Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1 имеем С'ЙС« (1 — -а), --'-'(--'.) г С«1 2 22м га 4Юо — (1 — - а) . е ~ е ) 4»м и гы = Дг ехр ( — — — 1) . Т Со 4Ю; Рис. 61. Зависимость квадрата размера видимого облака нестабильных браунов- ских чапиц от времени Случай а = О соответствует системе со стабильны- ми брауновскнми час»идами. Зависимость площади видимого облака брауновских частиц от времени представлена на рис. 6!.
Задача 23. Вредполагая, что частицы, нестабильные в силу своих внутренних причин, распадаются е соответствии с простейшим законом Я) „= -р/т, где т— характерное время их жизни, определить зависимость от времени величины иг, если в момент С = О оии находились в окрестности начала координат. Решении Уравнение баланса числа частиц (вместо уравнения непрерывности в системе стабильных частиц) где дифФузионный поток по-прежнему равен г« = -Ю(др/дз), приводит к уравнению Фоккера-Планка с условием «нормировки», учитывающим зкспоненциальное убывание общего числа частиц — =Р— — —, ) р(е,С)г(з=е др дор р ОС дег г' ) «« р(е, 0) = б(з), р~, = О, р'! = О.
«СЯ «о — «СЯ = р(С,СС)яа йд ме К то, обозначал Со - -Каог/(4Ю«), получаем для видимого радиуса К облака как функции переменной г = Т И (Т!(Т вЂ” С)) выражение г / Со гз 22 = 4Юог (!и — — 2-) . Т). Харвктерные точки — моменты видимого исчезновения облака и максимальной его величины Зодочо и дополниглельные вопросы к глоае Г 120 С помощью замены р(х,с) = е ~~'тг(х,с) это уравнение сводится к простейшему, рассмотренному нами в гл. 2, 6 3 ~х откуда 1 Г р(х,г) = — ехрт — — — — Г ъ/4лрг ( 4Рг т н Задача 24.
Определить стационарное распределение плотности числа частиц рассмотренных в предыдущей задаче, и их потока, если на границе х = 0 внешним источником постоянно поддерживается их плотность ре (или задан поток частиц уе в точке х = 0). Решению Согласно уравнению Фоккера-Планка лля рассматриваемой системы (см. зада- чу 23) в стационарном случае, когда Вр/ВС = 0 н р = р(х), имеем Р— — — = О, р(0) = лэ, р(со) = О, р'(оо) = О. в'р Вх' т умножал почленно на Вр/Вх н интегрируя, сразу получаем гэ где постоянная интегрирования С = 0 в силу условий при х = +ос. Так как в соответствии с физическим смыслом р ~ О, Вр/Вх щ О, то, извлекая корень„получаем вр — — л(0) = рс, вх Гр вр(х) Гр . гж .,гвг Вх Ут $ б. Вращательное брауновское движение Задача 25. Сферические брауновскне частицы, обладающие дипольным моментом р, двигаются во внешнем электрическом поле Е = (О, О, Е).
Получить методом, предложенным в б 3, уравнение Фоккера — Планка для вращательного брауновского движения. Рнс. 62. Зависимость дисперсии хг от времени в случае, когда браунов- снне частицы имеют среднее время жизни г откуда р(х) = р,е *~ (рис.63) и лля потока — = Р—, / х(х, Г) = Ц х(х,О) 4 6(х), вс вз' хз т / хзр гГ~ = 2РГ с 3)юфих этой функции изображен на рис. 62. Рис. 63.
Стационарное распределение плотности числа брауновскнх частиц имеющих среднее время жизни т, по расстоя- С> нию х от нх источника р б. Вращательное броуновское движение Решение. Трансляционное брауновское движение частиц в данном случае является свободным. Будем считать, что оно не влияет на вращения частиц. Рассмотрим одну брауновскую частицу и для описания ее состояния введем сферические координаты (г, д, р), гле углы (д, р) определяют положение вектора дипольного момента р (рис.
б4). Так как потенциал взаимодействия диполя с внешним однородным полем зависит только ат угла д, 1Г = !Г(д) = -(р Б) = -рд с в д, то по углу р реализуется свободное вращательное брауновского лвнжение. Интересуясь брауновским движением по углу д, мы будем характеризовать «состояние» нашей системы с помощью функции распределения Рнс. 64. Брауновскаа частица с дк- Р = Р(1, д) (радиус частицы г = В = сопя). Чтабм по- польнмн нонентон р во внеанен злеклучить результаты лля свободного вращательного бра- транагннгнон поле Е н ее упювые коуиовского движения, нам достаточно будет выключить ордннаты д к и поле Я. Напомним формулм для Бгаб Ф, б!тЛ и ЬФ в сферических координатах, аставаяя в них члены, соответствующие случаю Ф = Ф(д), Л = (О, .А(д), О), Ф ««Ф(д): ВФ 1 дФ 1 ВФ 1 ВФ Бщб Ф = — е, + — — ее + — ° — е„= - ° — ее, Вг г дд гщпд 81Р г дд 1 (, 81'зА„В в!п дА«ВАг 1 1 В д!тЛ «« — ~в!по —" + г — + г — "~ = —, ° — (яп ВА(д)), г'51пд Вг Вд Вр гв!пд Вд 1 8 г' ВФ'1 = — ° — ~в!пд — ) .
гзв1пд Вд 1, Вд) В дальнейшем мы положим г = Я = 1, введя зтот параметр частицы в соотмтствующнй козффициент у»н = у. Исхпая, как и в $3 гл. 2, из уравнения непрерывности — +о!в(ры) = О, вр 8! чы прелставим угловую скорость ы как бы состоящей из двух частей, соответствующих зегулярному и случайному вращениям частицы: «1»» Ыв+Ы«ч«. Определяя ыв как угловую скорость вращения шарика в вязкой среде под действием момента . из М, когда в случае малых скоростей М = ум«(коэффициент у зависит от гс, температуры д . вязкости г! среды), получим 1 ВГ 1 Рыв — — — р — = -- р РЕь!пд. у 'зя второй части в случае «малых градиентов ° Вр ры = -!у— Вд' чы получаем искомое уравнение в виде Вр 1 8, /1 81Г Вр1 — — — в!п д — — р+ Р— 81 51пд Вд ~т Вд Вд 122 Злдлчц и дололношельныв вопроси л элоев 2 В предельном случае С -~ оо мы считаем, что реализуется больцмановскос равновесное распрслслснис по углам рэ = Се ~Ы1~'.
условие отсутствия «потоков» в случае лостижения состо4ння тсрмолинвмического равновесия /1 всг ар~ мп д 1 - — ° р+ Р— 1 = О Ь вд ад/ ласт в качестве решения лля р(д) ту же экспоненту р(д) = Сс ~лт»» Се поэтому Р = В/7, и мы получаем окончательно Вр 1 В /1 ВСГ В Вр~ / ВС =з1пд'Вд '~т'Вд т'Вд~ — уравнение Фоккера — Планка лля нашего конкретного случая. г» Задача 26. Найти решение полученного в задаче 25 уравнения Фоккера — Планка для случая, когда слабое внешнее поле Е = Евсин вызывает малые отклонения функции р(С, д) от ее равновесного значения ре.
Рассчитать дополнительную поляризацию системы, связанную с наличием в ней брауновских частиц, а также связанные с вращательным брауновским движением коэффициенты лреломленмя и поглощения. Решение. Подставляя ВСС/Вд = РЕ мп д в уравнение Фоккера — Планка, получим ар д д'р др осе д Вр РЕ, РŠ— + — — + — э!пд+ р ° 2 — созд) . ВС т Вдз дд зад Вд В д -(' В случае Е = О при наступлении равновесия р = р, = сопи, причем в силу условия нормировки « ! р(С, д) мид ад = ~р(С, х) дх = 1, э -1 мы имеем ре —— 1/2. В случае Е ~ О естественно искать решение вмписанного уравнения в виде разложения по полиномвм Лежандра, р = ~, р„(С)Р„(соз д). я с Ограничиваясь только первым членом этого разложения, Р(С,В) Ш Рэ+ Р,(С) ° сов д, н пренебрегая членами «второго» порядка (РЕ/В) р„получаем т Вр~ рЕ +Р~ = Рэ 2В дг В Полагая .Е = Е«сев и интересуясь стационарным решением этого уравнения р~(С) = (р~)сека получаем рпа вв 1+ Сйу/(2В) д а для самой Функции р(С, д), с учетом нормировки р(с,д) ш — 11+ РЕ, ° — сов де 2 1+ г йт/(2д) д Так как срелний дипольный момент брауновской частицы равен (р) = / рсоэдр(г,д) мпд яд, э 0 б.
Вращшпельное брауноеслое движение то дополнительная поляризация системы за счет нахождения в ней дипольнмх брауновских частиц равна 2 т Р=п(р) =п . Еос™=п Еоег! '"1, 1аО + о«!овз где в — число брауновских частиц в ! смз, а !ар = !12/(20) (колебания Р отстают по фазе от колебаний внешнего поля на величину !л = ага!0 (йт/(20))). Для диэлектрической проницаемости е(й), равной кшщрату комплексного коэффициента преломления электромагнитной волны Е(й) = вп — !Рп, мы имеем пп ! 4нР е = !+ — =В (й), 1 Е ! откуда, считая 4кР/Е и.
1, получаем для коэффициента ! преломления п„и затухания пп искомые выражения: "и вр пп — — !+2к з 0 20 Зд (!+ (Пу/(20))') Рис. 65. Зависимости нндуцнроаанных днлольными брауноэскнмн частицами коэффициента преломления по н затухания пп ог частоты енеш. него поля Й пр Пг Эд (! + (12 /(20))з) 20 1)жфнки этих функций прслставлснм на рис. 65. Задача П'. Для случая малых по сравнению с временем релаксации системы к равно- весному распределению ро = 1/2 ингервалое времени получить формулу Эйнштейна для свободного вращательного брауновского движения, Оценить упомянутое время релаксации.
Решение. Согласно задаче 26 в случае Е = 0 имеем для функции р(1, д) уравнение Фокксрв— Планка: 1 р(1,д) шпддд = 1, р(0 д) = Сб(д — до) = —.'б(д — до). згп до о Нс ограничивая обпгности рассмотрения, выберем ось х так, чтобы до — — к/2 (рис. 66). Тогда, введя переменную д, = д — и/2, получим др д /О'р Вр ~ — — + гад~ °вЂ” О! т Вд дд «0 р(г,д,)свод~ад~ — -1, р(0,д,) =б(д~). -«0 В случае дз ч. (к/2)з, когда «граничными» эффектами можно пренебречь, получим приближенно «ы — а- —, У р(1,д,)дд,и1, р(О,д)=б(д), Вр и Вр Г 01 7 Вд,' / л 2 0 д, 'нс. 66.
Распределение плотности .:»роятностн по полярному углу длв :»ободного вращательного браунового движения частиц при ! ч. т/д !24 Задачи и дополнительные вопросы я главе 2 откуда следует (см., например, задачу 10), что в~ = (а — ве)з и — с 2 7 2 Время релаксации можно оценить (см. закачу 17) из условия а',1, = (я/2), откуда, заменяя я'/8 на единицу, получаем, что т 1/В. гь $ У.
Стохастическое уравнение движения, корреляционные свойства отклонений, связь с функциями распределения Задача 2В. Определить в шкале времени Ф ~ т (см. гл. д В 1) корреляцию отклонений импульса брауновской частицы от среднего значения сьр(Ф)сьр(1+ гас) (такая корреляционная функция называется аетокорреляционной функцией случайного процесса Ьр(Ф)). Сравнить ее поведение (как функции гааз) с ереиенной корреляцией отклонений гамп(г)Ьп(С+ сьг).
Решение. Согласно в 1 гьЯ)сьЯ+ььг) = / дт! ~ дгг е ' е р(д 12) о о откупе, Учитывая свойства функции р(1~ — гз), сосредоточенной вдоль линии г, = гз, получаем в случае М > 0 сор(Г)гьр(Ф+ сМ) = рз(1)е ", где рг(1) = В(1- зп), а в случае ььс = -1Щ < 0 Сор(т)др(г- !Сои =рз(г-)Ю)е '1 и з,, щ Ь;~„Р Ожсохдч Рис. $7. Зависимость коррелл- чинаьт зависеть от разности временных аргументов только киоиисй Фу""ции «и""у"ьс — по прошествии времени 1 » 1/(2Г), когла процесс отклонеиияульсэ ет разности времен- ния импульса р от срелнего значения полностью становится иых аргументов Ж е сгацио. стационарным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
