Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Заметим, что рассчитанный пример случайного процесса (точный расчет) нн в каком нз приближений (для 1 нлн и) нс соответствует гауссоаому случайному стационарному процессу (это было видно нз формулы лля,Хл(ы), а также нз поведения временной корреляционной функции цгл(1)). Задача 12. Длл равновесного электромагннтного излучения рассчитать временную корреляцмю отклонений энергии от ее среднего значения /ьЕ(1)/ьЕ = Ув(1).
$ 3. Временные норреллции в равновесном излучении Предлагаемые примеры интересны в том отношении, что для равновесного электромагнитного излучения расчеты корреляционных свойств можно произвести точно, без характерной для теории брауновского движения процедуры перехода к отрубленной шкапе времени. Задачи и дололнапвльные еолросы я слове 3 Решение. так как (см. эаввчи 14, 16 из гл. 1, а также предмдуппло закачу) (гз8) = ~ (рс) па(1+ пе), йг еюге Хл(ы) = )г —, — — у ыь м 2агсг (еМе — Ц ~Б(1) = !Г г / с пе = У Ег(й), 2а гйгсг / (е* — 1)г 2ягйгсг м тле й = ВГ/й.
расчет этого интеграла привсаен в послелующем эа задачей приложении. Приведем частные случаи: 0 юе(В) аг -тгг где а — средняя плопюсть энергии равновесного излучения. В этом случае спектральная плотность корреляционной функции имеет внд (см. рис. 105) в ы~ зяг" ™ Х(ы) = —.
— м 8ягсго г 6~~ 4зй — иге гыге в случае йы ~ В 8п'его в случае йы й В, (а не распределение планке дяя спектральной плотности энергии Р,(в), которое несимметрично отнсснтеяьно ы = О) с максимумом, расположение которого иа оси и удоапетворяет уравнению ж 4 = 4/2, решение которого 4 = йме(в)/(2в) св 1,4 опрелеляет константу в законе смещения, а сама корреляционная функция определяется формулой в в Ф)4(0)м —,„.1,(й), й=йг.
Приложение к задачам 11, 12 Встречающийся в этих задачах интеграл имеет внд +м +м ее Г гесгнг* 2 (е* — 1)г 4 з1гг (ь/2) Рис,105. Спеюраяьная плотность кор- реляционной функции флуюуацнй знер- гнн рааноееснопг нзяученнп Хл(м) = г ° 4В,Е(м) в' у — ы~ в случае йы < В, 2ягсг г' — ы с ~ в случае йы>В, г-гн 2а'с' Ег(й) И вЂ” я 11 — — (2ай) ( вслучае й к 1, < г1 15 1, 14 Ег(й) ей -(2я)г ° 2айе г'ь в случае й Зг 1.
Заметим, что величиной Ег(й) определяется также временная корреляция случайной величины 4(1) = - '-,(В(1) + 1ЕЕ(1)), т й, тл +м ~'(1)Щ = — Ег — (да+ Н ) гй = / .Е(ы) гйе = и, 1 1 ! г Т/ 8аг 0 4. левад спеяглральныл разладгений (меглад Ройса) 175 При й = 0 эти интегралы (с помощью однократного взятия па частям) сводятся к интюралам, опрслеляющим числа Бернулли: Рис. З06. Расположение полюсаа ладынтегрвльнай функции а выражении для Ег„(а) н выбор пути интегрированна на конллексной У-плоскости 5 4. Метод спектральных разложений (метод Райса) в задачах о трансляционном брауновском движении Задача 13. Выразить корреляцию г)'(!) 0(1+Еь!) смещений во времени случайной стационарной величины С(1) через спектральную плотность этого процесса Х(ш) и рассчитать эту корреляцию в случае, когда процесс ('(1) является марковским гауссовыи процессом.
Решение. Обобщая расчет, выполненный в 6 б для апновременнога среднего 0'(!)0(1) на случай несовпадающих времен, имеем г г+щ Н» ) а1п — а!и— ыс, ы(1+ й) 2 2 г!(1)п(1+ ььг) = йц 4!г('(11)((!г) = йи Х(ы) . ехр ~ — у Г Подставляя в эту формулу спектральную плотность Х(ы) =,У(0) . —, получим ыг+Гг' 1+с-гщ 1 е-гг~ '(1)0(1+ )= * (0) (,1- .— ). 2 Гг и о поэтому прсаложенный ниже способ взятия этих интегралов является одновременно и способом расчета чисел Бернулли. Рассмотрим случаЯ и = 1.
В области полюсов падынтегральной функции (рис. 106), расположенных вдоль мнимой полуоси на плоскости х, х / у~ (х — 2яглг)г эй — = зй — гпяг +— 2 1, 2) 4 где пг = 1, 2, 3... (в точке х = 0 папюса нет), поэтому, подсчитывая вычет в кратном полюсе, получим дг ~ (-2я!) — х е *~ = е ' *(2х — !йх )(-2я!)~ = 2я (2 — + й — ) е ~»»-ы г ь дй дйг) откуда, суммируя по веем кч начиная с гп = 1, получаем Ег(й) м 2я ~2 — +й — ) ~~е-2™ 2я ~2 + й ) дй дйг с ~ дй дйг еэы 1 г„г 2лй(еы'+ 1) — 2(ег*ь — !) (еим Пг Поступая аналогичным образом, в случае и м 2 (см.
задачу 12) получаем г х'е-™ е* у д' дь г Л(й) = / Их»» (-2я) ~4 — + й — ) Е (* ) ~ „г (взятие производной предоставляем читателям) и т.д. Сь Задачи и дололниглвльные вопросы к главе 3 Так как по условию б-процесс является гауссовым, а при получении и'(С)О(С+ ЬС), как и в $ б, использовалось условие его стационарности, то в полученном результате мы должны счнтшь ГС Ъ 1 (ГЬС вЂ” любав) и опустить все неглавные члены.
Как уже отмечалось в задаче 28 гл. 2, в данном случае О-процесс не является ограниченным (необходимое условие его стационарнасти, обсуждаемое в задаче 10, не выполняется), основным членом в корреляции смешений является 2я,7(0)С, а зависимость от Ы описывается на уровне негарантированных членов (порядка 0(!/(ГС)) по сравнению с единицей). Представляет интерес сравнить результаты, получаемые методом Райса, с результатами, которые следовали из анализе стохастического уравнения движении (см. результаты задач 28 из гл.
2 и 13, 29 иэ гл. 2 н 14 и др.) Они разные. Это и понятно: в методе стохастнчсских уравнений переход от одного этапа эволюции к следуюшсму (от первой грубой шкалы С Ъ г к послелуюшей С 2» 1/Г) был полностью согласован; в методе жс Райса этого согласования нет (см. абсужаение в задаче 28 иэ гл.
2). Различие появлается уже при определении корреляциомной функции»ьр(С)Ьр(С+»зС) (см. задачу 28), которая в метале спектральных разложений а своем исходном виде уже не зависит ат с, /зр(с)гьр(с+ гьс) = пвде гы, а процесс приближения этой функции к стационарной не фиксируется (в отличие от метода стохастнческих уравнений). Если в методе Райса вместо того, чтобы в смлу исхолного условия апшионарности С-процесса опускать негарантированные члены, воэникаюшие в процессе прямого расчета, отодвинуть интервал (О, С) в прошлое, превратив его в (-С, О), как зто мы делали в задаче 10, а результаты, полученные с помошью стохастического уравнения, рассмотреть в частном случае ГС Ъ 1, Г/ьС вЂ” любое, т.е.
опустить члены е " и положить 1+ 0(1/Г) = 1, сохраняя члены е ~ш, то результаты обоих методов полностью совпадуг (несмотря па та, что в формуле для СЬс(С)Ьэ(С+Сьг) эти члены и будут иметь вид негарантированных, пропорциональных е гш/(ГС)). Зддвчв 14. В предложениях 8 7 определить величину р(С)х(С) для свободного брау- новского движения в случае С ~ 1/Г. Решение. Имеем »»» 8'(С)0(С) = / »СС' С*(С)((С') = ~ »Сы.,7(ы) —. Полагая, что процесс ((С) = р(С) стал стационарнмм (ГС 2»!), в случае Г, л Г мажем считать ув Г,' 1 то ,7(ы) ш,7 (ы) ю — — — Й— л Гэ + ыг Гз + ыз я Гэ + ыэ о поэтому после взятия интирала по частоте и имеем лля «соотношения неопрелелспностей» в случае С > 1/Г р(С)с(С) = — (! — с ) Гд —.
— в, в Г Г Этот результат совпаласт с полученным в задаче 29 из гл. 2 мстолам стохастических уравнений и взятым в том же предельном случае ГС 2» 1. В общем случае ан был получен в задаче 9, в которой наао положить О = х, С = р/т и,7(0) = В/(яп»Г). Здддча 15.
Методом спектральных разложений получить корреляционные функции смещений йг;(С) = х(С)х(0) и скоростей Я;(С) = а(С)э(0) брауновской частицы, двигающейся в вязкой среде в поле (7(х) = пзыеэхэ/2, в случае, когда процесс блужданий уже стал стационарным. Решение. Введем обозначения иг(С) 7(ы) в 2 в »Р(С) = —, Х(ы) ы —, ~»(0) = ез = —, Лг;(О) = ег =— !К(0) У'(0) ' * пэыог * ' и» 9 4, Мелгад спеклгральных разложений (нелгад Ройса) 177 (так называемая автокорреляпиоииая функция гр(1) и ее спектральная плотность, илн, что то же, преобразование Фурье Е(ы)), Из спектрального представленив стохастического уравнения движения 1 й + 2Лй + мон = — Р(1), гл гле Л = Г/2 = глу/2, сразу следует 1 1 но Рю гл "( г — юг) — г2Лы Твк как в стационарном случае бг„'гтз = ХР(ы) б(ы — ы') и е' н,„= Х„(ы) б(ы - ы'), причем, как мы выяснили в $7, гнГЕ 2гпЛЕ ,Е (О) = — = —, то, полагая, что ширина спектрааьной плотности Хг(ы) случайного воздействия на частицу Гг Ъ Г (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
