Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 18

Термин «крупные частицы» в данном случае означает, что частицы макроскопическн наблюдаемы (например, в микроскоп), т.е. минимальный размер их порядка Л ° 10 4 см (напомним, что для зеленого света Л ° 5 ! Оз А = 0,5 10 «см). Этот размер и с молекулярной точки зрения является большим, так, например, для воздуха при нормальных условиях среднее расстояние между частицами (Це/№)'~з й 3,3 1О " см (что соответствует его плотности р»»»» 1,29 1О з г/см ), а для среды типа жидкости это расстояние еше на порядок меньше. Сами брауновские частицы (например, размельченные в ступке частицы китайской туши) могут быть самой различной формы, среда, в которой они находятся— тоже самой разной н даже неоднородной, так что вопрос об определении повеления какой-либо определенной частицы в этих условиях представляется довольно сложным делом.

Задача нашей теории — установить обшие закономерности поведения большого числа брауновских частиц (так сказать, их «облака») в данной среде, не чувствительные к отдельным их индивидуальным особенностям. Так как, по традиции начиная с механических представлений об этом движении, мы в конце концов перейдем к вероятностному их описанию„то это дает нам право отказаться в нашем исследовании от многих частностей с самого начала. В предстоящем рассмотрении мы используем следующие (не всегда, впрочем, обязательные) упрошакнцие положения. 1. Рассматривая «облако» брауновских частиц, мы полагаем, что они образуют достаточно разреженный «газ» из частиц, всегда разделенных частицами низкомолекулярной среды, так что отдельные брауновские частицы непосредственно лруг с другом не взаимодействуют (фактическая реализация идеальной системы: идеальный классический газ из брауновских частиц в термостате — однородной системе из более легких частиц).

82 Глава 2. броуновское даогленое 2. Так как движение каждой из частиц осуществляется независимо от других, мы вправе рассматривать особенности движения какой-либо одной из них, а затем, перейдя к вероятностному описанию этого движения, распространить выявленные закономерности на всю совокупность брауновских частиц, рассматривая ее как уже «размазанное» непрерывное «облако» подобных же частиц. 3. Будем считать, что окружающая брауновские частицы среда представляет собой равновесную пространственно однородную систему с заданной температурой и всеми другими необходимыми для рассмотрения заданными параметрами (плотность, вязкость и т.д.). 4. В облаке брауновских частиц не найти даже двух одинаковых по форме.

«Усреднение» по геометрическим параметрам всех этих уродливых многогранников, плавающих в пространственно однородной и изотропной среде, естественно приводит нас к сферической их форме, характеризуемой только одним параметром— величиной эффективного радиуса В. о о о о Рнс. 31. Выделение из общей равнодействующей гг сил взаимодействие частиц среды с брауноаской частицей силы гг«, лрнложеииой к центру инерции О, и вращательного момента снл 5. Рассматриваемая теперь уже в среднем сферическая крупная (11 1О 4 см > ыУФц7Уо - 1О т см) частица (см. рис. 31) двигается в среде не в результате столкновений с отдельными частицами среды, отскакивая от них наполобие биллиардного шара (как это прелставлялось первоначально), а в результате непрекращающегося взаимодействия сразу с большим числом молекул среды, так что никакого «свободного» пробега у брауиовских частиц нет.

Под действием возникающей в результате множественных столкновений с частицами среды общей равнодействукнцей силы, флуктуирующей как по величине, так и по направлению и по точке приложения, брауновская частица вынужденно совершает два типа «случайных блужданий»: а) флуктуации обшей величины и направления равнодействующей силы — к трансляционному брауновскому движению; б) флуктуации момента равнодействующей силы — к вращательному брауновскому движению. В смысле математического описания эти процессы во многом эквивалентны. Однако мы ограничимся в основном тексте рассмотрением только первого типа брауновского движения как наиболее простого в изложении. 83 э 1. Харахглер двежеяяя браунпвсхоО чаолицы $1.

Характер движения брауновской частицы Рассмотрим равновесную пространственно однородную систему (потенциал внешней силы «Г(г) = 0) и в ней — одну брауновскую частицу. '1ак как в этом случае направления х, у, а совершенно эквивалентны и движения вдоль них независимы, то, не уменьшая общности рассмотрения, исследуем брауновское движение только в направлении осн я (одномерное брауновское движение). Выделим из силы У, действующей на брауновскую частицу, ту ее часть У', которая существовала бы в отсутствие флуктуаций возлействия среды на частицу.

Эта «регулярная» часть силы У представляет собой не что иное, как силу вязкого трения, а так как мы считаем, что соответствующими решениями задач гидродинамики о движении частицы заданной формы и массы в заданной вязкой среде мы располагаем, то эта сила нам просто известна. Фактор формы частицы скажется лишь в коэффициенте при скорости ее безвихревого движения 7 = глГ. В частности, для сферических частиц радиуса  — это известная задача о стоксовском движении шарика в вязкой среде. Ее решение (13.

81о8ез, 1851) дает 7 У"= — те=-ГР, 7=бкВО, Г= —, гп гле»1 — коэфФициент вязкости среды, и» вЂ” масса частицы, е и р — ее скорость и импульс. В иных случаях (другая форма, размер и пр.) вместо формулы Стокса лля 7 будет что-то другое, но лля нашего рассмотрения это уже не будет столь важным. Выделив «регулярную» часть силового воздействия на брауновскую частицу, мы можем записать «точное», т.е. соответствующее механике Ньютона, уравнение ее движения в виде р+Гр=к(1), р(О) =р,. Это уравнение, про правую часть которого пока известно только то, что там стоит случайная часть силы Р(1) = У'- У, действующей на брауновскую частицу (в среднем зто случайное воздействие равно нулю), обычно называют уравнением Ланжевена (Р Еапде«1п, 1908; напомним, кстати, что «Начала» Ньютона вышли в 1687 году) или «стохастическим» дифференциальным уравнением. Запишем его формальное решение р= ров + е "О Ь1Р(11)й1 о и рассмотрим структуру зависимости от $ функции Р(1).

Взаимодействие браунов- ской частицы размером Л 10 «см со средой типа жидкости нли газа (см. задачу 1) характеризуется следующими временными интервалами: — время соударения частицы с частицей среды т 1О н с, — время «между» отдельнымн взаимодействиями т' 1О 'ь-10 " с, — время исчезновения информации о начальном состоянии тм и 1/Г 1О ьз с. Лри сравнении величин этих масштабных интервалов обращают на себя внимание характерные соотношения т' < т и т < 1/Г. Функция Р(1) условно изображена на рис. 32 а как сумма х-составляющйх от каждого отдельного силового воздействия на брауновскую частицу (со средним временем столкновения порядка т), на рис. 32 б представлена сумма этих вкладов, дрожания которой характеризуются временным масштабом ° г'.

Пгава 2. Браунсвслое движение в4 Рмс.ЗЗ. Взаимоотношение характер- ных временных масатабов г', т,!/Г н границы грубой жкалы времени Г ЬР=Р— Р= е ~О ")Р(сг)4Гг, р= рое о Рассмотрим теперь среднее квадратичное отклонение (сгр)т =ф — р)з = / гй1 / егзе О ')е О гйР(Ф~)Р(Гз). о о Согласно сказанному выше йт Т Р(тг)Р(Г,)~у г „=Р(Гз).Р(сз) =О, поэтому подынтегральная функция отлична от нуля только в узкой полосе (ширины т вдоль диагонали Фр —— Гз (рис, 34)).

Далее, так как в нашей системе моменты времени Г, и тз ничем не выделены (так называемый стационарный или однородный во времени случайный процесс), то мы будем считать, что при !Ф~ — тз~ < т среднее Р(Ф~)Р()з) зависит не отдельно от $, и сз, а только от их разности, Рис. ЗФ. Область, в которой лодынтегральнал функция в выражении для (сьр)т отлична от нуля Р(Г1)Р(Гз) = уз(йг — Гз).

Функция корреляции р(тг — тз) силы Р(т) нам заранее не известна. Известно только, что она конечна и со- Р(с) а) Р(т) б) Введем теперь более грубую шкалу времени (см. рис. 33) та! ! кую, которая «смажет эту порядка т' структуру «случайной» функции Р(т): усредним все рассматриваемые нами величины по некоторому малому интервалу Ьт щ.

т, но достаточно большому по сравнению с временем т, Рис.зй. представление равнодействующей силы щ) ьг л т, т.е. по интервалу, знал виде суммы сил, действующих на брауновскую частицу чительно превышающему тот инсо стороны частиц среды тервая времени, на котором зна- чения Р(т) могут считаться каким-то образом коррелированными друг с другом (например, через взаимодействие с какой-либо одной частицей среды, длящееся время т). Таким образом, сила Р(т), являющаяся изначально строго детерминированной как всякая механическая величина, в грубой шкале т приобретает характер случайной величины не только потому, что ее значение в этой шкале равно нулю, но главным образом вслелствие обращения в нуль временной корреляции ее значений Р(Г)Р(Г + Ьс), если различие временных аргументов з."ьт таково, оно может быть зафиксировано по этой грубой шкале (т.

е. Ы л т). Учитывая, что Р(Г,) = О, введем отклонение величины импульса р от его значения по грубой шкале р как б 1. Хорсквер дапжения броуноасяод чпсптицы 85 средоточена в области вблизи 1, — 1з = О. Аппроксимируем ее пока самым грубым образом: р 1 -р при ~1'~ < т, р(1') = О при 11'! > т, т. е. заменим некоторую плавную функцию р(р) (рис. 35) прямоугольником, ограничивающим над осью р ту же плошадь, что и кривая р(р). Рпс.