Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 23
Текст из файла (страница 23)
/4яР1 ( 4Р1 ) Требустся найти функцию р,(х) такую, что рг(х)дз будет вероятностью первого достижения брауновской Рис. 4б. Схена брауиоесхого движечастипей точки з за время 1 из интервала (1,1+ дГ). нил частицы, характерные точки траДля наглялности представим себе некоторую ре- еатории и зреиеинме интервалы, фиальную траекторию с(г') брауновской частипы, исходи- гурирующие е выводе выражение для шей из точки ДО) = 0 (рис.45). Обозначим символом распределения рг(х) А(х, 1) событие, заключаюшееся в том, что брауновская частила первый раз достигла точки л в момент времени т такой, что 0 4 г ~ 1.
Условнме вероятности того, что после совершения А частила пойдет направо (б(1) В и) нли налево Вероятность этого события (ввиду независимости отдельных шагов) определяется распределением Бернулли (см. пояснение к задачам 1-3 е гл. 1) — "(1-р)л-" В = 1чр, (г~п)г = дгр(1 -р), 104 Задачи и дополнительные вопросы и главе 2 (6(С) ( х), совершенно одинаковы, в их сумма равна единице (частица пойдет либо туда, либо обратно), поэтому Р(А (6(С) > х) = Р(А ~ 6(С) < х) = —. 1 2 Вероятность совместного события А и того, что частица пойдет направо (6(С) > х), в соответствии с определением условной вероятности Р(А, 6(С) > х) = Р(А) Р(А ) 6(С) > х) = - Р(А) 1 оказывается поэтом у равной половнне вероятности собственно интересуюшего нпс события А.
Но событие А уже включено в событие (6(С) > х), тпк кпк в силу непрерывности реальной траектории чвстица в момент С может быть правее точки х только тогда, когда в явкой-то предшествующий момент т ( С она в ней побывала. Поэтому Р(А, 6(С) > х) = Р(6(С) ) а), вероятность же того, что в момент С частица будет правее точки х, непосрелственно вырпжвется с помошью исходной плотности р,(С). Имеем Р(А(х, С)) = 2Р(6(С) ) х) = 2»/ р (С) дх', откудв искомая плотность распределения р»(х) = — Р(А(х, С)) = 2 / — дх' = 2,~ Р— дх' = -2Р— / др~), г" д»рг(С), дрв(С) дС / дС / дха дх или, па»стввляя явное выражение для р (С) и учитывая, что при С ( 0 ввипу т > 0 (ввиду С' р 0) событие А невозможно, имеем (см.
рис,46) 1 х С х»1 Р»(х) = — — ехр ~ — — ~ для значений 0 < С < со, /4 Рѻѻ ), 4РС~ р»(х) =0 для значений С ( О. Нормировку этого распределения несло:кно проверить. Делвя замену переменной интегрирования » 4Рц»' имеем «« ФЮ Г' '— р»(х) АС = 2 — у е»Сц = 1, -в ,/я l -вв в 0 х Нвиболее вероятное время достижения брауновской 6Р частицей точки х равно Рис. 46. Вмд распределения р»(х) х' 3 6Р прм трех значениях параметра а Рвспрелелению р,(х) „как и исходному р,(С), свойственны некоторые «парадоксы*, связанные с нарушением условий применимости диффузионного приближения к описанию брвуновского движения (напомним, что согласно р,(С) оценка средней скорости движения брауновской частицы з~х»/С = з/Р/С, справедливая при С >> 1/Г, формально расходится при С вЂ” О). Например, соглвсно р,(х) вероятность того, что чвстица будет в точке х = 0 в момент С, сколь угодно близкий к С = О, равна нулю, тпк кпк р,(0) = О.
Далее, скорость убывания р»(х) ѻѻ при С - со недостаточна для того, чтобы среднее время достижения »пленной точки х было бы конечным, н т.л. С» б 2, Ненолюрые свойство свободного движения броуновсноб чоапицы 105 в момент времени г, гле 0 < т < С, то Х(С) > х; наоборот, если Х(С) > х, то точке х достигается где-то в интервале (О, С) до или в крайнем случае в момент достижения ею отклонения Х. Поэтому и «« р(Х(С) > х) = / Р,(С) ССХ' = Р(А(х, С)) = 2 / рх(С) Ах, « откуда искомая плотность вероятности распределения по максимальному за время (О,С) отклонению равна (см, рис.
47) О Х Рис. 47. Сравнительные графики распределения по иаксииальиоиу за арена С смещению брау- екр(- — 1 для значений 0<Х<са, нааскай частицы Рл(С) и распре- Р (С)»» йРС ( 4271 ) деления р,(С) па координатам х в гог же момент времени С 0 для значений Х < О, Срелнсе значение максимального отклонения за время С рвано Х(С) = ~ Хр (С) ССХ = ~/ — Си!. о Интересно сравнить этот результат со средним размером «кляксы» брауновскик частиц ъухг = »/2271: он оказывается большим срелнего максимального отклонения, ь«хс = — Х Щ 1,25Х. У 2 Задача 7. В усповияк предыдущей задачи опреде- ( ) лить распределение па времени достижения брауиовской частицей максимального за время С ее отклонения Х(С).
1 1 Решение. Выберем момент времени С' внутри рассматриваемого интервала (О, С). Тогда согласно задаче 5 вероят- 1 ность тато, что брауновская частица первый рвз достигнет 1 точки х в (С', С'+АС') равна рг(х) «СС'. Вероятностьтого, что Я 1 координата частицы в интервале (х, х+ «Сх) за оставшееся 1 время С вЂ” С' останется максимальной, согласно задаче б равна р„(С вЂ” С)1, «т»~-«г Рис. 48. График распределения по Вероятность того, что эти события произайлуг последа- ареиеии достижения брауиовской взтельно (авилу ик некоррелированности), рвана произ- частицей иаксимальиога отклонения за время С ».
=. », '- и «««* - »( ~ »«и .««* ...,р (см. рис. 48) С С Рг(С)=... 0<С <С. ! к~/Р(й — С') ' Задача б, Для свободного одномерного брауновского движения частицы, начинающегося из начала координат, определить вероятность максимального смещения частицы за данный временной интервал (О, С). Решение. Обозначим искомое максимальное смешение Х(С) (см. задачу 5 и рис.45). Заметим, что событие А(х, С) и событие Х(С) > з равносильны: если точка х достигается 106 Зидичи и дополниглельные вопросы н сливе Я Среднее время достижения максимального опоюнения на интервале (О,т), естественно, равно т/2, обт = / Г'Гге(1) вб = —, 2 о Слегка »парадоксальный» вывод из полученной формулы лля р, (Г) заключается в том, что экстремальные точки траектории частицы более всего вероятно обнаружить в начале и в конце времени наблюдения за ней (вблизи концов (О, 1)).
$3, Уравнение Смолуховского, уравнение кинетического баланса и уравнение Фоккера †План Задача 8. Предполагая, что условную вероятность р(х' ! х, Ж) при баас - О можно представить в виде двух слагаемых Аб(х — х') + т2йт(х' ! х), характеризующих вероятность частице остаться через б) б в точке х' и вероятность перейти за гИ в точку х (величнна ор'(х' ! х) является скоростью этого перехода), вывести иэ уравнения Смолуховского уравнение кинетического баланса и сформулировать принцип детального равновесия при б- оо.
решение. так квк функция р(хг ! х, бгт) подчинена условию нормировки„то, представяяя ее в виде р(х' ! х, бЬГ) = (1 — айт) б(х' — х) + Ьгй'(х' ! х), имеем а = „~ тт'(х' ! х") вх~. Подставим эту формулу в уравнение Смолуховского (см. гл. 2, б 2) Р(хо!х 1+ют) =~р(хо !х',1) р(х !х,сот)ах'. Тогда получим Р(хо ! *, т + дт) - Р(хо ! *, Г) = ~Г / (Р(хо ! х', Г)тр(х' ! х) — Р(хо ! х 1) ~'(х ! х')) Вх' Физический смысл правой части достаточно очевиден: некаторме частицы, за время 1 попавшие в х', за оът доходят до положения х (жгу(х' ! х) — вероятность таких переходов), а некоторме, за время т попавшие в х, за время оьт расходятся куда угодно (вероятность такого процесса пропорциональна о»б 5'(х ! х')).
разаелив обе части равенства на бьг н перейдя к прсаелу бы О, получим искомое уравнение кинетического баланса, которое в иностранной литературе обычно называют мажет едиаиои: др(хо !х,т) Вт = /(Р(хо ! х', Г)ттг(х' ! х) — р(хо ! х, Г)11'(х ! х')) Вх'. При 1- со мы требуем, чтобы производная по времени исчезала, а функция р стремилась бы к равновесному бал ьцмановс кому (для идеального газа из брауноаских частиц) распределению, р(хо ! *, Ц - сопи ехр (-(Г(х)/В) . В этом предельном случае компенсация встречных потоков произойдет при условии )р(х ! х ) ехр [ — — ) = И'(х ! х) ехр ~ — — ) .
Г Г/(х) Ъ, ( (Г(х') ) в в ) Это соотношение выражает иринина доталвншо раоисоосия дая системы брауновских частиц, пахааяшейся в термостате. Ь (От й 4. уроененое Фоккера — Планке. »очные решения Задача 9. В пространственно однороднои случае 17(а) = О.аыаести из уравнения кинетического баланса (си. задачу 8) ураанение Фоккера — Планка для свободного браунояского движения. Решеное. В пространственно оаноролном случае скорости переходов И'(х ( х') = И»(х' ( х) '= И'(й» вЂ” а'(),. Поэтому ВР(хе»х О»» » дг / бх'И'(»х — *>)(р(хе ! х,»);,р(ае ~ Х,т)) = = / »Гх' ур(1х — х'!) ') — (х'-' хч)" — р(хе Гх, Г).
" (-!)" „,,„в" и! дх" «» Ф Но средняя скорость смещения в пространственно однородном случае 4.Ю х — х' = / (х — ь') Иг(»х — х'!) Вх' = О, расплывание (х — х')' эа секунлу определяется формулой Эйнштейна, ьа (х — х')» = / (х — х') ~И'Ех — а')) ох' = 2В, (х †.т')' = О Лля а ) 3 (см. й 1). Остается етенкаргное уравнение лнффуэнн Вр(хе ~ х Г) В'р(хе ! х, Г) ВГ дь' которое н является ураененнем Фоккера — Пленка лля свободного брауноаского движения. г» 5 4. Уравнение Фоккера — Планка. Точные решения.
Некоторые частные вопросы Задача 10. Исходя из уравнения Фоккера — Планка дпя одномерного свободного браунояского даижения на бесконечной прямой, соответствующих граничных условий и начального услоеия, соответствующего расположению частицы я момент времени б = О а точке х = О, получить, не решая зто уравнение, формулу Эйнштейна для дисперсии (»ь»х)». Решеное. Имеем — =Ю вЂ”, р(0,х) =б(х), вр в'р вт в»' р(Д х) бх = П р(Г, х)~ = О, р'(З,х)', = О. 108 Задачи и дололниглельные вопросы л главе Я Обозначим среднее хз =,г(с), 'ьгдв у(С) = хг = / хгр(С, х) ох, у(0) = / ьз Ю(х) ох = О. -Х вЂ” »» Составим длл функции у(С) дифференциальное уравнение »ф +»» +»» ВУ Р,бр Р,агр , Вр(*- — — ах =Ру х — чх Рх — ~ -2Рхр~1 +2Р / рехы2Р ВС / ОС / й О*'(. „ » -»» »» -М -»» (мы исполыоввлн здесь само уравнение, граничные условия н условие нормировки; начальное условие было использовано при опрслелении величины у(0)).
Итак, получаем дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием — =2Р, г(0) =О, ду(С) дг решение которого имеет вид формулы Эйнштейна с (С) = хг = 2РС. С» Задача 11. Найти решение одноиерного уравнение Фоккера-Планка иа полубесконечной прямой х > О, считая, что внешнего силового поля нег и что в точке х = О стоит непроницаемая стенка. Решение. Имеем Ор О'р — = Р—, р(О,х) =б(х — хв) дС 8хг' р(С,х)ох=!, р(С,х)/, „=О, в Рис.ар, Внд плотности вероятности р(С, ь) в случае, когда в точке х = 0 воивщвна ненСюницввивя дяя брву- новсхнх частиц стенка Вр( =О, Ох, — =» (последнее условие — реализация условия отсутствия потока (Р ~в, + - р —,], = О, в нашем в с во случае У = 0). Ответ, получаемый методом»изображений» (нли еще каким-либо методом), имеет вид ллл х > 0 р(С,з) = — (ехр (- — ~+ехр ( — — 0, и р(С,а) = 0 для х < 0 (ртгс.49).
Задача 12. Найти решение одномерного уравнение Фоккера-Планка в поле сил тяжести У = псдх на бесконечной прямой для случая, когда брауновская частица в иоиеит времени С = О находилась в точке х = хс. Решение. Так квк дбСОх = шл„то имеем общую схему: Ор О'р шя Рр — = Р— + — —, р(О,х) = 6(х — ьв), дС ССхз т дх ' р(С,х)ох=!, р1» ь — — О, р~, =О.
03 109 б 4. Уравнение Веллера — Планла. Точные решения В правой части уравнения член с др/дх можно убршь, если в2мсти новую переменную пьу шд с =х — хе+ — г и =хе — с+с. 7 7 Тогда, пересчитывая производную по Г, приходим к схеме свободного брауновского движения (как в задаче 8): — = 22 — р(0,0 = е(0, р((4) = у== Вр(г, С) В'р г ( С' ) дт В(2 Черну)с ( 422Г ) Возвращаясь к переменной х, получаем (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
