Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Нелоаорые общпе свойсава спенарсльнод ллоанссан задача 7. стационарный случайный процесс с(э) имеет вреиенную корреляционную функцию ОГ(г) = У'(О)е г!П. Найти корреляционную функцию У(с) и спектральную плотность Е(и) для процесса С(8) = с(г). Решенце. Так квк лля стационарного процесса ! 0 !т ! б (с!)Е(гг) = дс(Г - д) и дс(г), г = г, - гн дг йг С'(Г!) С(сг) = — У'(Гг — С!) = — — У (Г) У(Г) дг!дсг ИИ Отсюда следует также и связь спектральных плотностей 1(и) и и Х(и). Зтн формулы верны, если функция Х(Г) всюду дифферснцнруема, а умножение спектральной плотности,7(и) на и' не нарушает ее интегрируемости. Однако предложенный вариант У'(г) (в области ф < т являющийся формальной интерпояяцией действительного повеления при Щ > т) производной в точке Г = 0 вообще не имеет.
Поэтому представим себе графически поведение реальной корреляционной функции с учетом свойств У (г) и Х(и), отмеченных в задаче б. Прн т 0 реальная функция Я'(Г) все ближе поахслит к модельной, в центральный пик У(Г) неограниченно возрастает как гь-функция. Формально же 7(и) = и .7(и) = — ° — = — У"(0) — Г Х(и), дг(0)Г Рг Г гг Гг+и! гг !! г! Гг -г! !! рис.
$00, Графики корреляционной функции У(г) = ~'~(й), ее производной и корреляционной функции У(Г) = Г(0)4(7) с учетом их реального поведения в негауссовой области (г( < т т. е. случайный процесс С(г) = б(г) содержит в качестве компонента белый шум ГХ(0)/я. Переходя к Г-представлению, получаем Н(Г) = 2ГУ (0) 6(г) — Г'У (0)е-ги где гь-функцию надо понимать как пик ширины т, ограничивающий над осью С единичную площадь. аграфиям функций ЯГ(Г), ее производной и о'(Г) представлены на рис. 100. Г> Задача 8. Стационарный случайный процесс Щ характеризуется временной корре- ляционной функцией 3Г(г) = ЗГ(О)е г!ц. Определить корреляционную функцию с(г) и спектральную плотность 1(и) для стационарного процесса С(С), связанного с С(г) дифференциальным соотношением С(8) + ГС(С) = С(г) в случае Г < Г, Решенце.
Перехоая к спектральному представлению, имеем гиС, + ГС„= ги$„, При малых значениях и, таких, что иЕГ ж. я/2, получаем ьм ,7(И) =,7(О) — — ° — 7 С'гэс(С) гй, 2 2я1 откуда н следует (при условии существования написанного интеграла по Г), что,7'(и) ч 0 при и- О, Задало и дололногпельнме вопросы и главе 3 откуда 2 и мы, учитывая явный вид спектральной плотности .7(ы) гауссова процесса б(С) для спектральной плотности процесса С(С), получаем Г! 7(ш)= 7(0)' ( 2 ! Г' — Г' (~ыз + Г' ыз + Гз / Соответствующая ей временная корреляционная функция б-процесса имеет внл (см.
рис. 1О1) а(С) у (О), ( — и Г -г!4) ~~-Г~ ~ Задача 9. Для стационарного процесса, описываемого действительной случайной переменной с(С), такой, что среднее от квадрата ее смещения 07(С) на временах, превышающих время установления стационарности с(С), ведет себя 'в соответствии с формулой Зйнштейна, определить поведение на зтих временах средних т)(С)С(С) и г)(С)С(С) (т. е. корреляцию «координаты» со скоростью тр) и ускорением т7!)). Решение. Согласно б 6 дисперсия смещения величины б(с) 0(С) = / б(С') бС' о определяется интегралом — 7 2(! — (ыС)) 0'(С) = ) бы, .7(ы). Испояьзуя известное представление лдя Сь-функции ! /,ы ! мпКх! б(х) = 1!гп — ) е' *Юй = — — ~ --?я / к ы выделим подобную структуру в подынтегральном выражении для бз.
Учитывал, что б(ы/2) = 2 б(ы) и что з!и (ыС/2)/(иС/2)1„е = 1, имеем сразу ьы +ОЮ вЂ” 7 з!п(ыС/2) ип(ыС/2) ! 7 /ы т з!п(ыС/?) 7(ы) С=?к,7(0)С ()1- 7' /2 С/2 ( ) ~,„„ / 1,2) С/? — формулу Эйншгейна, полученную в 5 б несколько другим способом. Продифференцировав исходную формуяу для эу'~~) по С, — бз(С) = 20(С)б(С) = у — 2,7(ы) бы, б / ип(ыС) бС М б 2. Некоторые обииге свойства спектральной плотности получаем в пределе 1 -~ оо требуемую величину О(ц(ю)) = 0(г)б(г)) = я.т(о).
Вторая же производнаа выражается через корреляшгонную функцию ЯО)((С) = зк(Ю), .~-со — 0'(Г) = 20(1)((Ф) + 2(~(1) = 2 / сов(шь)У(ш) гйо = 2У (С), откуда о оо 0(т)б(1) = / (сов(шт) — 1),Т(и) Вш = У'(т) — У'(О), 0(1)б(С)~ = 0(1)б(1)~ = -9с(О) = — бз. О Зза Г был бы тоже стационарныи. решение, Из результатов задачи 9 следует, что процесс О(т) может быть стационарным только в случае .Г(0) = 0 (рис. 102). Это, конечно, только необходимое условие.
Чтобы более подробно выяснить ситуацию при больших т (формально даже 1 со) в связи с возможностью стацнонарности процесса п(1), заметим, что используемая нами формула для 0(1) несколько неудобна, она как бы приспособлена для конечных Г. Полагая дая определен-' ности Го > О, напишем выРажениЯ длл П(то) и О(со+1), сдвинУв интеРвал интсгРиРованиа на величину -Го, о Ч(1о) = / Щ) <Й~ Ч(со+1) = / С(аз) оиз -и -го и обратим внимание, что интегралы по й и ьо при со — со требуют доопределеиия в том же смысле, что и интегралы, опрелеляюшие спектральные амплитуды б .
Введем„как и в б 5, е-процелуру, заключаюшуккя в замене С(т) С(т)е*', е > О, с -о 0 (при конечных Со и т это доопрелеление на результатах никак не сказывается). Тогда, представляя б (1>) н б(ьз) в внле спектральных разложений, используя условие стационарности б-процесса, 4'4, = .7(ш) В(ш — ш'), и интегрируя по 1, и Г,, получаем Задача 10. Пусть б(1) — стационарный случайный процесс со спектральной плотностью ,У(1Р). Выяснить, хаким условиям должна удовлетворять функция,г(ы), чтобы процесс сме-, щения во времени (или накопленид во времени) случайной величиим б(8) Рис. 102.
Струюура функций, образующих подмитегральиое аыршкеиие а фор муле для пз(т) е случае, когда зта величина прм 1 - со перестает зависеть от Г (сплошные линии) 172 Задачи и дополнительные вопросы л главе 3 Если Се я С конечны, то, полагая е - О, мы макам получить отсюда все результаты, которые обсухшались ранее, а татке будут рассматриваться в заааче 13 и лр. В пределе же Се ~ оо зависимость от Се исчезает, что характерно дяя стационарного процесса, и мы имеем +Ю +и ц'(Се)СС(Се+С)~ у е!е —, е ~ / ССыуч(ы)е / 7(и) ье / ья ОО ОО что полностью соответствует результату, полученному в зшаче 7, Условие того, что гС-процесс может быть стационарным, — зто условие существования написанной выше корреляционной функции, т.е.
схсцимости интеграла З(ы) Ч'=у а —,, что возможно, если при ы - О спектральная плотность З(ы) убывает как ы' или еше быстрее. Физическая реализация случая, когда и процесс ((С) н г!(С) могут быть стационарными (и выполняются все условия для Х(ы) ), — зто брауновское движение в поле, обеспечивающем финитность пространственных смешений, например, в поле С/ ав, когда и = агг(Ы)— 1 Т «э конечная величина (см. зюшчу 33 из гл. 2, а также залачу 15).
Может покаються, что полученные выше выводы противоречат процедуре, предложенной в 47 для рассмотрения брауиовского движения. Рассмотрим этот вопрос несколько подробйеи. В случае, когла стохвстическое уравнение имеет вид 71+ Гр = Р(С), схема с О(с) = /((с)ас о реализуется как егт(р - рье г') = епСЬР(С) = //е"ЬР(С~) дС! е (т.е. сопоставление Р(С) = ((С), р(С) = О(С) справедливо только ггри ГС < 1, когда о ста- ционарности процесса р(С) еше ие приходится говорить).
Отсюда, как и в $1 гл. 2, мы по аем езп(/ьр(С))г = пг(С) = (аггее - 1) та В случае ГС < 1 мы получаем формулу Эйнштейна дР)=(ьр»=2 Гас, но при С - оо лля данного процесса г!(С) никакой стационарцости не наступает. При использовании в $7 метода Райса, когда мы писали Р„ р+Гр ю Р(С) -~ -Сыр„+ Гр„ю Р„, р„=— мы полагали, что случайный процесс р(С) (а ие СС(С)) уже стал стационарным, иначе пред- ставление стохастического уравнения в виде алгебраического лпя спектральных амплитуд не имело бы вообще смысла (поэтому метод Райса н не давал промежуточных этапов перехода от С и; 1/Г к С Ъ 1/Г, т.е.
формулы (Ьр)г = та(1 — е '~)). Это приводило к спектральной плотности процесса р(С), которая не являлась гауссовой: Ге+и 1' +ы Однако, используя физические соображения, мы полагали Гг > Г и сводили тем самым случайный процесс р(С) также к процессу гауссова типа Зг( ) — Зг(О) —,, ! В 3. Вреченлые корреяяции е равновесном иэлучениц Задача 11. Для равновесного электромагнитного нзлученнл определять временную корреляцию отклонений числа фотонов от нх среднего значения Ь)г/(1)ЬН = йгн(1). Репгеиие. Используя результат задачи 14 нз гл, 1, нмссм сага ыг (даГ)э 2, 'пг(1+и ) ,/ (сазе 1)г 2ягсэ Р ОО ОО Поэтому временная корреляционная функпня определится интегралом НВ э +" г з у~, „ / д / с*в д 2егдэсз / (еа 1)г 2еэдзсз ОО ОО где х = Ьы/9, й = Ег/Д.
Рассчитывая интеграл (см. приложение к задачам 11 и 12), получаем /ь/'(1)'э/' ~ дэ э 'с (сэ'"аэьэ ' — 1) откуда 2а'Š— 1 Ъ 1'1 д 4яаэ Е (, 4 Е Е г~нэв гэз д 2эгв д игл(1)/ -ггаеэы Рнс. 103. Спектральная плотность кор- реляционной функции отклонений числа фотонов от мх равновесного значения Рнс. 104. Временная корреляцяоннал функцял отхломення масла фотонов ат нх равновесного значения Графики временной корреляционной функции дгл(Г) н соответствующей сй спектральной плотности приведены на рнс. 104 н 103.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
