Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 33
Текст из файла (страница 33)
с с с г!'(1)с!(1) = !п(1)Р = й1~ й1~('(1~)4(1с) = й1с й1г йг(1с — 1,). о о о о Записывая корреляционную функцию с!г(1с — 1з) с помощью спектралыюго представления и беря интеграл по 1, и 1ы +»О с с — е сис -сис с — е !!ПП(1)!з,~ 7(„,) л1 л1 -с»!с -с0,1 7(ы) ' о о получим — Г 2(! — сов (ы1)) !с!(1)!з = Г аьс,цьс). Пусть спектральная плотность .7(ы) имеет вид, определенный в предыдущем пара- графе, гз ,7(ы) =,7(0), з .
В этом случае величину Щс!(1Из можно рассчитать до конца. Введем безразмерные величины а = Г1 и и = ы1. Тогда +с» 2 ! 7 ! — сова а !с!(1)!з = 2сг,7(0)1 — / с!э ' з +»» "1 1 =2 юСоС~ -'~а О-- С(-', —,,) =1 ЛоН СЬ-»С. При взятии интеграла 1 выберем соответствующее лемме Жордана замыкание контура интегрирования на комплексной В-плоскости полуокружностью сверху (рис, 88). Тогда сразу получим, беря вычет в точке В = са, ! /' ! — созе ! /' ! — ем ! .! — е' ! — е 1 = — аа ' =Ке — аи,, = — 2я! ,/ из+ аг я 7 (э+ 1а)(и — 1а) а 2»о а Глава 3. Некогнорые аонресы глеерии случайных процессов 154 Прн а — 0 имеем 1 - 1о = 1, н мы получаем окончательно 1 — е гсч 121(1)/2 = 2яХ(0) ! 1- ) .
Гг ) Учитывая, что я1(0)Г = У'(О) = Х(ог) гйн = (2, Рис. аа. Контур интегрирова- нна лрн расчете интеграла 1 получим в случае малых 1, таких, что ГФ «К 1, ЩЦг я1(0)Г 12 хт «2 (как бы «механнческнй» результат, являющийся следствием соотношения т!(!) = С.е, связывающего смещение н скорость прн малых 1), а в случае больших 1, Г1 л» 1, 2~2 Щфл й 2тг.1(0) ! = — 1. Г Это — уже формула Эйнштейна (см. гл.
2, р 1). 11тафнк функции приведен на рис. 89. Рис. ЗФ. Зависииосгь среднего хеадрата сиещеннл снучайной величины от вре- иени Рис. 90. Струхтура лодынтегральных вы- ражений, онределлюних величину Лт(С) е случаях ГФ «ь 1 и ГС Ъ 1 Этуоценкувеличины !т!(1)!2 прн Г! ~1 н Г1 л» ! можнобылосделатьи непрнбегая к конкретному виду функции .1(ы) (необходнмо только знать величину Х(0) н ширину спектральной плотности Г).
Прн Г1 с. 1, как это видно на рнс. 90, область интегрирования по ы в интеграле для ~тф)!2 определяется функцией,1(ы), причем в втой области -и=' х и!)с !2, Позтому прн Г! < 1 ~ ~~~р ы «2,~ 1(„,) чст«2 -ОО Э 2. Применение н бриуновсному лгронсяяционному движению 155 При больших $, когда Г! > 1 (шкала брауновского движения), область интегрирования по ы определяется функцией -( —:~тг-и, внугри которой «шум» переменной С можно считать «белым»,,7(ы) В,7(0), и мы сразу получаем формулу Эйнштейна +»» 1 ! 1 — созх 21г /~(С)~г Ы гя.7(0) 1 — ( дх = гя,7(0)1 = — 1. '„.( г Г в 7. Применение к брауновскому трансляционному движению В качестве простейшего приложения метода спектрзльных разложений, называемого также методом Райса (Б.
й1се, 1940-е гг.), рассмотрим знакомое нам уже по гл. 2 брауноаское одномерное движение. В результате проведенного в главе 2 физического анализа системы мы выявили следующее расположение характерных временных интервалов: т = 1/Гв ч; тм ьв 1/Г, где т — время корреляции случайной силы Р(!), тм = 1/à — время установления стационарного случайного процесса для импульса р($). Все рассмотрение задачи методом спектральных разложений представляется как последовательность частных случаев, соответствующих все возрастающим интервалам времени 1. 1) 1/Ге С! С 1/à — случайный процесс л(1) сталстационарным, а случайный процесс р(1) еше не стал таковым.
Для спектральной плотности стационарного процесса Р(1) положим для определенности бг(0) Г, Г', +Гг) ( г+ В рассматриваемом случае Щ = Р(1) — случайная стационарная сила, действующая на частицу, смешение »1(1) = р(1) — ее импульс. Обозначим чисто формально .7(0) = тб/я (т. е. просто введем вместо .7(0) величину 7), тогда согласно результату, полученному для ~ц(й)Р в предыдущем параграфе, получаем формулу Эйнштейна для 1»: рг(1) и гбтс Конкретная структура спектральной плотности,7(ы) случайного процесса в'(1) на этом результате не сказывается.
2) Выясним теперь, что такое 7, т. е. чему равна величина 7(0). Пусть Г Ъ т = 1/Г, где à — коэффициент «вязкости» в уравнении р + Гр = Р(1). В указанном промежутке ! процесс р(1) является уже стационарным. В «спектральной» форме это уравнение имеет вид алгебраического уравнения для фурье- компонент « -!ыр +Гр„= г', нли р Используя теперь условие стационарности случайного процесса, полученное в в 5, имеем по отношению к процессам л'(!) и р(1) одновременно — 1 —,,7(ги) р„р' = Р 3" = — б(ы-ь/) =7г(ы)б(ы — ы).
м "' Гг+юг м» Гг+ыг 156 Глава 3. лехопг орые вопроси пгеорин случайных процессов Подсчитаем теперь с помощью полученной спектральной плотности .Ур(ьг) величи- ну рз (рис.91): +»» е«» 2 'У( ) / 7В 2 1 Гз+ ьгз „/ и ~(ьг+ зГо)(ьг — зГо) (ьг+ зГ)(ьг — зГ) 7ВГ,' . ( к ~ Гез Гз 2зГ Гз Гез 2зГо В рассматриваемом нами случае Го 2» Г (или т ч. тм) вторым слагаемым в скобках можно пренебречь, а в первом — положить Г' — Гз ой Г2.
Тогда величина Го вновь выпадает из рассмотрения, и мы получаем — 7В р2— Г .У (ы) = —, .Т (О) = — ° —. э Ь') 7В Г + Г Полагая теперь С(1) = р(1), а смешение гг(1) = пгс(1), получим сразу — 1 7В 1 2В лз(») = — ° 2к — — 1 = — 1 изз а' Гз у брауновской частицы (в грубой шкале — это формула Эйнштейна для смещения 1 л» 1/Г). Сделаем небольшое замечание по поводу продемонстрировамной методики. Мы выбрали в качестве исходного момента гауссовую спектральную плотность,у(ьг), характеризующую случайное воздействие л(1), и получили сразу, что процесс р(1), став при 1 Ъ 1/Г стационарным, гауссовым в строгом понимании уже не является, так как 1 7В Г2 1 цы) у( ).
о Гз+гнз и ьгз+Г2 Гз+ьгз Спасает положение предельное соотношение Го Ъ Г. Действительно, вне зависимости от конкретной структуры функ- Рнс. 92. Сравнительные графики спектральных ппотностей г(ы), характернзуюней случайное силовое воздействие на частицу, и Г»(ы), харакмризуюией изненение ее ин. пульса р(1) в результате этого случайного воздействии в случае Гв з» Г Рис. 91.
Конгур ингегрирова- Но так как мы змаем, что рз = пзВ в случае устанонип на коиппексной й-ппоско- влемия равновесмого распределения по импульсам, то стн при расчете вепичиггы р' выходит, что введенмый нами «неизвестный» коэффициент 7 = пзГ = бкЯ»1 действительмо есть та самая величина, которая обозначалась этой же буквой в гл.2. 3) 1 Л» 1/Г. В этой шкале времени р(1) — случаймый стационарный процесс, характеризуемый спектральной плотностью с уже известмым ее значемием в точке ьг=б: 151 В 8. Формула Нобкаисюе ции .7(в) спектральная платность ур(в) определяется двумя сомножителями, изображенными на рис. 92, из которого ясно, что при Го > Г шум .7(в) в представленной конструкции можно аппроксимировать белым, т.е. положить .7(в) = .7(0), а гауссовость процесса р(1) будет обусловлена не деталями 7(в), а множителем 1/(Г'+ вз), возникающим как следствие использованного нами уравнения Ланжевена для р($): тр Гг' — 7 тр ,7 (в) й —, рз = 1,7 (в)йо = — =тд.
Г Гз+вз' „)» Г $8. Формула Найквиста Предположим, что с помошыа некоторого фильтра в спектральной плотности .7(в) случайного стационарного процесса С(С) сохранена только полоса частот (и,в+ Ьв) в том диапазоне (О,во), где во С Г, в котором спектральную плат- .7 „(в') ность можно аппроксимировать константой ,У(0) ,7(в) й .7(0) (»белый» шум, рис.
93). Тогда с помощью обрезанной спектральной ин- ,7(в') тенсивностн (,7(0), если в <!мам+ Ьв, 7ь (о»»)=~ -то-.ав -в О в в+ив Г в' 1( 0 в иных случаях, Рве. ВЗ. Выбор полосы частот (и, в+ Ьв) можно определить стационарный »шум» ве- прп пыаоле формулы Наапопста личины сз в данной полосе частот +»» Р( 7 ~ 'ю (~)пы(о)» . Заметим, что зту величину можно связать с другими характеристиками случайного процесса с(1), в частности, со средней величиной бз во всем диапазоне частот н с козффициентом при $ в формуле Эйнштейна для дисперсии смещения В-процесса т)(1).
Полагая процесс С(1) гауссовым, имеем согласно В 5, 6 Гз ОО'(1) ,7(0) = — = —, яг 2я( ' откуда получаем сразу два варианта для ~~ ~ „: — аз Ьм т)зз(1) 1ьв Г а С а Это н есть формула Найквнста, записанная в несколько абстрактном виде. Используем ее прежде всего для системы, рассмотренной в предыдущем параграфе. Стохастическое уравнение движения для импульса брауновской частицы имело простейшую структуру (уравнение первого порядка) р+рг=у(1), г= —. Т тн При 1 2» т = 1/Го процесс случайного воздействия на частицу Р(1) становится стационарным, а процесс р(с) — стационарным и гауссовым (см.
также гл. 2, задача 28) при С > тм = 17Г. Из физических сообрюкений мы имеем Г < 1/т. 158 Глава 3. Некоягорые вопросы глеорни случабнык процессов Условие рт/(2пг) = В/2 при 1 > 1/Г определяло нам значение в точке ы = О спектральной плотности,7(ы) процесса Е = г" (1): ,1(О) =— 7В или коэффициент в формуле Эйнштейна для т)(1) = р(1): 1 рт(1) =2В71, 1« —. Г Заметим, что для определения ~~~ = Рт(1) сведений, включенных в стохастическое уравнение, недостаточно, необходимо привлечь еше один параметр — ширину спектральной интенсивности этого процесса Го = 1/т. Имеем 7В Рт = ггГо.1(О) ч —, что полностью согласуется с использованным нами в 81 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
