснить также, как изменится этот спектр, если открыть верхний конец органной трубы.
Решение. Амплитуды стоячих волн шголь органной трубы и ее резонансные частоты в иде- ализированном безрелаксационном варианте определяюгся как и в случае струны с закреп- ленными концами (см. задачу 29 к гл. 1) соотношениями П, и ся ив(*)»«А„Ч-зш(й„х), й„= -и, и=1,2,3,...; й„=ей,= — и, где Š— длина трубы, с = з/тб/пз — скоросп.
звука, у = с„/с, гх т/5. Заменяя натяжение струим Т в нашем случае на рд, где Я вЂ” сечение трубы, а р = Р/е— давление воздуха, считающеп2ся практически идеальным газом, имеем согласно упомянутой задаче в случае состояния равновесия с термостатом 22 2Ье ! из = Аз- = — ° —. « й Схз И2' Учет затухания акустических волн Л„, как бы мало оно ни бьшо, принципиально важен, так как именно ипухание ограничивает максимальное значение формально расходящихся в случае Л„= 0 реэцнансных амплитуд.
Согласно звдаче 54 к гл. 5 оно определяется неличиной скорости звука и коэффициентами нязкости и теплопронодности, подставляя значения которых, полученных в задаче 15 к гл. 5. получим в приближении т = сопл! Л„= -тй„ 2 2 5 (е приближении Л»в сонэ! нместо т надо подставлять Л ° Лз( — „) ). Зв Цз Определяя максимальное значение числа и из условия Л„= й„, получим, что условие чалого затухания Л„» Й„ограничивает число реальных обертонов трубы, 15гм Ь и»и и Ч вЂ” ° —. Ч йй ят Полагая в пределе исчезающе малых значений вязкости и теплопроводностн колебания отдельных гармоник независимыми друг от друга, т.е. 2»„и„= 22„° и = 0 при и и из, в соопытствии с прсды2цшей задачей этой главы имеем для временной корреляционной функции смешений газа в пределе Лв» й„ изс-Л'СОЗ(йв!+ ) и„(!)ив(0) = эт(!) = »в и'„сов(й !) СОЗ 92 И ДЛЯ СООтнстетнУЮЩЕй Ей СПЕКтРаЛЬНОй ПЛОтНОСтИ Х„(Ы) = ивзв(Ы) Ув(ы) =и„' -(б(в2 — Йв)+б(ы+йв)), 2 гэе символом б(ы ж й„) обозначена слепа размытая б-функция, имеющая «высоту» 1/„) „= 1/(2ил„), н где мы пренебрегли незнач»псльным смешением максимумов частотных распределений н басовую сторону, (Й„)..
=,/Й„- 2Л„а й„. На рис.!12 изображен внд многорезрнансной спектральной плотности У(ы) = ЯХ„(ы) э единицах и22(у~)и, имеющей б-образную структуру из последовательности уменьшающихся как 1/и' максимумов: 2ГС и = 1, й, = †, Л, = 2Ь вЂ” основной тон трубы, л, и = 2, йз — — 2йп Лз — — — — октава и т.д. 2 180 Эодпчи и дололниглельлые вопросы л главе 3 Рнш 112.
Спектральная плотность акустического шума амплитуды колебаний газа е закрытой органной трубе а единицах из(Л) . Крестиками иа осин обозначены расположения максимумов спектральной плотности е случае трубы, открытой сверку О 1 2 З / ш~ ас йе = —, 2Ь* 1с = 4Ь вЂ” основной тон, «=О, А~ = — — квинта и т.д. Ле 3 «=1, С) =Э(Се, $5. Тепловой шум в электрической це~и.
Формула Найквиста Эадача 12. Получить формулу Эйнштейна для среднего от квадрата заряда СС(С), протекающего за счет существования флуктуационных токов г(С) через соединяю- щий прокладки конденсатора проводник с сопротивлением СС за время С, если зто сопротивление находится в термостате с температурой д. Решение. Напомним самую простую схему стохастнческого пропесса: исследование уравне- ния двккення и дополнительного условия в р+гр=Р(с), г= —, 2 )сьиг 2' илн в «скоростномы варианте шаг! д гни+ Ге =Р(С), сеиг приводило к формулам Эйнштейна р (С) — нгд(! — е ) — 2"ГВС илн е (С) — — С при — 2д ! е'(С) = — С прн С > —. 7 Г Эту, вообще говоря, абстрактную схему мы рассматривали в связи с исследованием сжгбодного брауноеского движения в вязкой среде (отсюда и обозначения). Нам требуется написать формулу Эйнштейна дкя гзг(С).
В соответствии с вышеизложенным возможны два варианта. В случае открытого верхнего конца трубы спектр частоты Сз„а соответствии с изменив- шимся граничным условием изменится, ес / 1т 12„= — ~«+ - ), « = О, 1, 2,..., б~ и ма коимуьи!г спектральной плотности сдвинутся в басовую сторону, как зто отмечено косыми крестиками Ма рис. 112: В 5. 7ялловой шум в электрической цели. Формула Найкацслю 181 Рис.
113. Эквивалентные электрические схемы корогкозвнхиугого (а) и рвзонкнугого (6) сопротивлений, помещенных в терностат 1-й вариант, Сг(!) а(!), соответствует электрической цепи типа В-Х («короткозамкнутое» сопротивление в термостате, рнс, 113 а). Имеем для токе 7 = С7 (7(!) = е(!)): 7,7 й7+ В7 = Е(!), 2 2' т,е. гл= 0; Г=В/Х, и мы сразу имеем — /2д'» 7 с) (!) ( — ) 1, с> —. 2-й вариант соответствует выбору С7(С) = р(!). Модельному стохастическому уравнению для р(!) соответствует уравнение движения заряда в ВС-цепочке («разомкнутое» сопротивление в термостате.
рис. 1130): ! 1 Сгг Р с)+ — д = — Е(!), ВС В ' 2С 2' т,е. ш = С, Г =1/(ВС), и поэтому — 20 !гг(!) = — 1, ! ч. ВС. В Это та же формула. Дополнительные условия на ! включают параметры внешней цепи (7/ — время релаксации в Ву-цепочке, а ВС вЂ” в ВС-цепочке). Из физнчссюгх соображений ясно, что свободные, не завнсяшие ст других элементов цепи, Флуктуации тока в проводнике в первом случае соответствуют случаю 7, - О, а во втором — С вЂ” со. Задача 13. Получить формулу Найквисга для теплового шума ЭДС сопротивления В, используя в качестве электрической схвим модель разонкиугого проводника.
Решение. Напомним формальную схему, предложенную в й В: 2 г Ьы г1г(Г) Ди Ег( Ш 2,7Г(0)«Ьы ж †. — ю— Г я ! где 71(0) — спектральнаг платность Е-процесса прн и = 0„0(!) — его смешение. Полученная в предьщппей залаче формула Эйнштейна для ф(Ф) решает зэлачу автоматически. Если же «не знать этой формулы, то, полагая ( = г2(!) и учитывая г2г = Сд, Г = 1/(ВС), имеем — — Еьы, Ьы С)з( = 2ГЭгВС вЂ” = 2ВС д —. Ь« Так как в квазистационарной области в пределе «низких» частот ы < 1/(ВС) (проше пеоря, при стремлении к нулю величины условной емкости С вЂ” 0) для каждой гармоники е„= с)„/с, то для искомой формулы получаем Егы Ег( „= 2,7,(0)ЕЬы = 2ВР—.
3г )аг Задачи и дололнишельные вопросы х главе 3 Задача 19. Считая, что тепловой шум ЗДС сопротивления определяется формулой Найквиста, определить временные корреляции тепловых флуктуаций тока и напряжения на конденсаторе в электрическом колебательном контуре. В Рис. 114. Злектрнческал схе- на колебательного контура с ншочннкан случайной ЗДС Решение. Согласно стохастическому уравнению движения для контура (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
