Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 28
Текст из файла (страница 28)
'у' 2а' 2 у'2а На рис. 69 схематично показано поведение во времени среднего У (затухвюшие осцилляции) и »расширение» траектории эа счет роста разброса (Ьх)г. В пределе ! -» оо, (г»х)у = х~ = В/(2а) в полном соответствии с больцмановским распре- 9 делением !! 2а Р(х) ° екр (- — ) . Изображенные на рис. 69 результаты допускают некоторые фантазий- рис.б9. Зависимость ст времени координаты У(!) центра ные построения. Например, прелель- облака брауноескнк частиц н юнрнны этого облака прн ная ширина распределения позволя- брауновском данженнн в колебательном режиме а поле ет опрелелить параметр потенциаль- упругой силы ьг = ахг ной ямы а, что в сочетании с измеренной частотой осцилляций ы дает возможность определить величину Г; произведя в некоторый момент времени 1, меньший 2/Г, измерение величины х(е) и (гэх)г, мы можем, выразив время г, прошедшее от начала движения брвуновской частицы, через (ггх)г, ис- ключить его из х, у(с, хо, ео) = х((Ьх)у, хо, ео), получив тем самым связь начальнмк значений хо и ео, которая при заданном хо определит и начальное значение скорости ео, и т.д.
Задача 34. Для брауновского движения в поле У = ахг (см. предыдуа(ую задачу) определить временную корреляционную функцию отклонений в случае колебательного режима ба!гтг > Гг. гэх(!) = — ) екР 1 — — !г ~ з!и (ызг) ° 2»(! — эг) гйн -шм) 1, 2 о имеем (см. для сравнения задачу 28) для требуемой корреляционной функции г г»ы 1 ( Г г»х(!)ггх(!+ М) ~ от!г ( Йг — екр ( — -(гг + !г)~ ып(огг~) ° з!п(ог!г) тг(го!+1~ - гг).
пгг ого о о Решеное. Используя полученный в прюцэдущей задаче результат для отклонения координаты от среднего значения 3одпчн и дололняпвльныв вопросы я иове 2 Учитывая сосредоточенность функции зт вблизи нулевого значения ее аргумента, можем согласно 5 ! гл.
2 использовать ее представление Зг(С) ы /г(Со)У(Со + С) = 2'ГВ 6(С) с помощью которого сразу снимается интеграл по С!. Выделяя в оставшемся интеграле множители, зависящие ог Ы, яп (ы(с, + сьс)) = сов (нас) ° яп (ыс,) + зСп (ысьс) ° сов (ыс!), представляем искомую корреляционную функцию в виде Г Г С.'ья(С)тьл(С+ Ьй) = ехр ( — — сьС~ сов(ыЖ) 1!(С) + ехр ~ — -тХС~ яп(ысьс) . /т(С), 2 2 где функция /!(С) = —,, ( е ' згп (ыС!) ВС! = (Ьв(С))' 27В / -гт, о уже рассчитана нами в предыдущей задаче, а «коэффициент при з!п ыСьС несложно получить аналогичным образом: ! 27В / -гг, 7В 7В /щ г! .
/т(С) = — у е ' зСп(ыС!) соз(ыС!)ВС! = — — т! — е зСп(2ыС+р). гп!. ! / лапты титы! )( 8а о В полученном ответе характерным явяяется не структура /! и /,, а зависимость от ЬС, включающее помимо убывающей экспоненты еще и осциллнрующие величины зСп ыС!С илн созыЬС, В отлйчие ог случаи свободного брауновского движения (см. задачу 28) процесс блуждания в поле Г/ = -ах может стать стационарным.
При С Ъ С/Г !ъя(с)сзх(с+ сьс) = — ехр с — —,ж~ ( соз(ысьс)+ — згп(ысьс)) = В ( Г' 7 2 ( 2' 1~ 2пты — ( Г ) соз(ыЫ+г)) = х! ехр ~ — -4С~ 1, 2 ') солт) где я! = В/(2о), татр = 7/(2пты). В случае апсриодического брауновского движения, когда 8а/пт ( Гт, расчет которого несложен (можно даже в полученных выше формулах просто учесть мнимое значение ы), в корреляционной функции будут фигурировать только экспоненциально затухающие по сьС множители.
В рассматриваемом случае С Ъ С/Г, тогда будем имсп, обозначив Г' =,ГГ - В~ Г,' В Г ГСУС) / Г'Си 7 Г'!УС~ Сьв(С)!зв(С + Сьс) = — схр ~ — — у ~ сй — + — зй — /! 2о ( 2 ) !, 2 птГ' 2 ) с характерным при М-!со экспоненцнальным повелением ехр(-(Г-Г ) !' Г (см. рис 70). Сь Рис. 10. Характер зависимости автокорреллцнонной функции тном=†!Хв(С) С!в(С + Сус) хз(С) от сьС в пределе С Ъ!/Г в случаях алерноднческого н колебательного бразтновского движений в потенцн. альнаи поле С/=пи 5 8.
Брауноеское дееженне честоцы е среде с учетом ее последейстеил ! 3 ! $8. Брауновсиое движение частицы в среде с учетом ее посяедействия В главе 2 и во всех предыдуших задачах регулярная часть силы, действующей со стороны среды на брауновскую частицу в момент времени с, аппроксимировалась силой вязкого трения Р, (г) = -Гр, величина которой определялась значением импульса частицы р(6) в этот же момент з, а коэффициент Г = сопи. Для движения в среде типа разреженного газа это правдоподобно. В более сложных случаях среда как бы помнит о том, с какими импульсами двигались частицы в предшествующие моменты времени, она в зависимости от этих значений как бы затяпцшет частицу или, наоборот, подталкивает ее, проявляя свойства не только вязкости, но и своеобразной упругости («вязкоупругие» среды). Простейший вариант этой функциональной зависимости е'„» от импульса частицы — линейный„что соответствует характеру нашего приближения «малых импульсов» р' (!) = -г / у(г, !')р(!') и'.
««г-т1 с Функцию 1(г, !') полагают неслучайной, однородной во времени у = у(! — В), с конечным и тервалом памяти тх. Ее общий характерный вид представлен на рис. 7!. Задача о движении частицы в такой среде сразу усложняется не только потому, что функцию памяти можно определить только в общих чертах, но и в постановочной части: в связи с тем, что уравнение движения для р(!) из дифференциального становится интегральным, для определения его решения (если оно вообще существует) задания начального значения р(0) = ре уже недостаточно, надо задать состояние среды в этот момент, или, что то же, запать р(!') в предшествующем ! = 0 интервале тх.
В этом разделе мы ограничимся рассмотрением лишь простейшей возможности: в момент ! = 0 частица с импульсом ре «появляется» в невозмушенной ее движением среде (т. е в ! = 0 «включается» ее взаимодействие со средой). Для функции памяти у(! — г') выберем также простейший однопараметрический вариант у(! — !') = р(! — С')Ле ~О ~!, ть = —, Л' где д(! — !') — единичная ступенчатая функция, равная нулю при ! — р < О.
Тогда уравнение движения для р(!) для свободного брауновского движения приобретает вид г р(С)+ГЛ е ай !р(Г') г!!' = Р(!), р(0) = ре. о При т1 — 0 (Л - оо) функция памяти у(! — Р) -+ Б(! — Р), и мы получаем прежнюю схему — уравнение Ланжевене с начальным условием, — исследованную нами в 5 1 гл. 2. Задача 35. Решить уравнение движения для импульса р(!) и определить смещение я(С) в случае, когда случайное воздействие среды на частицу отсутствует. 1Зг Задачи и дололниаельные вопросы л главе 2 Решение, Полагая р(!) = О, имеем согласно предшествующему пояснению однородное уравнение для импульса р= -ГЛ«~ Е М' Ор(!')ос', р(0) =р.
Умножая обе его части на см и дифференцируя, получаем эквивалентное дифференциацьное уравнение р+Лр+ГЛр= а, р(О) =р„р(О) =О. Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет корни 2Г Г а — хц«ц — ! р(!)цй'= — — [ — (1-с ') - — (1 — е )]. р ! (Йз, Й „) гл ./ Й2 ! ! Й! Йз В случае к = Гт«м,! смешение релаксирует к максимальному по зкспонснциальному закону (рис. 74 а) я — я«щ — [1 — с ~ ! — к (1 — е )], гпГ в случае лм к > 1/4 около максимцяьного смещения рц/(гиГ) возникают затухающие колебания (рис. 74 б) р ( - » (м! + 2Х)] я — хц = — [1 — е глГ [ $!п2Х где величина 3( определяется написанной ранее формулой. Л Г О 1/(4Г) Йгл - --(1 ~ тг! - 4к), х = — = Гт„ 2 Л Рнс. 72. Зависниость дейст- которые лействительны в случае к < 1/4, котла время послееительимх корней характера- действия среды тц < тм/4, гле тм = 1/à — время установлестичесхого уравнения от эф- ния максяслловского распределения (см.
рис. 72). В частности, фективного интервала лаияти в случае очень короткой памяти среды, к < 1, имеем среды т„ Г(1- и) Й1 = Лк(1 +и+...) Ш Г(! +к), Йз = Л(! -к+...) Ш к В случае к > 1/4, или тм < 4тх (среда со значительной «упругостью ) 1 1 Йьт- Л~йм, м- -Л«/4х-1. 2 ' 2 Общее решенме, удовлетворяющее начальным условиям, имеет внд р = рц — (Йзс ' — Й~е ' ). Й, — Й, В отмеченных выше частных случаях оно прнобрсшст следующий вил: р Ш р,[(1+ «)е-'!""" ке™], к «1, — экспоненниаяьная релаксация, качественно отличающаяся от е г' (случай т« - -О) только в области 0 < С < тз = 1/Л (рис. 73 о),' зи, ц(п(м!+х) 1 ъ/4к — 1 р=рце к> —, ц(пх=— ц(п х ' 4 ' 2~/к — новый тип режима — периодическая релаксация (рис.
73 6). результаты лла смешения частицы, двигающейся в ввзкоупругой среде, следуют из полученных выше. В общем случае 0 8. Броуновское движение чвояицы в среде с учщион ее посеедеИивия 133 и-я! Р(г) Ро 1 1 гТГ+ ) Ра1 г 0 т„ р(с) Ро 1 Рис. Уе.
Экспоненцнальный (а) и ко- лебательный (6) типы релаксации ко- ординаты брауноаской частицы, денга. ющейся е вязкоупругой среде Рис. 73. зкспоненциальный (а) и колеба- тельный (б) типы релаксации импульса бра- уноаской частицы, двигающейся в аяэко- упругой среде Задача Зб. Решить основное стохастическое уравнение для р(1) р(1) + ГЛ е 1' 1р(Ф') г(1' = в'(1), р(О) = ро е н определить смещение брауновской частицы я(1). Решение. Введем функцию Грина С(1, Г!) = 6(1 — 1!), 6(0) = 1, такую, что р(1) = 6(1,0)ре+ ~ 6(1, 1')1№(Г') а1.
Подставляя это вмражение в уравнение лля р(1) и изменвя порядок интегрирования в двойном интеграле, получим (точкой обозначается дифференцирование по 1) ! ! ! рь С(1,0)+Гл~е "!' 16(1',0)агг'~= — ~ггг'Р(1')Цс(1,1)+Глав "№ 16(й,г')ж ~ а е е при любом значении Ре и произвольной Р(1), что возможно лишь в случае, когда выражения, стоящие е фигурных скобках слева н справа, обрашаются в нуль. Это лает уравнение,аяя самой функции Грина 6(1)+ГЛ ~е О гс(1') г11" = 0, 6(0) = 1 а 134 Зодочо и дополношельные вопросы я главе 2 /зр(1) = р(!) — р(1) = ~ — (/гге «'!' ~! — И>е «'"и!)Р(1 ) 41', У Й2 — й! где согласно задаче 34 р(1) и ро — (йгс ' — /г!е ' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
