Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пересчитаем эти выражения на (х — хо)в, одновременно обобщив при этом задачу на случай, когда на брауновскую частицу действует еще медленно меняющееся внешнее поле т/(г) (для нас важно, чтобы движение в каждой локальной области системы происходило как бы в «однородном» пале). Тогда при 1 > 1/Г в нашем случае движения частицы в вязкой среде 91 й 2. Уравнение Гиолухоесаого (х — хо) ! — -1 О, ( -хо)' 1- 0 ит.д.
з-о 5 2. Уравнение Смолуховского Рассмотрим (ради упрощения в написании) вновь одномерный случай и ввелем функцию распределения Р(1о, хо ! 1, х) такую, что величина р(1о, хо! 1, х) Фх определяет вероятность обнаружить брауновскую частицу в интервале (х, х+ з(х) в момент1, если она была в точке хо в момент 1о (рис. 39). Будем считать эту функцию распределения нормированной и уловлетворяюшей начальному условию, которое соответствует нахождению брауновской частицы в точке х = хо в момент 1= 1о, Р((о хо! 1, х) йх = 1 дпя всех 1; Р(1о, хо! (о, х) = б(х — хо). *в Характерное специфическое немеханическое качество рассматриваемых нами процессов в шкале 1» 1/à — это их «безынерционностьм мы можем каждое из промежуточных состояний брауновской частицы взять за начальное, н от этого описание дальнейшего хода процесса не изменится.
Несмотря на то, что частица перемещается из хо в х с некоторыми реальными скоростями, в нашей шкале 1» !/Г (включая Ф» 1/Г) в любой момент времени распределение цо скоростям у брауновской частицы является максвелловским. Безынерц ион ность процесса означает, что функция р(1о, хо ( 1, х) не зависит от событий, которые произошли с брауновской частицей до момента (о, т. е. совершенно безразлично, каким способом частица попала в хо к моменту (о.
Функция р(боь хо! 1 х) не включает также и никакой информации о том, каким способом, через какие промежуточные положения частица за время 1-1о перешла из хо в точку х. Процессы, описываемые такими функциями распределения, называют марковскими (более подробно см. следующую главу). Рис. 39. Один из путей брвуновской чзстицы, вышедшей из точки хз и попавшей через вреия З вЂ” Сз в «окошко» (х; х+ вх), определяющих условную вероятность р(зз, хв 1 й х) з(х Таким образом, желая на больших временах перейти к описанию системы с помощью функции распределения р(1, х), мы должны потребовать от нее не только чтобы она определяла плотность числа брауновских частиц в окрестности точки х в момент времени 1, но и чтобы вычисленные с ее помощью скорости изменения дисперсий з(х — хо)з~, о удовлетворяли бы выше написанным требованиям.
При этом мы будем, естественно, предполагать, что средние, вычисленные с помощью функции Р(1, х), и рассмотренные нами ранее срелние по интервалу сз1 > т совпадают. Обсуждение самой возможности такого совпадения (так называемой эргодической проблемы для случайных процессов) мы отложим до следун1щей главы.
Пива 2. броуновское движение х(с) Рис. 40. Одне нз возможных позе«торна 6рзуновской частицы, вышедшей в момент времени зв из точки хв, прошедшей в момент времени ! через «окошков (х', х' + ех') н попавшей ко вренени Ф+ Ж в интервал (х,в+ ох), совокупность которых определяет вероятность Р(сш хе 1 й, лф) пл| ' Р(З, х 1 З+ ззс, х) с)х *а Рассмотрим теперь даа последовательных интервала времени (йо, !) и (й, !+ Ь!) и составим произведение т1р(го, хо ! 1, х') й' р(г, х' ~ ! + ЬЮ, х)) тгх, йо < Ф < Ю + ЬФ.
Так как вероятности переходов, взятые для последовательных промежутков времени, у нас независимы друг от друга, то написанное выше произведение представляет вероятность обнаружить частицу в момент !+Ы в области (х, х+т!х), если в момент го она находилась в точке хо, а в момент времени ! — в области (х', х'+ Наг) (рис.
40). Если мы проинтегрируем по всем возможным промежуточным состояниям х' частицы в момент г, то мы должны получить условную вероятность Р(Со, хо1з+ Ао, х): р(йо, хо ! й, х) = р(0, хо ! ! — 4о, х) = р(хо ! à — йо, х). Уравнение для однородного во времени марковского процесса будет иметь вид р(хо ~Ф+Ьг,х) = р(хо ~з,х)р(х ~Ж,х)Нх, 0< Ю < й+Ж. Уравнение Смолуховского — зто нелинейное интегральное уравнение. Теоремы единственности в том виде, к которому мы привыкли, исследуя залачи, сволимые к линейным дифференциальным уравнениям различных типов„для этого уравнения не сушествует. Наоборот, оно имеет массу решений совершенно нефизического характера. Покажем, что физически осмысленное решение для р, относящееся к описанию брауновского движения и принадлежашее к классу таких Функций, что, не считая р(!о,хо ~ !+ Ай,х) = р(йо,хо ~ Ф,х') тйх' ° р(й,х ~ !+то!,х).
Это уравнение в физической литературе обычно называют уравнением Сятоиуховского (М. чоп Бтпо1ап-Бгпо!цс!тотчз!с1, !906) (более точно: уравнение Чепмена — Колмогорова — Смолуховского, работы Чепмена (Б. С!таргпап) и А. Н. Колмогорова— 1928-19 3 1). В простейших случаях, которые обычно и рассматриваются, никакой из моментов времени ! не выделен по сравнению с остальными, а зто значит, что зависимость функции р от времени однородна: $2, Уравнение Снолуховского условия нормировки, (х' — х) ! Г х' — х,,! М1 ~ — = / — р(х ! х', Ь1) Их'1 = — = А(х), 1ы о и сз1 1ы-о к»11ы-о (х'- х)з Г (х'- х)г,,! Мз1 ы-о = / — р(х ! х', Ьг) Ах'~ = — = 2В(х) ~ О, ы о й1!ы-о (х' — х)л ! Г (х' — х)",,! Мь ! — = / — р(х/х',Ьг)йх1 = — 1 =О для й~ 3, ги 1„„, l ь1 ы о сь1 ы-о содержится в уравнении Смолуховского и при заданных граничных условиях является единственным.
Как мы выяснили в конце предыдущего параграфа, величина А(х) = ио = --' и может равняться и нулю, в то время как для В(х) = д/у это исключено. Пусть Р(х) — некоторая в достаточной для наших целей степени гладкая функция, для которой существует среднее значение ВГ(1) = л'(х)р(хо ! х 1) ех.
Напишем производную У'(1) по времени (в нашей грубой шкале времени, когда даже й Ъ!/Г) дбг(1) Г др(хо ! х,1) Г,, р(хо ! х',1+Ж) — р(хо ! х',1) — =,~ ахат(х) Ы ы-о Воспользовавшись уравнением Смолуховского и обозначив промежуточное положение частицы в момент времени 1 как х, получим, вынося функцию р(хо ! х, 1), ддг(1) Г Г , , р(х ! х', Гас) - р(х ! х', 0) — = ( «гх Г Ах'р( о ! х,1)Гг(х') дг -У / ( ! )() ы-о «Производная», которая стоит под знаком двойного интеграла, весьма условна и без интеграла, во- р(х!х', дс) обще говоря, не существует (эта ситуация полностью аналогична случаю, когда под знаком интеграла сто- 1 ит Ь-функция или щзугая такого же рода сингулярная «функция»). Именно, р(х ! х', Гзг) при Ы.
0 явля- р(х') ется <ютро сосредоточенной функцией около а" = х, а при Ь1 = 0 это просто г!ь-функция, р(х ! х', 0) = = 6(х — х'). Поэтому вклад в интеграл по х' дадут только те значения Г(х'), которые относятся к малой области значений х' около точки х (рис.4!). Разлагая поэтому функцию Р(х') в ряд Тейлора вблизи значения х' = х, получим Рис. 41.
Соогноиение функций, образующих лодынтегральное оы- ( ) 1 ! ( ! 1) Г 1 ~ х( ( ~ ) в( ) ражениеофориуледлл дЩ)Где ф-х)з о р(х!х',дьЕ)-р(х!х',0) + — 'Р (.)+... 2 ,М ы-о 94 1)гала 2. Броуновское движение Так как р(х ! х', Ь1) Нх = / р(х ! х',О) Их' =1, то члены с Р(х) взаимно уничтожаются; так как (х' — х) р(х) х',0)Их'= ~(х' — х) б(х — х')Нх'=О, й > 1, то исчезают все члены с р(х ) х',О). Оставшиеся члены, содержащие под знаком интеграла по х' конструкцию (х' — х)ер(х ! х', гзе)/Ьг для й = 1 и й = 2, образуют величины А(х) и В(х), а для я > 3 в том интересующем нас классе функций, которые имеют отношение к брауновскому движению, — все обращаются в нуль.
Обозначая лля краткости р(хе ) х, $) = р, получаем в итоге АхР(х) — = / йх(рАГ'+ рВР"), др г Ве / Это — уже линейное уравнение для р, и чтобы снять интеграл по х, возьмем в правой части интеграл с производной Р' по частям, а с Р" — дважлы по частям. Учтем граничные условия для функции р: р(, =0, р), Тогда безынтегральные члены обратятся в нули, и взятие интеграла по частям сведется к замене подынтегральных функций д д дг рАГк -à — (рА)„рВГн -Гк — (рВ) à — (рВ). дх дх дхз Перенося все члены в одну сторону равенства, получаем, что интеграл / (др д дз Нх Г(х) [ — + — (Ар) — — (Вр) [ ВГ дх дх при достаточно произвольной функции Г(х) всегда равен нулю, Это может осуще- ствиться только в случае, когда фигурная скобка, стоящая под знаком интеграла, равна нулю (чтобы снять интеграл при сложившихся условиях, достаточно, на- пример, взять вариационную производную от написанного линейного функционала по бР(х)), и мы получаем в итоге одномерное уравнение Вр д дз — + — (Ар) — — (Вр) = О, Вс дх дхз или, полставляя А(х) и В(х), Вр д В'р 1 д Г В~Г'1 + Вг 7 дх 7дх дх которое называется уравнением Фоккера — Планка и с математической точки зре- ния является линейным дифференциальным уравнением параболического типа, существование и единственность решения которого обеспечивается при наличии начального условия р(хе 1 х, О) = 6(х — хе) и соответствующих граничных условий известной теоремой математики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
