Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2д (х — хе)з й — ! — формула Эйнштейна. 7 при ! Ъ!/Г Для не очень больших ! (см. задачу 31) брауновские частицы границ системы не достигают, сами граничные условия в ответы не входят, и брауновское движение имеет характер свободного. 3-й атил, ! Ъ 1/à — вторая грубая шкала времени. В этой шкале случайное блужлание брауновской частицы приобретает характер диффузионного процесса, движение частицы как бы безынерционно, частица не имеет памяти (в механическом смысле) о своей скорости (распределение по скорости — всегда максвелловское). Каждое промежугочное состояние частицы в момент !е фиксируется только координатой х(!е), которую можно посчитать за новое начальное положение хе, из которого начнется тот же, что и раньше, процесс диффузии (временной аргумент сдвинется на !ю 8' = ! — !е) без всякого «воспоминания» о его предыстории. Такие процессы называются марковскими.
Эволюция системы описывается с помощью функции распределения р(1, г), являющейся решением уравнения Фоккера — Планка и определяющей окончательный этап релаксации на макроскопическом времени т„,. Граничные и начальные условия для функции р(г, г) существенно определяют детали этого процесса.
Ряя примеров, когда уравнение Фоккера — Планка решается точно, включен в следующий раздел. Зто известные задачи математической физики. Из дополнительных вопросов отметим несколько задач на вращательное брауновское движение, а также исследование структуры временных корреляционных функций (включая случай не только чисто экспоненциальной, но и периодической релаксации), связи получаемых с помощью стохастического уравнения результатов с фоккер-планковским формализмом и, наконец, несколько задач по учету последействия среды на брауновскую частицу, влияние которого при достаточной его величине и длительности может привести также к колебательным релаксационным процессам, происходящим в системе уже не за счет внешнего поля. Задачи и дополниаельные вопросы $1.
Оценки характерных величин Задача 2. Для брауновской частица размером В ° !О ~ си, находящейся в равновесии со средой типа газа или жидкости при комнатной температуре, оценить среднее время т' между отдельнмии взаимодействиями частиц среды с брауновской частицей, среднее время т взаииодейсгвия частицы средм с брауновской частицей (вреия соударения), время установления для брауновской частицы иаксвелловского распределения по скоросгяи ты и время существования действующей на брауновскую частицу флуктуации давления тр. Равенне.
Число частиц, падающих на 1см' стенки со стороны равновесного классического газа, равно (см. т.2, задачи к гл. 1, З 7) и, = у пи,)~ — ехр ~ — — 31 Не, = —, *'У' 2яй ( ЗР ) е где и = !«г/!г, в е = «/80/~~гп) — средний модуль скорости максаеллоаского газа. Для газа типа во«пуха пг (29/Ке) г, и (!«ге/(22,4 Ю')) см ', где число Авогадро /«г, 6 ° Ю'~, поэтому для температур порядка Р „300 ° 1,38 ° 10 марг получаем, что 0 5 ° 10'см/с и и, 3 ° 10 см 'с '. Полагая, что плотность жидкости на два порядка больше плотности газа, получаем для среднего интервала между соудареннями т'- (тпзщ)-~ - 10 н-Ю н с.
Полагая размер частиц среды 2ге 5 10 з см, для времени отдельного соудлрения получаем оценку 2ге г — 1О с. й Для оценки времени установления максеелловского распределения необходимо знать коэффициент внутреннего трения срелы и. Его можно оценить, исходя нз грубов кинетической формулы г! щ -,' пи«РЛ,„,, где Л„„, щ («/2 гээп) '. Полагая для размера частиц газа 2ге 5 ° Ю 'см, получим прн комнатных температурах лля газа типа воздуха г! 3 ° 1О '. Если учитывать также и жилкис среды, то мы дслжнм считать, что коэффициент вязкости г! 1О '-10 эг/(см с).
Поэтому искомое время дяя брауновской частицы размера В !О см имеет порядок пзв 2нР -н -ц 2 тм= — = — =- — 1О -1О с, Г бя!!г! 9 где Р— плотность вещества бРаУновской частицы, пзь — ее месса. наконец, время существования тсрмодинамичсскоя флуктуации давлении в области, соизмеримой с размером брауновской частицы, т„— 10 -1О с. -з -н г> с„ Задача 2, Оценить средний квадрат случайной силы Р', реально действующей на брауновскую частицу разиерои В 1О 4 си. Сравнить зту величину с дисперсией силы р 2. Нелоглорые сеойопао свободного дешкенил брауноаской чосглицы ' 101 (ЬР)тзд, возникающей в результате термодинамических флуктуаций давления в среде, и с дисперсией (гзР)з „лри оценке которой предполагается, что удары частиц среды о брауновскую происходят как удары об абсолютно упругое тело.
Решение. Используя формулм и оценки предыдущей задачи, имеем согласно рис. 35 (см. лля сравиения гл. 3, $ й) — )Р уа ба а«1 В~ Р = Р(0) = — = — = — Я - 1М вЂ”, 2 т т ие' где и, -', яг«з. Для жилкости (О 1О ') или па ()1 10 ') мм получаем отсюда оценку Р' 1~5 ' 1О -1О днн . Временной масштаб этой силы т 10 ' с мы вычислили в предылущей задаче.
Флуктуации давления (возникающие одновременно с флуктувцнями плотности) в области 1г -',Из, создают «тсрмолннамнческое» случайное возасйсгвне на брауновскую частицу, оценка которого дает — Ви с ( Вр'ь д 2 (4ЬР) г с«(ид ) ~йрД ««)г 21« — — — — 4«1 —. тд— ВиГ Несмотря на то, что «время действия» этой силы относительно велико, порядка тр 1О е-1О 'е с, ее величина по отношению к оцененной выше Р' мала: = 10 ()3~Этд ие Рг и Оценим теперь силу, возникающую вследствие дисперсии энергии частиц окрулающей брауновскую частицу среды, представляющей собой классический мвксвеллоаский газ.
Так как )» 2) «Г гп 1 ти), 2 Р м я11 ~ 2ти ° пи «уг — ехр 11 - — 31 <Ь = к31 ° - псГ, *У2иа 1 2В ) ' 3 е то, учитмвая, что (ЬЬр)' = Зрэ, получаем — 2 з з я В ие г (ЬР)' м — к 21«п Вз = — 32 — —, 3 2 и и' где ие — объем брауновской частицы. Эта величина дисперсии силы относительно велика, ()»Р)з„,„«Р'2 ° 1О', она реализовалась бы с хлрактернмм «периодом» т' Ю"'«-1О 'ес, если бм удары частиц среды о брауноаскую были бы мгновенными и время взаимодействия т Ю ' с не вносило бы в этот процесс естественного сглаживанию $2.
Некоторые свойства свободного движения брауновской частицы Задача 3. Считая, что смещения брауновской частицы и степени этих смещений в последовательные интервалы времени (рнс. 44) независимы, определить зависимость от времени средних от степеней этих смещений для пространсгвенно однородной одномерной системы. Решение. Пусть и(1) — смешение брауновской частицы за время 1. Согласно условию э(1, +гз) = (1))+и(1т) и эт«)«) - )ц) * )») )Ог Задачи и дополнипгельные вопросы я главе Я х(С,) х(Сз) х(гг асс) Рис.
44. Схема расположения временных интервалов и смещений е задаче 3 Твк как у нас направления х не вьщелены, то *(С) =0 и *2»+!(С) =0 и нам остается исследовать только средние от четных степеней смещения. Для квадрата смещения имеем хг(С~ + Сз)»» (х(С~) + х(Сг))з = хз(С,) + хз(С ) Решение этого уравнения (которое легко превратить из функционального в дифференциальное первого порядка) в общем виде представляет линейную по С функцию х'(С) = аС. Это — формуле Эйнштейна (см. б 1).
Далее, х«(С, + ФД»е х«(С,) + бхз(С,) ° х'(Сз) +*4(С,) = а~(й)~+ х«(С,) + ба С С,. Общее решение этого уравнения имеет вид ,4(С) уозСС + ЬС Аналогично можно получить хе(С) = 15а С + 15аЬС +сС и т.д. Отметим, что приведенных в условии залечи предположений недостаточно, чтобы определить ту зависимость эм(С), и > 1, от времени, которая реализуется в случае браунов- ского движения. Действительно, если для хз(С) мы получили основную формулу Эйнштейне, то лля «скоростей» изменения х«(С), з" (С) мы получим константы х«(С) ~ х»(С) ) — = Ь, — = с и т.д., С ~ ' С г-о »-е обращение которых в нули иэ условия независимости смещений брауновской частицы в по- следовательные интервалы времени не следует и должно быть обеспечено дополннтельнымн пзюдположениями.
Задача с). Рассмотрим модель брауновского движения: частица через равные промежутки времени т делает независимые шаги вправо илн влево, равные соответственно жа. Определить вероятность обнаружить частицу через время С (кратное т) на расстоянии х (кратном а) от первоначального положения, среднее значение этого отклонения и его дисперсию. Расснотреть случай )т = Цт Р и = х/а ~ 1.
Решение. Пусть частица сделвлв дг = С/т шагов, иэ ннх и — вправо и (дг — и) — влево. Смещение частицы запишется как х = па — (дг — п)а = (2н — лг)а. р 2. /Гелошорые сводсшап саободноло даижелпл браунолслод чоапицы 103 в котором мы должны положить р = 1/2: К! /1г 1 — 1 Р.(РГ»= ' Н, б=-дг, ~д~р= п1(Дг — и)1 Я 4 Случай Пуассона, когда и = О, 1, 2,...; йг > 1, а и = йГр не растет с ростом дг, у нас не реализуется, так как р = 1/2. В случае же Лапласа и Ъ 1, Ггг > и имеем 1 Г (дп) ) Р„(1т) = ехр ) — ~). , /2 (ь))г 2(гзгг)~ Чтобы пересчитать эту вероятность к переменным я, 1, учтем, что и = х/(2а)+К/2. Обозначая условно Р = а'/(2т), получаем для вероятности отклонения на величину х за время 1 1 Г хг1 Р,(1) = — ехр ~ — — ), г/4яР1 ( 42М ) ' а для дисперсии смешения г г е =о )Ч= — 1=2РГ т — формулу Эйнштейна.
В формальном отношении — зтр те же результаты, которые были получены нами в $2 для свободного брауновского движения прн решении уравнение Фоккегж — Планка (см. также задачу 1О). Однако в данной схеме мы не знаем, что Р— действительно коэффициент диффузии, равный Р = Р/у. Задача Б. Для свободного одномерного брауновского движения частицы, начинающе- гося из начала координат, определить вероятность достижения ею точки х к моменту времени в интервале (1, 1 + д1).
Решение. Чтобы полчершчуть, по какой переменной пишется распределение, а какая является аргументом, несколько видоизменим обозначения плотностей вероятности р. Вероятность обнаружить часпшу в момент времени 1 (фиксироеанный аргумент) в интер- нале (х,я+ дх) обозначим р,(1) ех, где согласно б 3 плотность распрсделенив по координате я (там она обозначалась как р(1, х)) Х(1) г 1 р,(1) = — ехр ~ — — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
