Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Схема подключения резонатора (даухлроаодиой линии) л сопротивлению В, являющемуся генератором случайной ЭДС Таким образом, мы рассматриваем равновесную термодинамическую систему, состоящую иэ генератора шума В, являющегося одновременно его же поглотителем, и резервуаре» (длинной линии), заполненного элекгромапштными волнами. Эта система практически полностью аналогична модели, используемой при рассмотрении термодинамики равновесного излучения, — полости, заполненной электромагнитным излучением и ограниченной абсолютно черными стенками (роль черной стенки в данном случае играет само сопротивление В). Мы используем поэтому те же методы исследования.
Так как собственные частоты линии (прн 1 - оо образующие непрерывный спектр) с с и„= — и, п=1,2,3,..., с»» —, 21 ' '.' '"" ЛС' отделены друг от друга на величину Тзтг» = с/(21), то, полагая, что на каждый нешвиеимый осциллятор равновесной системм црихопится в репей-джннсовском диапазоне частот средняя энергия, равная температуре сиспмы, дтг дог с = — + — шв, » — 2 лге получим для энергии линии, приходящейся на интервал частот (и, и+ йцг) Ьв 21 Ул„= е.— ш в-йи.
гзтг» с Предположим теперь, что по необъяснимым причинам сопротивление перестало»шуметь», ио ие перестало поглощать падавшие на него волны. Тогла за время 1 = 21/с линия станет 68 Задачи и дололнншельные вопросы л главе 1 пустой.
Так как сопротивление замолчать в принципе не может, то за это же время оно вновь «нашумит» в линию энергию в количестве «та». Мощность этого шума, таким образом, равна да„ Ра„= — = В гзг». Учтем теперь, что в нашей модели 22 м 22, „, а мощность, «теряемая» иа нагрузке, »»3 ~2 Р«»г» (Л + 2 )з ~«»о 4В поэтому средний квадрат ЭДС шума сопротивления в полосе сгн равен Ез~ Евгтл„ или в расчете на единичный интервал круговой частотм ы = 2яг«, — 2В22 Ез— « Это и есть известтвя формула Найквиста (Н.
Хуцо!ы, 1928), связмвающая дисперсию ЭДС теплового шума с величиной активного сопротивления 22, температурой и частотой (в частном случае, когда величина сопротивления 22 не зависит ат частоты в рассматриваемом «классическом» ее диапазоне йы й В). Задача 29. Оценить амцлитуду малых поперечных тепловых колебаний тонкой натянутой струны длиной 2 с натяжением Т (рис.
23). и(х,т) Т Т.— ви ах Рис. 23. Мгновением полажение отклонений от равновесия натянутой струны, оаисыеаемае функцией и(х, т), и действующие на ее элемент гзх силы Решение. Так как поперечная составляющая силм, действующей на элемент струны»»х, равна С»Т~ = Т(д~и/дх') гзх, а его перемещение равно гги)« = (ди/дт) . ггт, то потенциальная энергия всей струны, характеризуемой данным отклонением и(х, т), равна Ф дзи ди тт(Г) = — ~ гтт / гтх Т вЂ” ° —, дх' дг ' г» е гле интегрирование по т ведется от условного времени Фе, для которого и(х,те) = О.
Беря интегРал в отношении пеРеменной х по частЯм и Учнтываа, чта ди/дт1, е — — ди/дт(,«, = О, получаем гг(т) = — Т~ ~ — ) Их. е Если прелставить теперь отклонение и(х, т) в виде суперпозиции стоячих волн Г2, пих и(х,с) = ч~~ А»(т)ц — мн —, 'у' т $ б. Каазиглермодиламическал шеарил флукглуаций то 11 Т~;~~А2(~~) ~ч, ~1г им я=! Так как струна находится «в термостатею то, как и в задаче 2б, для квзгдого независимого гармонического колебания откуда — а11 2' А'„= — ~ — ) и А„= О.
Т ~яп) Учитивая, что А„, ° *, = А„, ° Аю = О ДЛЯ и, ~ пз, ПОЛуЧасМ для сРеднсто от кваДРата отклонения струны ст йсложения равновесна — — В з!и (пяс/1) а (Гзи)' = и'(я,!) = — ° 2 ~ = — ° Г(я). Т1 ~-,' (~яя)~ Т! Сумма по и берется точно. Если мы заметим, что то без труда выполняя суммирование по и и последующее интегрированна по гы мы после несложной замены переменной интегрирования получим, что р(22)г ф г' 1 'т ' еи 1(з) = -4 кс ) ~ — ) — 1п(1 - и), ~2я) и где интегрирование проводи кя по внутренней стороне единичной окружности на комплекс- ной плоскости и.
делая замену и = ем н замечая, что мнимая часть р я 1т !п(1 — и) = — — —, 2 2' получаем окончательно довольно простой по форме стает: — а и2(е,г) ю — с(1 — л), Т! Совершенно аналогично можно исследовать проблему тепловых продольных колебаний в упругом стержне нли органной трубе. с 5 б. Квазитермодинамическая теория флуктуаций задача 30. Длл системы с фиксироеаннын числом частиц гтг получить оценки для дисперсии температуры лри т = сопя и при р = сапы, а также давления и объема при д = сопзг. Решение. исходя из основной формулы (см. 5 3) для вероятности фауктуанионного отклоне- ния а нснзолированной системе 1 ! ыа ехР ~ — (ЬР22У вЂ” Ьа22Я вЂ” 22РЬЮ) ~ (гв 7! йб.
Квоэилгермодиноническоя пмория флуигпуоций В3 <ЬВУ,„= — ', <ЬЛг>,,=, "', (ЬВЫЧ>„=О, (За~В),=В ет (-Вррре),' н т.д. Задача 33. Найти корреляции флуктуации энергии с флуктуациями температуры и объ- ема (ЬЕЬВ)п, (ЛЕЕВ)р и (гзЕсь)г), . Решение. Используя результаты залзч 31, 32 (Ьд,ЬХ)„= (ЬУЬ%')„, о, получим (гзогзг) = «!ьЕсь| ) = ( — ) (~ЬЗ')т = В[р ( — ) + В ( — ) (тЬЕ!ЬВ), = (!ЬЕ!ЬВ)„= «Г — ~ СМ»лр = В'. (ВВ) „„ Задача 34.
Получить формулу для флуктуации свободной энергии в единице объема систенм, считая, что флуктуируют !т и В, н оценить относительную флуктуацию свободной энергии электронов в единице обьема металла при комнатной температуре. Решение. Так кек согласно задаче 31 В' — ГВГ~ (Деду)„= О, ХЬж„л = — и (гз!т ) = В Ср ~ ВР ~,„' то (Гзуг) з = (-ВЗВ+ РЫЧ), '= — + Р'В ( — ) С, ~ ВР)„' Для электронного пюа при В < ер (см. задачи 12, 13) Вг ш В И !!Г ° - етр, 3 5 откуда, опуская члены порядка температурной поправки, — 3 1 25 В зз (сХВг)т ы -РГВср, бег й — ° — — 10 2 ' !!Г 6 е„ Задача 3$.
Оценить дисперсию химического потенциала идеального ферми-газа в слу- чаях В ц: ер и В > ер. Решение. В вырожденном случае (см. т. 2, гл. 2, 3 2-в)) Р=ср~! — — ( — ) +...1, где яр= — (Зе~ — ) Пренебрегая температурными поправками, дея дисперсии числа частиц в системе, выделяемой ВОабрвжаСМЫМН СтЕНКаМН (тг = СОПМ), ИМЕЕМ Вйг ПМ,~-' 3 В (Ы7=  — йге( — ) -РГ. — —, ВР ~дйг/ 2 ер' Задачи и болел»шпальные вопросы я гдове 2 72 поэтому в области В < ср В невырожаенном случае г»Г=Ч ~прйеРГ Ч~ е РГ1 "и» Р р (2 Д)» Дг " В(2яп»В)»/з У откуда Задача Зб.
Получить формулы для флуктуаций теплоемкости Су» с учетом флуктуаций д и У. Оценить их длп электронного газа при комнатных температурах и твердого тела ниже дебаевской температуры. Оценить значение температуры, при которой для образцов объемом 1 см' и 10 е см» относительные фяуктуации теплоемкости достигают ! 3Ь. ь з ьз (~СР»)г — ) (~В)з + ( (б»У)з Удс — Рдс -~ ВВ~ ( дв ) Сргг ( дУ ) (-ВР»где) аз В Дз г,!!ГАВ Г 2 3 Сг» й!Тг ° — —, бр = — (Зя — ), -РУ = Ерй -ьрср.
2 ср 2»» ~ У~ 3 5 Поэтому, сохраняя главный при В/ср <! член, получаем (1»СР»)» й Ср». бс й »г~ ~» 1 1 2ер Т = — — — 1О, й Уязп получаем после подстановки численных данных (см. задачу 12) абсолютно нереализуемые значения Т«10 ~К лля У=1см»; Т ° 10 з К дия У га 10 см».
— — (д т — 2с В т з » (гзг») = (гзс»р) (1+ ") = 1 — (гздг) (длг 3 !У ср' В»3!1Г ВФ Ттг Ь»г га — н — ьь —, !У дд В' поэтому для дисперсии химического потенциала в области В Ъ ар получаем (см. Рис. 24) — Вз — Вз ВРГ с»р г В ~з (Ь,> = — '(1ЬДГ)з= —  — = — 'Я'. > 1ьгг д дг( / ' Решений Так как согласно заеаче 31 (ЬВЬ У)» = О, то Для вырожденного электронного газа (см. задачу 12) Определяя температуру Т, при которой бс = 0,01, 0 1 2 Рис.
24. Температурная зависимость дисперсии химического потенциала идеального ферми.газа О 6. Кеозншернодиномичеоаи шеорнл флуявуоцив Для твердого тела при В ч; Во (см. т. 2, гл. 2, $4-6)) теплоемкость равна 2яз С, = !гтвевз Ь- 5»зсз ' а внутренняя н свободная энергии определяются выражениями 1 1 8 = -дГЬеВ +В!ее(е), Вг = - — !УЬеВ'+!усе(е), 4 !2 поэтому, пренебрегая членами В" по сравнению с Вз, имеем 3С ' В' С (лс)з -( «) .
+( «) огрс В С, У (ВВВ) Полагая Вс„= 0,01 н подставляя выражение для Ь, получим Тй — ° — ( — ) ° 1О, с=с 1,5 ° 1О сы/с, Уц » ~2 ) откудадля Ую1см' Т 3 ° 1О гК;для У=10 есмз Т 3 ° 10 зК. Задача 37. Показать (полагал, например, что флуктуируют величины В, У, )1г), что основная формула для вероятности флуктуационного отклонения в неизолированной систене нд (сн. З 3) сводится для систем типа газа к двухмерному гауссову распределению по независимым отклонениям температуры гЗВ и удельного обьена 23о, Решелое. сохранюг в отклонениях ья, гьр н гьр линейные по гзв, гьу и гьлг члены и учитывая, что согласно Ивк = Я Фв - р ИУ+ !г ИФ (ВУ),„=(ВВ) „„(В.),„=-(аВ) „„(В— .'),„=-(ВУ) ая получим, что в квадратичной форме -Г»в!ьЯ + !Ьр!ьУ вЂ” г3ргз йГ исчезнут члены, содержашие СьВг3У и 2ЬВг.'ь»Г: Г() () () И Учитывая далее, что н что прирашенне удельного обьема г3е с точностью до линейных членов ! / У Гье = — (г»У — — сьЛГ), л~ !у получим окончательно ! С«л з 1 !У / Вр~ нд ехр (-- — (гьВ) — - — (- — ) (гье) )1.
2 Вз 2 В~ Ве) Полагая в этой формуле Ф = сопи, мн получим результат залечи 31, а в случае У = сопн— результат задачи 32. Если предположить, что флуктунруют переменные В, р н йг, то, поступая аналогнчным обраюм, мы получим, используя термодинамические тождества, связанные с формулой 74 Задачи и дополнишельные вопроси я главе 1 асу = -дав+ Увр+,иак, что в вмрккенин для ыь сохранятся членм с (гьд)', (с»р) и ЬВЬр (коэффициент прн (Ь!т)з равен (д/з/ОМ),г = О, т.с. вслмчина (ЬФ)', может бмть любод в случае, когда не фиксирован размер системы). Приводя зту форму к диагональному виду, учитывая связь теплоемкостей С„,» и Сг», а также соотношение сьр — (Вр/дв), М = (др/де) гьс, мы вновь пркцсм к полученному выше результату для ыь.
о Задача ЗВ. В изолированной системе, разделенной на две части неподвижной тепло- проводящей стенкой, определить термодинамические флуктуации температуры в кв- ждоК из честера, а танже флукгуацию разности температур между ними (теплоемкость перегородки считать равной нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
