Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 24
Текст из файла (страница 24)
50) ~х — (хе — Г) ] Ю.*) = — ' 224 АМ 422Г Так как С = О и (2 = 2,И, то ПЩ е=. — — г, 7 (х — хе)2 = 222Г + ~ — ) 22. /тут 2 7 Так как на практике бесконечных по высоте сосудов не бывает, то полученное решение ограничено по г условием недостижимости облака брауновских частил, а также среднего значения х, дна сосуда. Если начальное положение хе отсчитывается от дна вертикального сосуда, то решение задачи имеет смысл при одновременном выполнении неравенств 7хе хе 2 — н с<в Пгд 222 (см.
более подробно следующую задачу). Ь Рис. 50. Сползание и расползание об- лака брауновсхих частиц е поле силы тяжести Задача 13. Брауновская частица находится в поле силы тяжести ТТ = пзлх в сосуде, ограниченном снизу непроницаемой стенкой. Считая, что в начальный момент брауновская частица находилась на высоте хе, решить уравнение Фоккера †План для этого случая и исследовать полученное решение. решение. Общшг схема — уравнение н дополнительные условие — та же, что и в предыдущей залаче, только в точке х = 0 появляется граничное угловие, соответствующее условшо отсутствия потока частиц через непронипаемую стенку: Вр шд Вр В д'р — — — — — — — = О, р(0, х) = 6(х — хе), ВГ 7 дх 'Гдаг р(Г, х) гГх = 1, р), = О, (шд Вр) =О, др -"!...— е Сведем сначала уравнение лля р(г, х) к простейшему — уравнению свободной дифФузии.
Сначала уберем член, содержащий Вр/Вх. Для этого введем новую функцию: р = р2 ехр ( — — (х — хе) ~, пзб 2Е Задачи и даполнипмльные вопросы л главе с пересчитыаш производные, получим др, в Гшв~' ад р, — + -( — ) р| — — — =О, РДО,х) =В(х — хо), дй 7 2в 7 дхз Чтобы убрать член, пропорциональный ры положим (шв)з ) Г (пьв)' шв р~ — — рз ехр — — йг или р=рг ° екр с(- — й — — (х-хо)~. 4В7 4Ву В Тогда получим уже сопшартную зааачу математической физики: дрз В д Рг (дрз шу — — Рз(0, х) = В(х - хо), ~ — + — Рз = О. дй 7дх ' ' ' дх 2В У, Введем функцию у типа потока (нри * - +со он отсутствует) шу др, у= — р,+ —, у! 2В дх' '* о (др~ 'М ) Тогла рз = ехр ( — — ~ / охр ( — б) у(й, б) Вй. ду В дзу В д — — у(й, 0) = О, у(0, х) = — б(х — хо) + — б(х — ао).
дй 'у дхз' ' ' ' 2В дх Функция й)зина соответствующей завачи дб В дзб — — — С(й,О)=0, С(О,В)=б(х-б) дй 7 доз представляет нечетную комбинацию решений задачи без условий в точке Г = 0: С(й, х,с) = Со(й С вЂ” х) — Со(с* (+ х) где Со(й, В) = — ехр ~ — — (. 1 Г (~3 'Г2хРВ ( 4Рй ) Получаем, таким образом, решение для »потоковой» функции у: ° » у(й, х) = / юЦ ° у(0, й)С(й, х, й) = о иоу д = — (Со(й, во — х) — Со(й, хо + х)) + — (Со(й, хо — х) + Со(й, хо + а)) . в дх Подставляя зту функцию в интеграл, определяющий рз(й, х) и беря член с д/дй по частям, получим рз(й т) = Со(й, хо - т) + Со(й. хо + х) - — ехр ( — — ) й ехр ( — ) 2бо(й. хо + б) Вб, 2в ( 2в ) / ( 2в ) откуда, ввода новую переменную интегрирования тв т (б+ 'о й~ 7 Подставляя зто представление для рг(й, х) в уравнение для рз и дополнительные условия, дифференцируя получившееся уравнение еще раз по а (дифференцирование интегралов цо верхнему пределу даст подынтегральные функции нри й = х) и сокращая на скр (Нмщ), получим в 4.
уравнение Фолкера — Нлоняо. Рочльы.радения получаем ответ для искомой функции р(г,х)=~(ехр( — ~+ехр( — ~) ехр( — — — ~+ Ж -*-*« + — ехр ( — — ~ —,~ / ехр ( — — ~ гг»С. В случае я = 0 (поля нет) ыы получаем результат задачи 11. В случае малых С, когда одновременно шя — С К а» вЂ” центр «облака» далек от дна сосуда, 7 2РС ь х» — размытие «облака» не достигает дна, мы приходим к решению задачи 12.
г В случае, когда С ) г„, где общее время релаксации т,г естественно определить квк время, начиная с которого интеграл ошибок фактически полностью включает экспоненту ехр ( — П»аа т, т. е. верхний предел захватывает основную часть йодынтегральной функции, шя — тм — (а - *е) Ш «/2О~'в» 7 7 ы 7(*+ ае) г«»м + шззл + Рис, $2. Релаксация первоначального 6-образного распределения к бояьцмвновскому в Смстеме, помещенной в лоле силы тяжести м ограниченной снизу дном сосуда полученное решение для р(С,х) переходит в распределение Больцмана глл р(С, а)!!Св» = Ре = ехр Общая схема эволюции функции р(С, е) изображена на рис.
51. Задача 14. Решить уравнение Фоккера — Планка для брауновском частицы, двигающейся в поле сг(х) = ахз и имеющей начальное положение в точке хе. эта одномерная задача моделирует брауновское движение указателя чувствительнопз прибора, связанное с взаимодействием «стрелкив прибора с окружающей его молекулярной средой. Решение. Исхспная схема уравнений имеет еид (мы не будем писать угловия на а = жоо, которые имеют тот же вид, что в задаче !0): др д г2а Едрз — = — ~ — ар+ — — ), р(О,а) = е(а — а»), / Р(С х) г(а = 1 ОС Ох~7 7 ела' «« Исключим член с дрГ'да, введя вместо х новую переменную (2а ) дб 2а б=а ехр( — С), 17 1 ВС 7 Задачи и дололнишельньге вопроси л славе 2 112 Обозначая функцию р~(1, () = р (1, ( схр ( — — 1) ), получим для нес Вр, у д (4о )др~ — = — р + — е р 11 — 1) —, р,(О,() =В(б-яс).
дс 2а 7 .17 )Вст' С помошью замены искомой функции, (2а р~(с,б) = ехр ( — 1) ' рз(1.б) 7 исключим член, пропоршюнальный р,: Вр, В (4о ) дтр — ' = — ° ехр ~ — 1) ° —, рг(0, б) = 6(( — ес). Вс у 7 ) дс' Наконец, с помогцью замены временной переменной г 1~ = / схр( — 1))ВС'= — (схр( — 1~ — 1), а д11 = схр с( — 1 ~ 41 17 е я Рис. 62, Релаксация первоначального распределения к больцмановскому в сис- теме брауновскнх частиц находящихся в поле упругой сипи мы приведем задачу к уравнению простейшего типа др, В В'р, — — рз~ = б(( — *с), у откуда 1 (я - ее)з рт(1„() = ехр д 4В 4я — 11 Переходя к исходным переменным е и 1, получаем ответ 1 -Нз (е — ее ехр ( — — 1)) р(1, я) = ~ — (1 — ехр ( — — 1))) ехр 1 — схр ( — — 1) Прн 1Ъ ге = — получаем больцмановское распределенно а поле осциллятора У(е) =оет, 7 2о Га ( ает1 Р~ю, =Рям (я) = ~) — ехр ~ — — ).
При 1 ч. тм — свободное брауноаскос движение 1 (я — ее) р(1, е) = ехр 7 7 Характер релаксационного процесса, описываемого полученным реигснисм р(г', л/, лражпгвлен на рис. 52. с> В 4. Уравнение Фояяцза — Планка Точные решения Задача 1В. В рамках формализма Фоккера-Планка показать, что в случае неогран иченной системы для снещения брауновской частицы н за время 1, скорости е, е характеризующей дмффузноннмй поток 2 = ре = -Р 2ф, средней «кинатической» энергии, связанной с этим движением, ммеют место соотношения типа «соотношения неопределенностей» РМ ,/из.ез, Р,, „ 4 Решение. Так как +Ф вЂ” т <Сыр= '=~*'р(з*)Л*, (2Ь) = '= Ю'- — — ~) Ес.
р и то, используя известное неравенство Шварце л«««»«у/гни у/ми получаем +«О »а р Ю / ех л (- — ) = Ю / р ее = Ю, Откупе В (Ьл) (Ье) ~ Ю вЂ” -. 7 Если определить среднюю «кинетическую» энергию бреуновской частицы квк 1М«т = Е (нвпомним, что средняя тепловая энергия 1Ме = Е/2) и вспомнить, 1 з , чт (сы)2 = 2ЮС, т получим ЮМ Й т> —. 4 Результат для ~(йв)з (Ье)' фактически совпедест с результатом, полученным иным способом в эедечс 29 для случая т 2» 1/Г. Задача 16. В условиях задачи 11 — облако брауновских частиц вблизи непроницаемой стенки — оценить эффект силового отталкивания этого облака от ограничивающей систему стенки. Решение. Используя идею щпачн!5, определим «оператор условной скорости брауновских частиц через нх поток / = ре, считая его е отсутствии внешних полей чисто диффузионным ~др е ж -у = -Ю- —.
р рде Среднюг всвнчннв этой «скорости» равна «О «О /ю г г В= / врал= -Ю / — Юл =-Юр(йл)( =Юр(ПО) = (~ — ехр) 4 гбр д* ' !«=« ' ят « « Тот же результат мы получили бы, если бы рвссмотрелн среднее положение брвуновскнх частиц у= / лр(цл) ев а 114 Зодочи и дополиигпельные вопросы к алове 2 и взяли бы от втой величины производную по Е Действительно, используя методику задачи! О, получаем х«= / х — 'Кх=Р ( х ' Кх=...=Рр(С,О).
Г др(т, х) Г д р(г, х) д! / Вх Г хо т\ Р,.„= уб=рр(г,о) = — ехр~- — у, »/хР! 1 4РЙ ) где Р = В/7 (см. рис. 53). Интересно отметить, что максимальной величины зта «сила» достигает по прошествии времени со = хоа/(2Р), т, е, к тому моменту, когда расплывающееся облако брауновских частиц достигает стенки (и как бы «сталкивается» с ней), /2В В Ра»«»а )/ — — ад 0,492 —. тг/ аге ха ' хо' Рис. 63. Реакция непроницаемой стен- ки нв расплывающееся вблизи нее об- лако брауновскнх частиц Рис.
54. Распределение плотности чи- сла брвуновсхнх частиц в слое по про- пествни времени т аа Ь'/(2Р) Задача 27. Оценить степень относительного выравнивания концентрации брауновских частиц фа'а!! в ограниченной одномерной системе -Ь « * Х за время т = Ьз/(2Ю), если в начальный момент р(0, х) = 6(х). Решение. Обозначая ! Г хтЪ ро(г, х) = — ехр ~ — — ~, »/ЯкР! '«4РГ 2 ' можем записать точное решение уравнения диффузии в рассматриваемом случае в виле ряда р(с,х) = ~ц~ ро(г,х — 2пЬ) =ро(г,х)+ра(г,в+2Ь)+ра(т,х — 2Ю)+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
