Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В пределе и оо при любом конечном х, все слагаемые правой части последнего выражения кроме первого обращаются в нуль, и мы получаем дня предельной функции распределения зт"(х) нормальное (гауссово) распределение с единичной дисперсией хг 1п й'„(х)~„- —, зт„(х)1„е "Гг, откуда (х.>= (г а)) —,р( —,-(~',) ), Перейдем к безразмерным величинам ец = Сг/г/~'. Сразу заметим, что зто не просто переход к безразмерным переменным, а одновременно и заранее рассчитанное масштабное преобразование, включающее и'~г. Тогда, если фурье-сопряженной к С величиной является д, то для новой переменной в х = 1/п(~~ (реалнзуется.
известное правило С . д = х х). Поэтому " (г4)ьГь " (гх)ь сь !4г,(4) = ~~з — = ~~з †. = = йтг(х). й! Гг! (пД "/г Характеристическую функцию распределения по величине суммы новых переменных и ец представим в виде и-й степени бесконечного степенного ряда 1=! 148 Глава 3. Неаоглорые аолрогм глеорои глучобнык процессов или, переходя к исходным переменным б;, т. е. распределение по сумме большего числа случайных величин представляет собой гауссово распределение, и сформулированная выше предельная теорема является уже просто следствием такого распределения по величине Б„.
В дальнейшем изложении мы не будем использовать неудобную в написании большую букву Е, заменяя ее более удобной, с, предполагая, что по отношению к ней выполнены все условия, оправдывающие гауссовую структуру функции распределения га(С). н ",6~) ункции, то нани ищутся У Л=з га„((н...,~„) =Сехр — — ~ЛДД~ =Секр~ — — чг 6Л;Д и покажем, что Х~ Щ Ля=ба. если мы введем и-компонентный «вектор» с = (с, матрицу йг = !!з'б!! элементами которой являются корреляционные ф рицу Л = !!Ло!! и единичную матрицу з = !!бб!!, санное выше гауссоао распределение и интересуюшее нас его свойство зап так 1 га„(б) = Сехр ~ — -(Л( Пусть имеется линейное преобразование А и обратное ему а, 6 = У АыЪ = У гГьАм ггь = У вью, ~~~ Амаи =бе, а ь у ь или в матричной записи ~=Агг=ггА, д=а~=(а, Аа=з, которое диагонализует квадратичную форму по С, ~Л~ = ВАЛАВ = г1Лг1, где Л = !!Льбм!! — диагональная матрица.
Тогда 2 (ъ,....ъ) с Р( — -~ лъ1 Д ид ь ь причем — 1 4= =, ЧВ<=% %=0, йФ1, Л в) Одно свойство гауссова распределения Рассмотрим, безотносительно к предыдущему, более общий случай нескольких случайных величин (бн..., с,), характеризуемых гауссовым распределением (эти величины не обязательно являются частными значениями какого-то одного процесса С($), а могут относиться к различным физическим характеристикам системы) б4. Гауссовской сну«ейный снэацоонврный наркввской процесс 149 т. е.
матРица 1 = ОЯ~ = 'Озвтэзй диагональна, — 1 1>У = зяззз зэ.йэз = =йсь л; причем в этом диагональном представлении сразу имеем ~А=1. Перейдем к переменным С, учтя, что йг = А1А: йгЛ = йгЛ1 = А1АЛАа = А1Ла = Аа = 1, что и требовалось доказать. г) Зависимость от времени корреляционной функции случайного гауссова стационарного марковского процесса Вернемся к исходной схеме: гэ <гз «" 1»~ 4=6 6~" 4» Если процесс С(1) марковский, то т.е.
отношение мз/гвг не зависит от ~~. Если процесс гауссовый, то это отношение можно записать в виде я>э(Сэ> сг> сз) Сэ ) 1 'с-«р) 1 ч Л1гэ 1 >й ! >,з ! Чтобы зта функция не зависела от ~н необходимо, чтобы коэффициенты Л> > и Лн были одинаковыми для распределений мг и нэз, а коэффициент Лн = О. Распишем полученное в предыдущем пункте условие э Ч~; Я,",."Лзт = йо 1 лля случая ! = 1, з = 1, 2, 3: ЖА~+ЖгЛи+ЖэЛэ~ =1 ЖэЛп + ЖзЛи+ ЖэЛз~ = О, Жэ Лц + ЖгЛи + ЖэЛз| = О. Вообще говоря, это три «уравнения»для величин Лн, Лп и Лоь Но «решение» Лм = О задано заранее. Поэтому нетривиальная воэможность дяя Л~ ~ и Лн существует уже не прн всех йгб.
Сокращение общего числа уравнений до двух возможно в случае совпадения двух последних однородных уравнений. Условие «нетривиальности» их решения по отношению к Лн и Лп (обращение их в нуль невозможно в силу первого уравнения) дает условие, которому должны удовлетворять корреляционные функции: ЖгЖ~ — ЖэЖг = О. 150 Глава 3. Некоторые вопросы теории спучоССиых процессов Для однородного во времени стационарного процесса йг! = Е(С,)((Сз) = У(С, — С;), поэтому имеем У (О)У (Сз — С!) — У (Сз — Сг)У (Сг — С!), С! < Сг < Сз. Решение этого уравнения (оно сводится к дифференциальному, например, при дифференцировании его по Сг, которое можно записать как щ — — сопз! при всех С) вьЯ'в единственно: У(С) = У(О)е "'. Мы выбрали здесь знак в экспоненте так, чтобы при у > О решение для У'(С) соответствовало бы физически осмысленному поведению корреляционной функции случайного процесса, которая должна стремиться к нулю при С вЂ” оо.
Доказанное выше свойство корреляционной функции У(С) стационарного марковского гауссова процесса называют теоремой Дуба (3. 1.. Ооо1з, 1944), а вариант ее доказательства принадлежит Марку Кацу (М. Кас). Сделаем несколько замечаний по поводу вида функции У(С).
Во-первых, результат, который был получен нами для случая С > О (т, е. Сг > С,), естественным образом распространяется на случай С < О (для этого просто надо поменять С! и Сг местами, тогда Сг < С,). Имеем У'(-С) = У'(С) = С)г(113). У(С) Во-вторых, У'(С) как функция, зависяшая от модуля 11/, имеет разрыв производной в точке С = О. Однако полученный результат справедлив только для марковского случайного процесса, а это ! ! свойство процесса возникает во временной шка- ле определенной грубости (см. гл.
2, э!). поэто! му полученное в области точки С = О поведение функции У'(С) является интерполяцией зависи-т О т 1 с мости, справедливой только начиная с некото- у рого С > т, к значению У'(О) (рис. 85). Рис. Вэ, График зависимости коррвля- С другой стороны, из самых обших сообрационной функции йг(С) = 4(С!)4(Сг) женийясно,чтовфункцниС(С!)С(Сг) = У(Сг-С!) От имтЕВввла времени С = Сг — Со разрыву производной просто неоткула взяться. Область -г < с < г преувеличена лля Оценку действительного значения производной наглядности функции У (С) в точке С = О можно произвести, только войдя внутрь т-области.
Полагая С, = О и С, = С, получим, что У'(С) = Я(С). Но при С < т, т.е. в области, в которой допустима только исходная механическая шкала времени, при С вЂ” О смешение с' пропорционально скорости С н временному аргументу этого смешения, поэтому ЗР(С)1, .=Юасй, =~(-СН(ОИ, .=-(аО))' 1, .-О. т. е. график У (С) в точке С = О имеет горизонтальную касательную, как это и изображено на рис. 85.
Заметим, что в э 1 гл. 2 мы, за неимением лучшего, использовали ступенчатую аппроксимацию для функции корреляции !о(С). Вместо этой ступеньки мы могли бы теперь использовать полученную выше зависимость ~р(С) = ьэое !г!Н. Естественно, что зто привело бы нас в грубой шкале С » т к тем же самым результатам, что и напученные с помошью упрошенной модели у(С).
152 Пгава 3. Неноаюрые вопросы гпеории случайных процессов Сопоставляя выписанные выражения, замечаем, что исчезновение зависимости от со в первых из них (т.е. условие стационарностн процесса С(1), который прелставлен в этой формуле фурье-амплитудами б„и ф„) возможно только в случае, когда величина 6,.(„', ец )" пропорциональна Д-функ- йчс) ции 6(ы — ы'). Тогда экспоненту, зависящую от со, можно заменить единицей, и условие стационарно- У(0) сти приобретает вид б с»г =,7(ы) 6(нг — ы'). В качестве примера рассчитаем спектральную плотность гауссового стационарного марковского процесса. Распространяя полученный нами в предылушвм араграфе результат лля У (к) на область рнс ве врононнол корроллцнон- Ф < О, имеем (рис. 80) нпл функцию гауссооп случайного У (Ф) — Яг(0) процесса Вычислим теперь соответствующую этой зависимости спектральную плотность +«« о «» 7( „) у (О) -ГВ+виг 61 ' ( г (г»гч)Ф й1 + -(г-гч)Ф бс 2я,/ — ° У' -«» -«« о беря интегралы, получим йг(О)Г Г' я(ыз+ Гз) 'Т(0) ' ыт+ Га где .Т(0) = —.
У (0) яГ 7(гафик этой функции достаточно характерен (рис. 8?). Заметим, что при увеличении времени корреля- .Т(м) цни 1/Г, т.е. прн à — О, в спектральной плотности ,Т(0) .7(ы) осистая только одна «линия» ы = 0: 7(ог)!г о -' У (0) б(ы). Наоборот, при Г - оо, нли 1/Г - 0 (что физически соответствует переходу к более грубой шка- 0 Г пг ле времени, когда 1 Ъ 1/Г и Дс Ъ 1/Г) спекРнс.
ВТ. Споктрпльнал плотность тРаЛЬНаа ПЛОтНОСтЬ ДЛЯ КОНЕЧНОГО ИитЕРВапа ЧаСтст Гй' сма ":.у~кано"0"пр~ессп Ды = ю а Г пр рашается в конеген у .7(ы) Й,Т(0) (напомним, что 7(ы) — интегрируемая функция и равняться константе во всем интервале частот -оо < ы < +оо в принципе не может). Это так называемый «белый шум». Такое приближение для спектральной плотности,Т(ог) может быть ;Всцользсшано только в том слУчае, когда полоса Рабочих частот Ды»оо, выРезаемаа нли прибором, или какой-либо функцией, стоящей вместе с,Т(ы) под знаком интеграла, уже величины Г, Ды,оо < Г.
Во временном представлении белому шуму соответствует так называемый б-коррелированный случайный процесс У (Ф) = 21г,Т(0) 6(к). э 6. ьмеасенае ва времена случайной велачаны и формула Эйншлсейна ! 53 в б. Смещение во времени случайной величины и формула Эйнштейна Рассмотрим процесс С(1), представляющий случайные отклонения некоторой величины от своего среднего значения. Имеем поэтому С = О. Определим случайную величину, называемую»смещением» С(1) (или «накоплением» С(1)), п(1) = ~ 7(1') й1'. о Пусть Д1) представляет собой стационарный случайный процесс. Запишем для этого случая смешение во времени (или накопление) среднего квадрата величины »7: .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
