Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Сь )ВВ Задачо и дополнопельные вопросе! я алове Э Задача 24. Определить характер зависимости от 1 корреляционной функции У'(1), введенной в предыдущей задаче, для случаев, когда автокорреляционная функция С-процесса определяется формулами Фг(С) и Фз(С). Рещение. В случае 1 = О, когда Ф(1) = 1, мы имеем для любого из вариантов эг (0) = /~ — (з)~ »» (ззз)г, Чтобы определить зависимость корреляционной функции от! при 1 > О, представим распре- деление мз в виле мг(аз* Сг) = мз(сз)мз(сг) ехр ч— 1 ( ((зг+ угг)Фг 28!8гФ ) и разложим два последних сомножителя в ряд по степеням Ф(1) (при 1 «т Ф(1) мапо и выступает как маеый параметр).
Тогда для Х(1) получим ряд, зависимость от времени каждого члена которого определяется соответствующей степенью известной функции Ф: б (1) =~Ф„Ф"(1), «=з где первые коэффициенты Ф„имеют вид ((7)' 1(- ('У~' 1 / — Л~' = Фг = — ~У - = ) ° Фз = = ~ЗУ вЂ” =) ~г ' 2( (э!' 6~г! ««з)" с" с« 'з 1 г'61'У Я'з Ф« = — 7~3 — 6 =+ 2 =~У+ — ~= — =) . 8 ~ »гг (6г)г ~ 24 ~, »гг (8г)з ) Заметим, что если ٠— четная функция, то все Ф,„, = 0 и зависимость 9 (1) от вре- мени определяется только четными степенями Ф(1).
Если же г(-0 = -Я), то Фг« = О, и в разложение Зг(1) войдут только нечетные степени Ф(1). В случае, когда Ф = Фг(1), эз (1) имеет «апериодический» характер как сумма стандартных вкладов, соответствующих долям исходного времени релаксации т (рис. !21), У'(1) = =е '+ — ~~- =) е Р+..., (чз)' -зг ! У- Л~ и = (г ' 2(, 6-г) (0)г 1з( ) ! «г, г -г + (1(т)з 2 ~ 8г / з + (2!т)з На рис. 121 приведены графики экспонент и их фурье-образов, соответствующих первому и второму слагаемым в корреляционной функции и ее спектральной плотности У(ы). Если же Ф принаюзежит к типу Фз(1), то каждый член ряда по степеням Ф добавляет в Зг(1) дополнительную гармонику, кратную резонансной частоте системы: 1 Фз(1) = — е о«+ — е ц'соз(2И+2р), 2 соз гЗз 2 соа ггз 1 Фз(1) = — е "Д~'З(3сзж(И+зг)+сзм(ЗИ+ЗЗг)), 4 соз зр Ф з(С) «« — е "Р + — е ~Р (4 соя (2И + 2р) + соз (4И + аьз)) 8 соз«р 8 соз«р и т.д.
Обращает на себя внимание также и то, что во всех четных степенях Фз(1) проявляются «апериодические» члены типа функции Фг(1) . В спектральной плотностк У(ы) функции 5«(1) иа соответствующем этим апериолическим вкладам общем горбе (иапомним, что если зз(ы) имеет характер 1(ы) в обозначениях задачи 15, то зз(0) = О, и первоначально никакого «горба» в точке и = 0 не было, см.
рис. 120) будут располагаться пики, все более расширяющиеся по мере увеличения кратности соответствующей им резонансной частоты (рис. 122). 189 5 б. Двумерное гауссоео распределение 0 1 2 О С) 212 ю т т Рис; 122. Спектральная ллотность корреляционной функции отклонений зьу(б) от равновесных значений в случае, когда система имеет собственную частоту й Рис. 121. Графики временных зкслонент и их фурье-образов, олределяющих лервые два слагаемых в корреляционной функцмн нг(1) = гьу(с(з))Сьу(2(0)) и сяеятральной ллотноспг,7(ы) Задача 25. Определить корреляционную функцию флуктуационных токов через выпрямитель, обладающий идеальной характеристикой и не имеющий собственного шума.
Решение Будем счмтвть, что выпрямляюший элемент (рис. 123), включенный в цепь внеш- него сопротивления (вариант Ф = Фз(1)), колебательного контура (Ф = Фз(1)) илн в более сложную схему, имеет по отношению к подаваемому на него напряжению б = Е(1) характе- ристику (рнс. 124), соотвстствуюшую бесконечной величине сопротивления обратному току: ~ 1 Гз -б, если б>0, У(1) = Г(б) = О, если б ( О, и сам не участвует в теплоном движении (т. е. случайное ЭДС б(1) = б возникает только на тех участках электрической цепи, котсрые не содержат нелинейного элемента). Положим (-процесс гауссовым с зааанной величиной бт, 1 Г бт\ ю(б) = — ехр СС-=)1. 'С С)' Рис. 124.
Токовая характеристика идеального вылрямляющего элемента Рнс. 123. Схема электрической цели с вылря- мителем н генератором теплового мума ЭДС Зодони и дололнишвльныв вопросы я главе 3 Действие выпрямителя (прн условии Ь'(1) = б = 0 — электрическая цепь замкнута) приводит к лоявгению среднего тока е Воспользовавшись результатамн предьшушей задачи, можно, вычислив с помошью ю(() средние, сразу записать ж коррелашюнную функцию токов Зг(1) = гзу(1) гЬУ(0) = Т ( - й(1) + — Ф(1) +...), 12 2я где Р м я(У)э = Я(221~).
Характер полученной дла У'(1) зависимости от 1 обсужаен в прелылушей задаче. Зэот результат легко получить и не прибегая к ссылке на задачу 24. Имеем ! ~/Р:РГГ Т(1)2(О) =— У 2 / / / / 46 412 ехр [ — — 6 ) ехр ~ — — бэ)Яэ ехр(Ьбю(э) = е е Интегралы все берутся точно, и мы, подставив выражения о и Ь через бэ и Ф(1), получаем — (э э „" П"(н!)э,„(! З 1 ... (2п-!))э и э„+, Т(1)Т(О)= (! й (1))1 ~ ~~ — 'й (1)+ ' "' - а"'(1)) = 2хггэ (2п)! (2п+ !)! 2 — ~!+-й(1)+-а (1)+О й (1)+ — й (1)+ ...), Е 1 и ! э э ! 4 2 2!э~ 2 24 что, конечно, повторяет выписанный выше ответ.
Отметим, что если ограничиться выписаннымн членамн н слелаь переход 1 -+ 0 (Ф(1) - !), то вместо требуемой единицы получим — /! ! ! ! Т(1)1(0) ~ й Р ~ — + - + — + — ) м Р ° 0,99 .... ~я 2 2а 24я~ Рис. 126. Токовая характеристика детек- тора, обладающего разными сопротивле- ниями ярм лрохождеммм через мего тока а лротмеояоложмнх малраеаеимях Рис. 125. Зхеиаалемт- мая схема включения детектора в разомкну- тую цепь Поставленная залача формально решена.
Отметим теперь, что рассмотренный в ней выпрямляюший элемент — это, по су!пес!ау электрический вариант демона Максвелла. В нарисованной выше электрической цепи б(1) = О, но создается постоянный ток Ц1) Ф О, 8 б, Двумерное ютуссава распределение гзля идеального выпрямителя К вЂ” са). Величины 12» могут включать помимо переменнога внутреннего сопротивления детектора также и внешнее сопротивление, 11« = К+г,, К =12+с . Рис. 127. Эквивалентные электричес- кие схемы дпя прохождения тока через цепь, включающую детектор а пряном и обратнон напрвеленнях Так как в состоянии термодииамического равновесия з системе должны отсутствовать потоки любого типа, го мы имеем исходное условие 1,=Х. Отметим, что благаааря простоте модели детектора для каждого из направлений мы имеем зело с линейной электрической цепью (см.
рис. 127) (беэ этого обстоятельства мы просто «е смогли бы продолгкить наше рассмотрение), для которой в квазистапиоиарной области !,(1) = Еь(1)/12е, и мы получаем Е = — Е =КЕ, 22» .ге срелнее Е„берется только по значениям Е(1) > О, а среднее Š— только по Е(1) < О, чо так как фигурирующие у нас средние по Е > 0 (то же для средних по обяасти Е < 0) при .зыом естественном выборе функции распределения ы(с) «» г ) / ! г г е= / — ехр 1 — =)(~ц'=11 —, или сг = 2я(с), о 2яЕ ! -) =7 2(г) У 2«т -г мы получаем связь ширин функций распределения по Е«и по Е (см. Рис. 128) Ег КгЕг Для тока же дисперсия Хг = О/Х не зависит от ХХ вообще, и распределение по 1«и 1 ччметрично, что полностью согласуется с исходным термодянамическим условием 1« = 1, Х,ен «» О. в «разомкнутом» варианте 1(1) = 0 (рис.
125), но смещается рабочая точка Е(1) = ХХс ~ О. В обоих случаях получается источник тока илн постоянной ЭДС, работающий за счет энергии тепловых флуктуаций (т. е. за счет энергии только одного термастата) — вечный двигатель второго рола, существование которого для термалииамических систем запрещено вторым началом термодинамики.
Но выключенных из теплового движения (как бы вымороженных до Р = 0) элементов термадинамических систем на самом деле не бывает. Поэтому их использование в общем статистическом рассмотрении требует известной осторожности, так как такие системы в целом термолинамическими уже ие являются и лля них могут быть получены такие результаты, которые с точки зрения традипиониого термодиивмического рассмотрения выглядят парадоксальными, Выпрямаяющий элемент тоже флухтуирует. Не вдаваясь в микроскопическое рассмотрение этих флуктуаций (это потребовало бы конкретизации его устройапю), рассмотрим этот вопрос, исхоля из общих требований, которым подчинены все термодинамические системы, включая и наш детектор. Рассмотрим замкнутую электрическую цепь„иахалящуюся в термостате в равновесном состоянии.
Будем отсчитывать токи 1(1) и ЭДС Е(1) от нуля отдельно в прямом и в обратном направлениях, снабжая соответствующие величины индексом + или— 1см. Рис, 126). По предположению 192 Еадачн и дополнительные вопроси к главе 3 Несмотря па то, что ллв нелинейного стохастичсского уравнения спектральную теорию в обшем случае развить невозможно, в нашем частном случае, когда системы линейны порознь по отношению к Е~ и Е, можно воспользоваться (скорее для качественной иллюстрации) некоторыми моментами спектральной теории. Напомним, что лхя обычного сопротивления ВВ Е' = ВВГ = Е(0)кГ, Е(0) = —, 2ВЕ ш„(Е) Ез~ = 2,7(0)Ези = — Ели, ам к Если воспользоваться зтпми свппошеииями отдельно лля Е, и Е и учесть полученные выше масштабные ш (Е) соотиошеиия пх средних, то сразу получим соотношения К2 максимумов и ширин соотвстсгвуюших спектральных плотностей (см.
рис. ) 29): ,7 (0) =КЕе(0), Г = КГь. Е О Г'.2уо Е, '~+г Для формул Найквисга в полосах гзи < Ге и Гзи < Г Рис.126. Плотность распределение полтчасм вероятности токов через детектор — ззи — ! а прямом и обратном иалраалеяи- Ц =2ВВ,—, Е ' =«ЕЦ ях к ллатмосзь распределения величины ЭДС теплового пума детектора Таким образом, тепловой шум ЭДС реального детекторе, длл случал К = В /Вь = 2 иахоляшегося в равновесии со средой (и, естественно, лишенного притока энергии извив), должен характери- зоваться такой интенсивностью Е(и), максимум которой для обратной ЭДС в К = В /В+ раз выше и полоса ее а К раз шкре, чем соответстауюшие величины, характеризуюшие тепловой шум Е,(Г) (лиспсрсия же шума обратного ЭДС в К' раз превышает Е„'.).
ш Рис. 129. Саеюральные лестности пума ЗДС детектора в арамом и обратнои направлениях в случае К=В /В.,=2 0 Г, Г аз Задача 26. Получить выражение длл корреляционной функции токов Вг'(1) = ЕзЕ(1)ЕзЕ(0), проходящих через модельный детектор, заданный с помощью характеристики (рис. 130) Е(Е) (ей В (Е +Е )ехС Е где 4 = Е(1), Ес — нулевой ток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
