Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 39
Текст из файла (страница 39)
114) Б1+ В1+ — = Е(1) С в квазистационарной области спектральные амплитуды тока 1„н ЭДС Е, связаны соотноше- нием Ек В+ гыб+ —, тткС Полашл, что в полосе Ц ( В/Ь шум ЭДС можно считать белым, 1,(ю) й,У,(0), и учитывая, что согласно формуле Найквнста (см„например, задачу 18) РВ 1,(0) = —, получаем в стационарной области, когда 1„"1„~ = Хг(ы) б(ю — ы') и ЕЕьЕ„т =,7,(ы) 6(ы — ы'), для спектральной плотности тока ВВ 1 ,7г(ы) =— С) Так как 1 = СЗ, то согласно задаче !0 (или 7) 1 .УО(нг) = — г,7г(и). дВ ! 1 ,7о(ы) = —— гтСг ыг г ""(- — — ) Если обозначить 1 Т В ЫО хь —. Л= — =— ХС' 2 2Е' г) =ма Л г г и учесть, что в случае статистического равновесия.
Е1г Р С 17г СЗг И 2 2' 2 2С 2' то для частотных представлений автокоррсляционных функций получим стандартные выражения 1г(ы) = — = 1к(ы), 1и(ы) = 1О(ы) = — = 1к(ы), Хг(ы) 1о(ы) 1 СУ Учитыгмя, что для каждой гармоники напряжение на конденсаторе 77,„= Е) /С, получаем для спектральной плотности корреляционной функции напряжений на конленсаторе э" 5. 7елловоб шум в элеяглричесяой цепи Формула 11абявислга (зз где функции Т,(м) и Т,(м) определены в задаче 15. Согласно этой же задаче в 1-предстввлении Фг(1) = = = Ф,(Г), Фо(с) = = = = = ф (1). Ж(~) Ж(~) Ого(С) Гг ' ' ггг гчгг Графики м формулы для этих функций приведены в задаче !5.
Задача 20. Полагая, что средняя энергия индуктнвностн Ь в колебательном контуре сгг -~- = 1 (илн средняя энергия конденсатора С $ = 2), получить формулу Найквиста для теплового шума ЭДС сопротивления Л. Решение. Поступая как в задаче 19 (только считая теперь,ЦО) неизвестной величиной), имеем, взяв иссложныс интеграаы по м (см. задачу 15) И~ Ь 7 Ь Г Вы я,7,(0)  — = — / .Тг(м) Вы = — / .ЦО) -~а дд 21г .1.
м г. мС) откуда ,Цо) = — и Ег) = 2,ЦО) Еьм = 2ВЛ вЂ”. В11 Еьм я а Если за основу взять среднюю энергию конденсаторе, то с) 1 7 1 7 1 а,цо) в — = — / уо(м)В = — /,т,(О) 2С 2С,/ 2С,/ м' Е 1 ~г 22 2 м -м дг .1 мС/ что приводит к тому же ответу лля Ег ~ „. Задача 21. Определить дисперсию ЭДС теплового шума на концах соединенных параллельно сопротивлений Яг н Яг, если каждое нэ них поддерживается при температуре Вг н Вг. Решение, Для каждой из спектральных гармоник в квазнстационарном случае имеем согласно приведенной на рнс.
115 эквивалентной электрической схеме для ЭДС Е на концах сопротивлений 22Фг (Е~ Ег ~ Ж+~г ~22! 1г/ Так как тепловой шум каждого из сопротивлений независим от другого, то для полосы частот 1зм = Егы/(2я) (Е~)д~„= 4В~11~Егм (Ег)а„— — 4Вг22гг2м, (818г)дн = 0 Рис, 115. Электрическая схема двух поэтому параллельно соединенных сопротивлений, находждихся е териостатах ' =(,' ',~' (', ',) с разными температурами Прн В, = Вг получается стандартная формула Найквиста, в которой стоит полное сопротивление цепочки двух параллельно соединенных сопропехсннй 22, и 22г. Флуктуации в более сложных цепях в квазистационарном приближении, когда можно пренебречь токами смешения, рассчитываются аналогичным образом с помошью испояьзования уравнений Кирхгофа для разветвленных цепей и формулм Найквиста.
Задочи и дополннпельные вопросы я слове Э Задача 22. Определить дисперсию ЭДС теплового шума для цилиндрического участка проводника, имеющего сечение Я и длину (, в области частот, для которых нельзя пренебречь токами смещения по сравнению с током проводииости (но можно пренебречь перераспределением плотности тока вследствие скин-эффекта и, конечно, велениями запаздывания). Решение. Пусть И вЂ” сопротивление рассматриваемого участка цилиндрического проводника, а С вЂ” емкость конденсатора, образованного его торцами (рис.
Пб). Тогда проволимость е и диэлектрическую проницаемость материала проводника с можно записать через его параметры ем —, с=( )С. Чтобы учесть токи смешения, мы лолжны вместо уравнения Максвелла (мы используем общепринятые обозначения и гауссовую систему единиц) Рис. 11а, Участок цилишгри- ческою'проводника, для ко- торого рассчитывается дис- ле сия Э б теплового ш ма А 4я 4я гог Н(!) = — )(!) = — еЕ(!), с с на котором фактически основмвалось предыдущее рассмотрение квазнстационарных явлений в проводниках, использовать его полный вариант ! дР(!) 4я гог Н(!) = - — + — еЕ(!).
с р! с Записывая последнее уравнение в спектральном представлении (т.е. лля фуры-образов напряженностей полей) н вводя динамическую диэлектрическую проницаемость с(ы), такую, что Р = с(ы)Е„, получим 3ы 4я зы / 4яс'т зы гог Н = — с(ы)Е, + — а Е„= — ~с(ы) + —,~ Е„= — с(ы)Е„, с с с~ зы~" с где с помощью комплексной диэлектрической проницаемости (в нашем случае только продольной се части) с(ы) мы записали уравнение Максвелла в виде, формально совпалаюшем с уравнением для диэлектрика. Чтобы учесть в этой схеме тепловые флуктуационные явления, мы должны в правую часть уравнения Максвелла, написанного для средних значений, добавить член 4я- 1 ВР— )=-.— с с д! ги - гы у = — Р = — ~~ы) ° Е. 4я 4я ' « Считая, что толщина скин-слоя для данной частоты значительно превышает радиус провол- ника, т.е. с с~ — Ъ«/У, ы» —, тГ2яеы 2я! ' мы можем определить разность потенциалов, наведенную этим случайным полем Е„, как 4я ! —.
4а' ! ! г„=Е„!»« —, —,,з= —, 4ы ~~ы) гы ~~ы) Я обязанный «сторонним» флухтуационным токам (или соответствующим случайнмм по- лям Р(!)). Отдельную фурье-гармонику этого тока (в нашем упрощенном случае только продольную его составляющую) можно представить в виде 8 б. Двумерное воуссово распределение 1а5 эю ЩЕ(0)= / Ю(ы)с Ны= — е д 1= — — ехр41- — 1)1. ьн В,вс 4ггв 1 Г 4вв 1 С Я -ю В частности, полагая 1 = О, приходим к естественному резулыагу Сбг В 2 2 При переходе к очень большим частотам лри оценке величины (Вн!г мы должны учитывать неравномерное ло сечению распределение тока вследствие скин-эффекта. а если не выполняется неравенство Дьг)В ч.
1, то вместо величины В должны наставить среднюю энергию квантового асциллятора Дьг/(е" Н вЂ” 1) (см. залачу 28 из гл. 1). гь $ б. Двумерное гауссово распределение и проявление корреляционных свойств случайного процесса Рассмотрим стационарный случайный лро- л(1) цесс с(1) отклонения некоторой величины от своего среднего значения С = 0 (рис. 117). Чтобы выявить корреляционную структуру этого процесса, необходимо как минимум рассмотреть двумерное распределение юг(6,1п Ъ, сг) = шг(6,6; сг — 1~) Фг Будем считать известными дисперсию ~2 = Гг = Гг > 0 и временную корреляционную функцию с конечным временем корреляции т 66 =с ф(1).
1= (сг — сг! Ф(О) = 1 ф(1)(г = О. Двумерное нормированное на единицу гауссово распределение имеет обшнй вид Рнс.ггу. Случайный лрацесс б(1) м выбор моментов г, н сг а двумерном распределении па величинам 6 м Вг /Г:Ьг Г а «мы= н1--1г,+г,)~.«,г,). 2гг ( 2 где полный так через рассматриваемый участок 1, ю Яг„. Среднее от квадрата модуля этого тока нами было аярсаелено в $8 гл.2. Используя иайквистовский результат 21гуг = 2В21гя н учитывая, что кваарат моауля диэлектрической проницаемости равен 4э'1 х г (в(ы)(г = 1 — (1+ 21гС~ы~) получим для интересуюшей нас ЭДС формулу 1 2В21 1+ 22гСгыг а' В области частот ы ч.
4явгс результат переходит в лолученный нами ранее. С повышением частоты среднее значение (В„(г умеиьшаегся (хстя шум тока 2«г полагался белым, т.е. не зависялгим от частоты) за счет токов смешения, Вследствие принятого нами определения среднего Сг! „по интервалам положительных и отрицательных частот спектральная плотность у(ы) случайной ЭДС с(1) равна Х(ы) = (В«(г/2, откуда лля временной корреляции лшгучаем 186 Задачи и дополнительные волросы я главе 3 где в соответствии с предположением об устойчивости неотклоненного от нуля состояния а > ~Ь1 > О. Преобразование ГЬ| 9~ =6 — '( — )6 гг =6 сводит зто распределение к произведению двух одномерных гауссовых распределений (так берутся нормировочный и некоторые другие интегралы). Удобно записать зто распределение гвг не с помощью параметров а и Ь, а с помощью имеющих непосредственный физический смысл величин Гг и Ф(1): — =Гг(1 — Ф'(1)), Ь= Ф(1), а Гг, + Гг' — 2Ф(1)66 гвг(6,6) = = ехр х— ~ Р,Л: ччч ~ г~Р(~ — ч'рь )' В случае 1 л т оно превращается в произведение двух одномерных гауссовых распределений Г 1 И га,(4) = ехр ~ — — =), 2р— ) а в случае 1- О, воспользовавшись модификацией 1 (6 -6)' '1 1 ~( 66 гвг(6.
сг) = ЧРРУУ ч) 1 2Е — ч)) ье ~ В+ФХ') получаем естественный результат мг(6,6)1в„, -" д(6-6)м1(6) Средние по распределению гвг(6, 8г) рассчитываются точно, если берутся соответ- ствующие интегралы по г1, н ггг. Три нз них нам понадобятся в дальнейшем: Г кггг1 (ехр(6к)) = ехр ~ — ~, ( 2 1 (ехр((6+ 6)к)) = ехр (к Гг(1+ Ф)), (ехр(1(Гг — 6))) = ехр ( — Гг(1 — Ф)). В качестве автокорреляционных функггий Ф(г) в приложениях нспользукнся не- сколько простых вариантов, три из которых нам уже знакомы.
1, если Щ <т, Ф (1) = О, если Щ>т, т гдп ыт у,(ы) =— я ыт Выбор такой формы Ф(1) (рис. 118) позволяет значительно упростить расчеты, а многие из них произвести точно. Фг(1) = е ' ' Гг(ы) =— ет ы' + (1/т) 187 $ б. Двумерное гоуссоео распределение С 0 1/т в Рнс. 118. Модель ступенчатой аетокорре- ляцнонной функции Ф,(С) н ее спектраль- ная плотность Рнс. 110.
модель экспоненцнально убмаа- ющей аетокорреляцнонной функции Фз(с) и ее спектральная плотность Эта форма является содержанием теоз рсмы Дуба (гл. 3, б 4) н соответствует гауссовому процессу в полном понимании этого слова (рис. 119). Сз1„1 сок(ССС+ уз) Фз(С) = е соэ в вь -вэ 2 2 ( соэ Сп = —, Й = ве — — ), во' 'з,2т) ' Рнс. 120. Модель аатокорреляцнонной функ- ции Фз(С) системы, имеющей собственную резонансную частоту, н ее 'спеюральная плот- ность 1 „,з зз(ш) = —.
згт (вз вз)э+ („,зт)з Такая форма автокорреляционной функции (рис. 120) соответствует случаю, когла в рассматриваемой системе могут существовать собственные колебания (в данном случае — только одно, см. более подробно в задаче 15). Задача 23, Рассчитать корреляционную функцию У'(с) = Ь,у(б(С)) Ь~(~(0)), ЬДб) = ~(б) — ~, где У(С) — регулярная функция случайной переменной б(С), если временная корреляция последней определяется ступенчатой функцией Ф!(С). пешение. Так как Ф!(С) =! нли Ф!(С) = 0 в зависимости оттого, 111 < т илн 111 > т, то б(с! сз) ' в!(с!) 1С! < т вз(б! 6) м в!(с!)в!(Сз) !С1 > т зоэтому искомая корреляционная функция ~(С) = „Д бб ббз Я ) Из) (вз(б! бз) — и!(б!)в (бз)'С и -улет равна — е, в корреляционном отношении функция У(С) ничего нового по сравнению с б(С)б -с содержит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
