Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Так квк — 'г Г Ьт У(т) = Уз(Г) = — ут У(Г) бт = —, т/ т' е — — дг рг(Гьт) = рту(Г) = -Гьт = пГЗТ, Т РГз(ГЬТ) = рг Гз(Г) + рг(рг — З)(у(Г))' = пГ1Т+ (К~Ьт>)', откуда (ыЯ(Гьт)) = к (Гзт) — (Ггг(Гзт)) = пГьт, б цдгг ° ГпйТ Задача 2, Импульсы одинаковой формы агзз(г — бг) независимо действуют на систему со средней частотой и раз в секунду так, что время возникновения каждого иэ них Ц является случайной величиной, а средний квадрат амплитуды а' конечен (если распределение амплитуд симметрично относительно а = О, то а = О). Определить вреиенную корреляционную функцию этого однородного во времени процесса и спектральную его плотность для случаев ступенчатой и гауссоподобной формы импульсов T т а) Э/аэ ° Е(г) И Я) = Ге при (1(( —;,Г(8) = О при /С/ > —; 2' 2 б) эгаз Е(г) ну(г) = е 'г".
Рассмотреть случай т — О, Уст ! (б-образные импульсы). $1. Сукна нвзовнсниыл воздвйппвнд как случоднып процесс !63 Рвшенке. Предлагаемый случайный процесс имеет вид суммы б(й) = ~ счР(й-й;). ! Выберем лостаточно большой интервал времени Т такой, что Т » 1/и (формально Т вЂ” оо), и усрелним величину 4(й) по интервалу (-Т/2, Т/2), т. е. по пТ импульсам. считая, что их амплитуды распределены независимо от распределения й: ти б(й) = ~~! о;Р(й — й!) = пТаР(й - й!) = пТа ° — !и! Р(й — й!). Т,Г ы! -т/з Переходя к пределу Т -~ оо, имеем +оо б(й) ="о ~'УР(') В среднем от от ((йо+ й) б (йо) = ~К', ~ айойР(го+ 1 — й!)Р(йо — йй) 3=! г=! выделим слагаемые ! = з, тогда, переходя к пределу Т вЂ” оо, получим Яо+ 1) 4 (йо) = пТаг Р(йо+ й — й!)Р(йо — й ) + ф~, откуда лля корреляционной функции имеем +!о У'(й) = с(го+ 1) 4(йо) — бз ы паз / дй'Р(й!+й)Р(й').
Обозначим з/озР(й) = Я) и рассмотрим частные случаи. а) Прямоугольные импульсы (рис. 9б)! /ы если )й( < т/2, Х(й) = О, если (й( > т/2, о б=п — $~т, з/оз и/о'(т — Щ), если )Ц < о У'(й) = О, если )й) > т. Спектральная плотность случайного процесса из таких ступенек (разной амплитулы и знака, но одинаковой длительности т) имеет внд +ОР 1 Г „„, з 1 /ойп(ыт/2) 1 ,7(ы) = — й У(й)Е'Ф=п/о~' — ~ 2я/ 2я ~ ыт/2 / В прелеле т-+О и /от = 1, когда /(й) - б(й), получаем и бг(й) - об(й), Х(ы)- 2ог т.е. рассматриваемый процесс вырожпастся в «белый шум». Задачи и доиолпиглельные вопросы к главе 3 О Д ю т Рис.
97. Корреляционная функция У"(Ф) и ве слектральиая плстиость у(ы) Лаа импульсов у(Г) колоколообразной формы Рис. 96, Корреляциоккал фуккциа У'(Г) и ее спектральная плотность .Т(ы) для случая импульсов у(Г) прямоугольной формы б) Рассмотрим случай, когда у ( г 1 у(Ф) = — ехр 11 — — ~. уй Подставляя зту функцию в полученные ранее общие формулы, получаем (рис.
97) а С=" — гвт ,~дг г зг) У'(Г) = пУвг" — ехр ( — — ), ,72я ага Г ггт .Г(ы) = и — ехр ~ — — ) . 2я 2 В пределе т - О и увт = 1 мы получим те же результаты, что и в первом случае. Ь Задача 3. Случайный процесс представляет собой суиму независимых друг от друга импульсов, моменты наступления которых гг распределены случайным образом, а их длительности гдтг — по заданному распределению ге(Ж), Определить корреляционную функцию такого процесса и его спектральную интенсивность для случая прямоугольных импульсов, считая, что средний квадрат мх амплитуды равен единице, аг = аг = 1, а распределение по длительности имеет вид ю(гИ) = ~ -~) е ~' или ю(Йт) = 6(Ьз — т) т,ту (все иипульсы одинаковой длительности т).
!б5 й 1, Сумма независимых аоэдейапвнй яая случайный процесс Рис.йй. Случайный процесс Г(1) (зашгрнхованный контур), образованный в результате сложение прямоугольных импульсов (спяошные линии) Решение. Случайный процесс подобного типа мы рассматривали в б 1 гл. 2, коща исследовали характер одномерного брауновского движения. В случае прямоугольных импульсов рассматриваемый случайный процесс имеет внд контура заштрихованной на рис. 98 многоступенчатой фигуры. Запишем исследуемый случайный процесс в виде (~ — ь) Среднее значение для каждого из независимых импульсов (при усреднении по гьг мы обозначияи переменную интегрирования з'.ЬГ = Ф') т1з р рог/2) Р( — ') =~ (у)йу — / Р( — ') а,=~1' (у) йг' — /,р(*) й*.
о -ты о Р '«-тдо Если ширина т распределения м(й) конечна и время усреднения Т значительно больше средней длительности импульсов, Т Ъ С' = т, то интеграл по и можно распространить на все значения х, и мы получим +(В "КЮ вЂ” Ргт Г ((1) = о — / г (х) Нх = а пт / Р(х) ех, ' т,) гле и = йг/Т вЂ” среднее число импульсов, действуюших в секунду на систему.
При расчете корреляции с(го) с (го т 1), как и в прелылушей шщаче, вьшелим слагаемые с з = у и перейдем к пределу Т вЂ” оо, и = сопке. Тогда для корреляционной функции рассматриваемого случайного процесса получим тм=м~нмо.+о-оо, иь.о-о - ф.гзн~тыт (.4) ~*. е -оо Подставим в зту формулу явный вид функции Р(х), определяющей форму отдельного импульса, 1, если 0<я<1, г(х) = О, если х вне (0,1), 166 Зодочн и дополнительные вопросы н алове 3 распределение ю(1') м е ' Е'/т и учтем, что аз = 1.
Тогда получим (см. для сравнения б 5) после расчета интегралов Егг(1) -Ц -н Г и тз и 1 Х(ы) =— я ызтз+1 к,з+1з' где т = 1/Г = 1М вЂ” время корреляции случайного процесса б(1). Появаение экспоненциальной зависимости йт(1) е "', характерной для корреляционной функции гауссовых процессов, в данном случае свнзаио с выбором распределения м(1').
Для другого варианта ш(1') = б(Г' — т) — все импульсы одинакового размера, получаем выраженмя п(т — 1) при О ~~1 < т, ~(1) = О прн 1> т, пт Е 51п (ыт/2)) ,7(ее) = 2я 1, ыт/2 повторяющие результаты задачи М 2а (при% = аз = ! ) 5 2. Некоторые общие свойства спектральной плотности Задача Я. Определить, как изменится спектральная плотность .7(ы) случайного стационарного процесса б(1), если показание прибора, с помощью которого измеряется величина б(1), соответствует среднему значению величины б(1) зв время каждого из измерений еИ = т. Решение. Имеем согласно Я 5 спектральное прелставление исходного случайного процесса б(Г) = / ды ° ( е ' '. Случайный процесс, измеряемый с помошью прибора в более грубой шкале времени, также может быть представлен в виде разложения по частотам, г-~Е2 Ю откуда для его спектральной амплитуды имеем з!л (ыт/2) ыт/2 Гак как процесс б(1), а следовательно, и С(1) — стапионарны, бб,,б'е —— .7(ы) б(ы — ы ), б 4,'~ =,7(ы) б(ы — ы'), о Мы видим, что прибор, даюшнй усредненные по интервалу т показания, фактически обрезает частоты (ы( ~ 2я/т в спектральной плотности исхолного случайного процесса рис.
99). Если ширина спектральной плотности .7(ы) исходного пронесса б(1) намного 167 $2. Некоторые общие свойство спектральной плотности превышает величину 2«/г, как это изображено на Рис. 99, то в формуле для 7(ы) можно произвести замену Х(ы) ч,7(0), и структура эффективной спектральной плотности 7(ы) опредеянтся только параметрами прибора (от исходного процесса остается только,7(0), остальная информация теряется). Соответствуюшая 7(ы) временнея корреляционная функция была получена в задаче 2а и 3: (г- 111) чг(г)— 2»,7(0) —, О~Щ<«; тг О, (Г( ) г.
Рис. 99. Изменение спектральной плотМы полагали выше, что прибор пРоизводит усред копи случайного процесса в результате пенке всегда точно по интервалу (à — »72 ! + »72) огрубления швали времени Те же выводы можно получить и лля случая, когда т — среднее время измерения, а Распределение по интервалу измерения г' определяется некоторой функцнай м(г'), например, гауссовым распределением (г') = — (- —,~. Тогда ыгтг с(!) = / м(г — г')с(г') ог, (м = ехр ~ — — )6„ 4 ) -м и в соответствии с Результатом задачи 2б ыт ! г г! ! Г Г г ! .Т(ы) = Х(0) ехр ( — — ~, з' (!) = 2гг.Т(0) — ехр ) — — ~.
2 тг7«2г Задача 5. Средняя тепловая скорость брауиовском частицы массы пг ° 10 'г г (что соответств)ат еа размеру 22 1О 4 см) а среде с температурой Т 300 К н вязкостью 10 г г/(см с) оказывается в 1Оз раз больше экспериментально наблюдаемой ее скорости. Учитывая, что визуальное измерение скорости реализуется за конечный промежуток т ° 0,1 с, показав, что зто расхождение теории с экспериментом является кажущимся.
Решение. Согяасно задаче 4 среднее от квалрата отрубленной по Ггг т амплитуды случайного процесса б(г) равно (г-/гГы( ( 7)) 7( ) Подставляя в этот интеграл простейшее выражение для спектральной плотности (см. 56, а также задачу 28 из гл. 2), модель ее, как мы увидим, несущественна, .7(ы) = 7(О) получим,'обозначая х = и« и а =Гт — 2.7(0)гг 1 7 ! — созх аг 2.7(0)» 7 ! — е г' — '"= — ( — — ") г '«,7' хг ' хг+ог — т '( Г 168 Задачи и дополнцшельные яопрош и главе 3 откуда, учитывая, что Е' =,7(0) яГ, получаем Полагая 7 = пгГ = бяОВ и используя данные, приведенные в условии задачи, получаем, что Гт 2 10е, т.е. замену 7(ы) на 7(0) в исходной формуле можно сделать сразу.
Опуская второе слагаемое в круглых скобках, получаем — / БГт ег е = )/ — »2 ° 1О 'см/с. Задача б. 7)оказать, что корреляционная функция У(1) стационарного процесса, описываеиого действительной случайной переменной Е(1), ииеет экстреиуи в точке 1 = О, а спектральная плотность .7(ы) — в точке ы = О, Решение. В стационарном случае для действительных Е(1) У (1) = Е(го)Е(то + 1) = Е(10 — 1)Е(го) = у(-г), откуда сразу жс следует аналогичное свойство спектральной плотности 7(ы) = 7 (ы) ш,7(-ы). Так как в силу четности Х(ы) У (Г) = / 7(ы)е Й> = /,7(ы) соз (ыс) ем, Нг(Г) = — / Ы,7(Ы) З1П(мс) дм. Полагая, что спектральная плотность,7(ы) имеет ширину Г, будем иметь лля мальпс 1, таких, что ГГ < я/2, / зу()1 откуда.сразу следует, что при г = 0 У'(О) = О. естественно, что этот результат справсллив только для таких случайных процессов, лля которых нс только .7(ы), но и ы' 7(ы) являются интегрируемыми функциями.
7ауссовский процесс этому требованию не удовлетворяет, так как,уо(ы) ° (из+ Г') ' и при ы - оо величина ыг.уо(ы) -~ сопзг (кстати, двя гауссова процесса производная Я'(1) в тачке 1 = 0 вообще нс определена). Исследование спектральной плотности,7(ы) в области и гд 0 производится аналогичным образом. Имеем +э~ чх ! 7 1,, ыг у()= — /'"(1) ( )а= (0)- — 7' (1).2зп* — . 2а / 2е,/ 2 (б9 $2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
