Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 41
Текст из файла (страница 41)
-Ез — максимальный обратный ток, если детектор включен в цепь типа колебательного контура, когда Е(ФД(0) = озфз(С). Выделить в Я(1) чисто апериодическую часть. решеное. Рабочая часть характеристики выглядит вполне реалистично в полосе ф, в которой собственно и работает детектор. Формальное достоииство модели в том, что ллл иее 193 5 6.
Двумерное гоуссово распределение расчеты временных корреляций производятся точно. С ло- мошью выписанных во вступлении к разлелу интегралов имеем для среднего тока Гм В!1 Г 221 2 = А ехр (нб) — В = А ехр [ — ) — В и корреляции Х(!)Т(0) = А' ехр (мзгз(1+ Ф)) — 2АВ схр ~ - Тз) + В', (2 откуда следует ответ йг(1) = А' ехр (Щ ( ехр Тн'бгФ(!)) — 1). Чтобы выделить апериодическую часть в У'(!), придется разложить эту функцию в ряд по степеням Ф(!): Рис.130.
Токовая характеристика модельного детектора бг(!) = Агехр(нЩ ~ — (н'Сз) Ф"(!). О ! Апериодические члены содержатся только в членах й = 2п. Действительно, обозначая й!+ !О = *, имеем в соответствии с формулой Эйлера и формулой бинома Ньютона ( ) (!) -2/!2«) сг'з (Т)! + 'Р) соз гр Х т ! 2 и 1 О22 + (н(т) 2 Рис.131. Сравнительные графики автокоррелационной функции Ф(!), корреляционной функции йг(2) и выделенной из нее алериодической части 2» ! сш х«а — (е +е ) 1, М М 2» 1 Ч-» (2П). !«и МО» „«! е е 22» 22» 2.«(2п — нз)!ш! ««О В этой сумме только слагаемое с гп = и соответствует апериодическому члену, так как не содержит х: 2» (2п)! (осе *)иа = —. «»«О 22»(п!)2 ' В связи с этим, вспоминая, что в нашем случае получаем (см.
рис. 131) — 1 (!) Этот ряд суммируется (приятное, хотя и случайное обстоя- тельство): , 2 ( ) — 2»(З) а Π— модифицированная функция Бессела нулевого порядка. В связи с этим можно записать 2 „гт~ ( изез О!21) ] Соотвстствуюшая этой части У (!) спектральная интенсив- ность вследствие 194 Задачи и дополниглельные вопросы я гладе 3 имеет вид ряда , ~2совзуг~ (и1)з ят ьз+(иут)з Она определяет в Х(м) тот обший горб, на который наложится гребенка максимумов от оставшихся в эт(1) членов, зависящих ат времени по типу чгз(1), т.с.
содержащих е "Цгзп сох (lа(Г11+и)), где! щ й < и, и = 1,2,... (рис.!32). Рис.132. Графики аяериодической части в спектральной плотности и серии резонаисинх максимумов от периодических членов в функции У'(1) О ь220 Задача 27, Пусть некоторый регулярный сигнал ус(1) = Ассов(йс1), пройдя через среду, в которой существуют флуктуации, достигает прибора а аиде Г(1) = А соя(йо1+ уза+ б(1)), где б(1) — случайный стационарный процесс, для которого заданы дисперсия бз и автокорреляционная функция чг(1), такие, что ф < я, т Ъ 2я1йс (т. е. случайная часть сдаига фазы Д1) ° 3ф существенно не изменяет формы проходящего сигнала и время корреляции б-процесса т значительно больше периода регулярных колебаний Те = 2я/йе).
Определить среднюю по большому интервалу О < 1е < Т корреляцию 1'(Щ+1)) ~(б(1е)) и ее спектральные свойства. Решение. Остановимся прежде ассго на новой дяя нас процедуре — усреднение по аргументу 1з. Если по 1е Функция периодична, то экспериментатор снимает показания и определяет среднее за период Тз или за время, кратное периоду, или зз очень большое время Т Ъ Т, (тогда аообшс не нужно задумываться, каким периодом обладает усреднясмая функция Р(1з)): ты 1 Т'= — У Г(1,) Дгм Т/ -тГз Мы сохраним при изложении данной задачи это несколько архаичное определение, хотя могли бы в духе используемой нами с-процедурм определить г='-, ~ (.).-" .~ 1 а,>о Это позволит несколько по-иному палойти к той спектральной технике, которую мы формально лэсли в б 5 гл. 3.
От этой операции усреднения нам понадобится очень немного: г= ц рь о, ° ю,+ч- ° Отметим особо, что функция Р может зависеть не только от 1ю но и от фиксированных интсрмлов 1з — 1, = 1, зависимость от которыя после усреднения по 1с ссхранястся. В связи с этим заметим сше, что ао всех ранее рассматриваемых задачах функцзгя двух временных аргументов Р(зп сз) = Р(1э, 1з + 1) с течением времени релаксироаала к функции, зависяшсй только от сз — зг = 1, арсменной жс аргумент 1з характеризовал процесс этой релаксации 5 6.
Двумерное геустово распределение 195 к стационарному случайному процессу. В превлагвемой задаче Фе — а<иумснт регулярного (псрнсцического, задаваемого извне) процесса, а исчезновение зависимости от ге связано со способом «измерения» интересующих нас величин. Рассмотрим теперь временную корреляцию У(бг) У(б<). Усрцаняя по распределению мг(б<, бг), полагая ради упрощения А = 1 и учитывая, что 1 с<па ° с<жР»» - Ке(е«' Ю+ с«'»Ю), 2 получим У(((гг)) У(((г<)) = Ке ) е о»~(ея<г-<и) + с< <о»ч»»»<е п»~(е<<«"«<<1)), 2 Усреднение по<» — — 1, обратит в нудь второе слагаемое, и мы получим согласно приведенному во введении к этому разаелу значению оставшегося среднего !«<Ф=г<г<»~»<<<<<»<<--«' ~<«"'-"<=-.
<««<' '" ""'. 2 2 Выделяя в этой формуле чисто гармоническую зависимость, получаем 1 г бг(1) = — е < соз(йег)+ <<г«(1), »<к»(1) = - с < соз(йе() ° (е< т<'1 — 1). 2 2 Второе слагаемое в Я (1), график которого представлен на рнс. 133, имеет ярко вьцаженный корреляционный характер: зависимость множителя (е< е<о — 1) от 1 нами уже изучена в предыдущей задаче (в связи с совершенно другой физической проблемой), он фактически отличен от нуля в интервале 0 « 1) < т/2. Но экспериментатор непосредственно 9г(1) как функцию времени не измеряет.
Зато он может произвести спектральный анализ поступающего сигнала. Определим в связи с этим фурье-образ функции У(1) как (см. гл.З, 59) т<г У(ы,Т) = — 1 е У(1) "1 2я,/ -т<г сохраняя Т большим, но конечным на случай, если функция У(1) недостаточно быстро убывает при ф ~ со (мы могли бы, не стараясь сохранить принятый нами несколько «старинный» стиль, ввести с-процедуру и сразу положить Т = со). Однако экспериментатор фиксирует или измеряет пе амплитуду У(и), а среднюю по интервалу Т энергию, связанную с поглощением в «спектрометре» отдельной гармоники поступающего снгнела, энергия же пропорциональна квадрату амплитуды У(ы). Таким образом, с точностью до коэффициента, зависящего ат устройства прибора и т.д., измеряемая величина имеет внд (множитель 2» сохранен двя удобства) Рис. 133.
Зависимость корреляционной части корреляции сигналов У(1»+1) У(1) от времени < гд У("') = 1'ш — 1У(~, т) Р = — — 11 дг, дг, У(((1,)) У(г(1,))ем< -<и т»Т ' Т 2яуу -шг Стоящее под интегралам среднее после подстановки значений е«ц бг и с«<г«<гг, приведенных во введении, приобретет вид Щ) У(1, ) = — с<ж (йе<) ° с « ' м'>~ -ь — сох (20»ге+ 2<ге + й»1)е < «+~<'11, 2 2 196 Задачи и дополнишельные вопросы х гдове 3 операция усреднения по 1« (это интегрвя по 1~ = 1а) обратит второе слагаемое в нуль, первое же слагаемое никак не изменит. Поэтому, переходя к Т со, получаем «Х «Ф 7(ы) = — 7 бее~ ° — соз(пас) е гп еш! = — 7 гйе~5г'(!), 2я/ 2 2я,7 Ф ОО это в точности то же самое, что в 4 5 гл.
3 мы называли спектральной плотностью корреляционнойиой функции лг(!). Как мы видели, она измеряется (если не считаться с экспериментальными трудностями) на «спектромегре», и, уже используя полученную функцию 7(ы) как фурье- образ, можно построить саму корредяцмонную функцию гзг(!) (именно в таком смысле и говорят, что корреляционнуЮ функцию можно измерить на эксперименте). Обсудим полученные результатм. Обозначим фурье-образ бинома, содержашего Ф(!), (ее 1! — !)»-« .7(ы).
Выражение лля 7(ы) мы довольно подробно исследовали в задаче 26. Учтем, что соз(йа!) = -(енш+ е '"ы) 2 и что — д! еш' = б(й). 2я 7 «« Тогда получаем 7(ы)»» — е 16(и — Па)+,7(ы — йа)) + - е (В(ы+ П«)+ 7(и+ йа)). 1 р 1 )т 4 4 Ввиду симметрии этой функции относительно ы = О иам достаточно рассматривать область ы ) О. Если Ф(!) = Фз(1) = е Н', т.е. шум снстемм представляет собой настояший гауссовый марковский стационарный процесс, то функция 7(м - й,) — это разммтое распределение (см. задачу 26) около точки ы = йе с шириной ьи я/г, а в точке ы = йе — в-образный пик, соответствующий прошедшим через систему волнам (рис. !34).
Рис. 134. Вяд спектральной плотности корреляционной функции ионохромагмчесхой волны после прохождения ее через среду, тепловой юум которой предпаваяет собой гауссовый процесс Рнс. 135. Внд спектральной плотности корреляционной функции монохроматмчесхого сигнала после его прохождения через флухтунруюцую среду, нмеюе!Ую одну собственную частоту ыа Картина качественно меняется, если система имеет хотя бы одну собственную часюту (природа собственного колебания нам не так уж важна при обшем рассмотрении), когда Ф(!) = Фз(!) имеет структуру «затухаюших колебаний».
Тогда на фоне размытия, соответствуюшего апериолическим членам 7(ы — Па) (см. зааачу 26), будут располагаться симметрично относительно ы = йа ряд максимумов на частотах Пе мы«, й» ж 2ыа, и т, д., соотвстствуюших сателлитам основного релеевского пика (рис.! 35). Чтобы все время не ссылаться на результаты завачи 26, выпишем слагаемые, соотеетствуюшие только двум парам сателлитов и первый В 6.
Двумерное еоуссово распределение (97 вклад апериодичсского типа. Сначала уточним обозначения фурье-образа функции Фг(!) (см. рис. 120): г ! и Фг(!) ° 7э(и! ив т) = яг (иг иг)г +(и7г)г ' Тогда еГ ггч ! 7гФз(!) + (гг) Фз(!) + ° 2 ц1„1 соэ(йг+ р) 1, г гг соз2(й!+ Р) Ы') -гг. откуда ,7(и) = бг,7»(и ! и«т) + -(бг) . †.7г (и ) 2и», -) +... + — ° 1 — г соз 2у (бг)г 1/(ят) г+" 4 сгм гр 2 4 иг .1.
(17'т) В функции Х(и — й«) эти первые члены разложения описывают по два пика на частотах и = йе ж и, и и = йе ж 2ие, и «апериодическое» размытие центрального пика, по характеру эквивалентное гвуссовому размытию, когда Ф = Фг(!). Полученнмй нами характер изменения спектрального состава монохроматического сигнала при его прохождении через среду есть не что иное, как комбинационное рассеяние. Теоретически это явление было предсказано австрийским физиком Адольфом Смекалом (А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
