Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 29
Текст из файла (страница 29)
-«,! -«,! й2 — Е! Для смешения брауновской частицы после изменения порядка интегрировании в двойном интеграле и взятия одною из них имеем «ьх(М)=х(1) — х(1)= — / — — (1 — с '1 1) — — (1-е '! 1)) Р(1)ггг, е где РО ! /22 -«!! с! а(1) =х«+ — — ~ — (1 — е ') — — (! — е ")) . гп й,-й, (й! /22 поведение срсдйих р(!) и х(1) достаточно подробно исследовано в предыду!цей задаче. г« Задача 37. 6 первой грубой шкале времени 1 > т определить временное поведение дисперсии («Зр)2. Решение.
Учитъшая сосредоточенность функции Р(1!)Р(12) = р(1! — 12) вдоль диагонали 1, = 1„воспользуемся, как и в задаче 34, удобным прсдставаеннем у2(1! — 12) ~ !Рт 6(1! — 12). Тогла в соответствии с полученным в задаче 35 результатом лля с«р(г) получаем после взятия несложных интегралов 2 2 !Рт й2 -2«!! 2/г!~2 -1«!+«2И й! -2«2! (/зр)2 =, ° 1! — (1 — е ' ) — — (1-е ' ' )+ — (1 — е 2)) .
(е,-е,)2 12й, й,+й, 2й, Полатев (см. гл. 2, б 1), что при ! > тм — — 1/Г распределение по импульсу частицы релаксирует к максвслловскому, т.с. («гр)2~ = р' = гпв, ив!!с имеем у2т гпе (й« вЂ” Е!)2 йг/(2В!) — 2й,а«/(а, + й2) + И2/(2йг) В случае н и. 1 (т«< тм) релаксация (Ьр)~ к величине гпе схематически представлена на рис.
75. Она характеризуется тремя временами релаксации: 1 г! 1 1 1 — = — (1+и), — = т«, — = — (! -н). 2/22 2 ' й, +Е2 ' 2/г! 2Г В случае и > !/4, когда й, 2 = А/2 ~ гы, характер релаксации дисперсии (««р)2 становится колебвшльным (рис. 7б): (,3р)2 = е 1 1 — — со« (2ыг+ 32) -и 2/вии 1 ! — — соа 371 2/вии (выражение, стояшее в фигурных скобках сираев, соответствует значению 1 — 1 — 1 ). Это уравнение решено в предыдушей задаче: 0(1) = — (й«е «'! — М2е «), а!2 = — Л(1т 2/1-4к), йг — й! 2 Поэтому отклонение импульса частицы от его среднего значения (в смысле й 1 гл. 2) будет иметь вид 58. Броуновское даиженое часгпицы е среде сучепюм ее последедстаия 235 (Сьр) ) С 2Г Рис.
76. Релаксация дисперсии импульса к равновесному значению при апериоди- ческон характере брауноаского движения а среде с памятью Рис. 76. Релаксация дисперсии импульса к равновесному значению прн колебательном характере брауноаского движения е среде с памятью где величина 2С согласно задаче 35 определяется как 1С = агсгй «г'4» — 1. Если результат, полученный в первом случае, является как бы поправочным к результату для (Ьр)~ прн ть — — О (см. гл. 2, б 1), то второй случай качественно иной.' он свикетельствует о колебаниях ширины распределения по р, связанных с проявлением упругих свойств среды на временах, меньших времени послсдействня т„. задача 38.
Определить характер изиенения во времени дисперсии сиещения (Сьи)2 брауноеских частиц в вязкоупругой среде. Реше»ищ используя выражение дпя тьв(с), полученное в задаче зб, получим, учитывая свойства у«(21 — С«), несложное, но несколько длинное выражение (2.'ье)1= — 2~~ — — — ~ С вЂ”, (1 — е ") + «Рт 1 г «2 «1 «2(«1 — «1) («г — ««) + 2 1) (1 с-111) + 2 (1 -12Н) + 1 (1 -мтг) (1 -Гь«+ьзх)~ «2 2«1 2«1 «1+ «2 С 1+» т„ 2т„С 1/Г С Рис. 76.
Дисперсия смещений браунов- скнх частиц, двигающихся а среде с по- следейстамем в колебательном режиме Рнс.77. Дисперсия смещений браунов- ских частиц, двигающихся а упругоелз- кой среде е случае аперноднческого процесса Задача а дополншпельные вопросы м главе 2 где выражение для рт необходимо позаимствовать нз задачи 37.
Зависимость величины (Ьж)' от времени изображена на рис. 77. При ! - О (но ! » т) ( в)эм~ 1, 3 а при больших ! дисперсия (э5л)э релаксирует к формуле Эйнштейна — 2В ! (15в)э м — — !(! «-...), 7 1+и При апериодической релаксации, н = Гтэ < 1/4, этот процесс сближения с формулой Эйнштейна явлается монотонным (с теми же тремя временами релаксации, характерными зля (э5р)э в аналогичном случае). В случае же и > 1/4 получаем — е ! г (э5в)э = — ~! — — соэ 311~ !((2 э!в 2Х) 1+ — (1 — е )— 27~ ге / 1 л — — мп у (мну — е з!и (и!+ зх)) — — (сот 5д — е соэ(2ьэ!+ 5х))1, 8 -и Г Г т. е. ширина «облака» брауновских частиц на фоне его среднего роста осцнллнруег сначала (при ! < тэ) с частотой 2ьэ, затем (при гэ < ! < 2т„) с частотой ьэ (рис. 78). Напомним, что это расплывание накладывается на осциллируюшую траекторию э(!), определенную в залаче 35.
Задача 39. Считая величины р(1) и (Ьр(8))5 известиыии (си. задачи 35, 37), определить соответствующую начальному значению р(0) = рс и условию ненатянутости среды в момент ! = 0 функцию распределения иэ(р, !) и соответствующее ей дифференциальное уравнение типа Фоккера-Планка. Реаюние. стандартная схема рассмотрения лисперсий высших порадков (гл.2, 51), основывающаяся на свойствах случайного воздействия р(!) н в случае систем с памятью. приведет к результату (,5 )э О ~Д )ь ЗЯ )э] Совокупность всех этих срелних однозначно определяет функцию распределения м(р, !) гауссова типа м(р, !) = ехр ( ь-~~'1 ф АР ( 2(~И'3 в которую мы должны еше подставить уже известные нам выражения для р(!) и (э3р(!))э.
Частные производные этой функции по р и ! снова выражаются через и ввиду ее экспоненциальной структуры, однако нам надо построить такое лля нее уравнение, в коэффициентах которого не содержалось бы начального условна. Лействуя аналогично решению задачи 32, получаем уравнение типа Фоккера — Планка с довольно сложными, но известными коэффициентами при функции м и ее производных по р: дм /! 9(э3р)э — д!пр ! д~м д!пр д — — — — (г5р)' — — — — — (рм) ат ~2 бт В! У' ар б! Вр К этому уравнению необхолимо добавить начальное условие м(р, О) = б(р — рь) и условие ненатянупэсти среды в момент ! = О (в данном случае — это только словесная фиксапия херактера рассматриваемого процесса).
Задача Ю. Определить временную корреляционную функцию э3р(!)сьр(!+13!) (для определенности сь! > 0) в случае, когда процесс Ьр(!) = р(!) — р становится сгацноиарныи. 9 8. броуновское движение частицы в среде с учетом ее лоследедсавия 137 Решение. Исходи из извеспшго выражения ддя гЛр(!) (см. задачу 36) и действуя по аналогии с решением задачи 28, получаем тв ( -ь,а йг г -н,гг йг/(2йг) — 2" гйг/(йг + йг) + йг/(2йг) 1 2йг — (е ' +е ь' ) — (1 — е !' '«)+е ' ° — (1 — е )), йг+й 29 откуда для стационарного процесса в случае н» 1 (или тг» тм = 1/Г; условие стапионарности 1 Ъ 1/Г) имеем результат.
близкий к полученному в задаче 28, /гр(1)/лр(!+сг!)штв((!+2н )с и+т '-2н е !' т '). В случае и ) 1/4, когда Йьг —— Л/2 ж гм, имеем (условие стационарности 1 лг гг т 1/Л) Сгр(!) Сгр(1+ гЛ!) = г3рЬр(г3!) гаггг сгн (ыгь! — уг) е рг ст гр гзс 1 — и 1 Р' = тр и Г8 = — ° Р1 зги — 1 1 соз(ыЖ) — — сов(ыСгг+ Зт) в "~~и~ ° г/4нн = тве 1 1 — — соз 33г г/4ни Это выражение по математической структуре напоминает результат, полученный в задаче 34, Воспользовавшись определением величины Лг, после несложных преобразований действительно получаем, опуская ! (см. рис. 79), Рис.
79. Характер зависимости от разности аргументов гье временной корреляционной функции «импупьсимпульсв дпя брауиовского деижеиил в колебательном режиме, происходящего в среде с памятью Глава 3 Некоторые вопросы яеории случайных процессов В этой главе мы остановимся на некоторых имеющих физический интерес вопросах из указанного в заглавии большого раздела математической теории вероятностей.
С точки зрения математиков, специализирующихся в этой области, наше рассмотрение будет и недостаточно полным, и недостаточно строгим. В рамках общего курса, в котором вследствие ограничения общего объема основное внимание приходится уделять пониманию общих задач теории и ее выходов на прикладные вопросы, особая строгость вряд ли уместна. Чтобы сделать рассмотрение замкнутым (без ссылок на математические руководства, в которых доказывается то или иное утверждение), мы рассмотрим, конечно, самые доступные и простые примеры, а при интерпретации общих вопросов теории случайных процессов будем использовать опыт рассмотрения таких процессов, приобретенный в предыдущей главе.
51. Вероятности йо и Р Пусть величина С($) характеризует случайный процесс типа отклонения системы от равновесного состояния, для которого С = О. Для простоты будем считать (хотя это и малоправдоподобно), что это отклонение характеризуется только олним параметром (обобщение несложно, и мы его приведем, как только в этом появится необходимость), Иными словами, будем полагать, что случайное отклонение 4(Г) сушествует при всех значениях г, т.е. б($) можно представить во временной развертке как некоторый график, внешне похожий на электрокардиограмму, но отличающийся абсолютной нерегулярностью отклонений (рис. 80).
Отметим, что речь идет о сушествовании этого графика в принципе, а не о возможности его записать с помощью какого-либо»кардиографа», так как любое измерение ЯФ) тут же внесет в этот изначальный случайный процесс определенный элемент сглаживания (к этому вопросу мы еще вернемся, но несколько позже). Уже из сказанного выше ясно, что мы ограничиваемся только весьма частной реализацией случайного процесса: во-первых, далеко не всякому случайному про- 4(г) цессу можно сопоставить непрерывную траек- 4 торию б(Г); во-вторых, даже если это оказалось возможным, то не для любого типа траекторий 1 С(») имеет смысл говорить о среднем значении О величины (.
Мы будем рассматривать случай 1 б = сопзг = О, а само «движение» б(г) считать 4 финитным. Зафиксируем на воображаемом графике з ° 4'(Ф) (см. рис. 80) определенные моменты времени 1ц причем условимся всегда располагать их в порядке возрастания нижнего индекса, т. е, г <г «...г». 51. Вероялзнослзл «л л Р Значения величины Е(Ф) в эти моменты будем обозначать как Ен Ем ...,Е„, т.е. Е(1,) =6. Будем полагать, наконец, что по отношению к случайному процессу Е(з) можно ввести плотности вероятности вз„(Ен...,Е„) гв вэ„(Ен1,; ...; Е„,з„), гз = 1,2,... (один нз вариантов введения таких функций на примере вэр мы рассмотрим в на- чале следующего параграфа), имеющие следующий смысл: плотность вероятности вэ,(Е~) ж вч(Еп Ю~) такова, что величина вар Щ определяет вероятность обнаружить величину Е в Интервале значений (Е„Ез + дЕД в момент времени о = зз, плот- ность вероятности аоа(Ен 6) гд юа(Ен Ф„Еа, оа) такова, что зла з(Еэ йЕа представляет вероятность обнаружить величину Е в интервале (Ен Е, + Щ в момент времени Г~ и в интервале (Еа, Еа + ~ГЕа) в момент времени га и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
