Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 12

12. Распределение Пуассона в„/в« в случае В в 2 2 -2 в„ж — е и! -1 во=с —; в, =2в«и т.ш 9' Рис. 12 показывает, что ошибка в определении плотности числа брауновских частиц с помошью «точнопз» прибора может быть значительной. Задача 2. Идеальный равновесный пространственно однородный классический газ из 1т частиц находится в объеме У (рис.11). Найти абсолютную и относительную флуктуации числа частиц в некоторой части сосуда У~ (У1 ( У).

Решение. Ваелем вспомогательную функцию 1, если г; попэлаетв Уп О, если г, вне Уп "- ==(: Рис. 13. Схема сис- темы. Рассматривае- мой в задаче 2 Тогда число частиц. находяшихся в объеме Уп можно записать в внле /ь шш» (нормировка и значения для и и (гэп)з, имеюшис, естественно, тс же значения, что и в обшсм случае, проверяются непосредственно), которое называют распределением Пуассона. й 1. Биномиольное распределение в глеории флулглуоций Так квк /; ие зависит от номера частиц, то Л =лгун щгкл 1,0 0,5 Задача З.

В условиях предыдущей задачи определить вероятность обнаружить Ф, частиц в объеме Ъ! и с помощью этой функции распределения, получить результаты задачи 1. Исследовать выражения для вероятности в предельных случаях )!Г, < )т и 1 <)у! ~)у. Решение. Так как частицы системы некоррелированы, то вероятность попалания для кажлой из них в область $'„равна р = З",/К.

Искомое распределение является бииомиельиым !и = ДГ,; р = 1~/т), в частных случаях — распределением Пуассона и Гаусса. В послелием СЛуЧаЕ В ПрЕдЕЛЕ У -т СО, П = йГ/Гт = СОПЫ МОЖНО ПОЛОжИтЬ 1-р й 1, П тОГда 1 1 (дг у)т) мл, -- — ехрт( — )З, (Ьйг,) =йг, =пти ,/2 дг, '( 2дг, Задача 4. В большом сосуде, содержащем классический идеальный газ с заданной плотностью и = 1/и = )т/т выделены две одинаковые сферические области радиуса 22, центры которых расположены на расстоянии и друг от друга (си.

рис. 15), Определить зависимость от т величины корреляции ЬК~ЬДГз, где Лг! и /тГз — число частиц в каждой из этих сфер. Решение. Так как корреляционный эффект связан только с областью пересечения лвух сФер, имеющей объем т'(т), то, воспользовавшись решением задачи 2. в котором надо положить К = !!т(т), сразу пслучвем ДДГ,ДйГ = (ДРГР)т = -7(т), е Зля пространственно однородной системы дг, = пИ, где плотность числа частиц п=йг/Тт. Поэтому /;=К/Гт. Лзлес учитывая что частицы иекоррелированы друг с другом, т.с.

/г/1 = /г ° /; при т та у, и что /1 = /г, чы получим для О ( К < т' выражения для дисперсии и относительной флуктуации числа частиц, попадающих в объем $;, — И/ К~ (ддг,)т = дг— б, — у'(! ) / !)жфики этих Функций изображены на рис. 14. Если К = ! см', то лля флуктуаций плотности числя частиц п илсалыюго газа при Гт — со получаем — 1/ 1~ 1 (Ьи)' = - ~! - — ) сх —, въ т/ е' ъ цт б„м т/в 1- -) М т/в.

1)— 0 0,5 1 Г~/Гт Рис. 14. Графики зависимостей относительной дисаерсии (ЬКД~/йг и флуктуации бл, ° 1Уцз числа частиц Дг, ст размера обласщ Ри в которую они попадают 46 Задачи и дололнигаельные вопросы и главе 2 О 2Л вЂ” ! О ! ДН/В Рис. 15. Зависимость корреляции чи- сел частиц, попадающих внутрь сфери- ческих областей 1 и 2, от расстояния между их центрами где объем сФерической линзы, образующейся в результате пересечения сфер, рассчитываемый с помощью стандартных математических приемов, равен 2 У(г) = -к(22 — -) ~2Н+ - /.

!)зафик зависимости Ь1У, гззтгз от г приведен на рис. 15. Задача б. Для систем !!т не взаимодействующих друг с другои частиц со спинам 1/з, обладающих магнитным моментом )З = еД/(2тс) (магнетон Бора), определить распРеделение веРоЯтности того, что система имеет намагниченность М = (Дгь — 2т' ))З, где Дгь и ззг — числа свинов в «пряиоив и «обратном» направлениях. Рассчитать среднее значение, дисперсию и относительную флуктуацию величины М. Рассмотреть предельный случай !!г+ — Ф к № решение.

Лля отдельного магнитного момента, обозначая Ь = !ЗН/В, где Н вЂ” внешнее магннпюе поле, имеем в соответствии с больцмановским распределением е" е" р =р= ' р-=! р= 2с1тд' 2«11Ь В случае Л = О (поле выключено) р = 1-р м '/з. Так квк намагннчение системы М м )З(2дг~ -Ф) выражается через !у~, то распределение Бернулли и соответствующие средние лля гтг, /1Г~ ДП Езгзл Н) и+(1;н-н, л;1(~ч-л;)1р ( р' лгдл/-лг,)! (2.йд)»' (гьдг )'=Фр(1-р) / ! ~ дг Рис. 16. Зависимость намагничения М и дис- персии магнитного номента системы невзаи- модействующих спннов от еепнчнны внешнего поля и темперазуры в 1.

Бономопльное распределение в шеорио флуншуацоо пересчитываются с помощью подстановки Ьг М л( ш — + —, 2 213 В частности, получаем (рис. 16) м = )удг(гр — !) = (у/у гь —, /1Н е Озлг ((ЬМ) з = 413 ЛГР (! — р) = сь— 2 9 Предельный случай Пуассона с физической точки зрения соответствует упорядоченному состоянию системы, на фоне которого имеется некоторое число обратных по отношению к направлению общего упорядочения спиноз.

Этот слу(ай реализуется при очень сильных магнитных полях (Ь - ао). В случае слабых полей н не очень низких температур (Ь и. 1, реалистический случай), когла р (/и зта возможность не реализуется вследствие требования отсутствия роста величины Ьг, = Ьгр с ростом Лг. Случай Лапласа приводит к распределению Гаусса величины М около срелнего значения М: 1 (М - М)' ю(М) = ехр ,(г ~р(.(((( — ~( ( 2((г' (р((-~(( 2 — (-"" —.) .- — ехр сЬ— 2ядг/зг ь 21т')уз 9 (мы учли, что (ГК, = (ГМ/(2)3)).

В случае Ь = О соответствующие результаты имеют вил ~п Ь(.1(1У вЂ” Ьг,)! 1,2,/ Ьг Ьг (д хг )з Ьг М вЂ” О (11М)г — )узлг 2 ' 4 з/2яРЯ '( тФ ') Задача б. Оценить флуктуации тока термозмиссии за время 8, если известно его среднее значение Е = еу. Вылеты электронов из катода можно считать независимыми друг от друга, а вероятность отдельного вылета за время т - О'- пропорциональным этому интервалу времени. Решеное. Раюбьем интервал ! на большое число Ьг Ъ ! малых интервалов т = !/Ьг.

Обозначим вероятность того,' что за время т из катода вылетит электрон, буквой р, Если вылеты отдельных электронов независимы, то вероятность того. что за время ! из катода вылетят и электронов, будет определяться распределением Бернулли ю„(1У) = м,(!/г). Записывая среднюю величину плотности тока в виде йе Ьгре р 1ше/ш — = — =е-, ! 1 т 48 Задачи и дополниглельные вопросы к главе У мы получаем, что р = ут. Твк как у нас сУ д 1, и — любое, к и = 2»Гр = уг не растет с ростом су, то реализуется схема Пуассона: (Π— в -2 (гч~Р) -х (УО и! и! Для дисперсии и флуктуаций плотности тока (в пределе т - О, у = сопи) имеем — е — е г 2 с 2 (2»2)2 = — (»»П)2 = — 2»ГР (! — р) = — У С2 С2 с ! бг = —.

ф3 5 2. Канонические распределения в теории флуктуаций В этом цикле звлвч для расчета флуктуаций мы будем использовать канонические распределения Пчббсв, некоторые следствия обшего формализма равновесной статистической механики, в также результаты рассмотрения некоторых простых равновесных систем.

Задача У. Исходя из канонического распределения Гиббса, показать, что распределение по полной энергии в равновесной системе, характеризуемой термодинамическими параметрами д, т', )лг, в предельном статистическом случае становится гауссовым. Решение. Обозначая л = -!/В и и = я ° у', где гр'(В, К !»г) С»гу(В, е) — свободная энергия системы, мы можем записать статистическую сумму в виде ям~~ е»я'=е ч Гв»»е' причем асимптотическое поведение функции и в предельном статистическом случае по су характеризуется первой степенью роста и=!пй !У'. Средняя энергия системы равна ! ч~ »я д!пЕ дн г ~ " д* дх* а срелние более высокого порядка рассчитываются по формуле 8» 8» *я, Непосредственный расчет с помощью этой 4юрмулы дисперсии н следующего, третьего момента дает результаты, тоже пропорциональные !»Г', дд»»!яй дги (м) =ь -Щ2= — = — »йг' дэ2 дх2 — д' !л Я д"и ( л м)2 (о о)2 лг2 дяз двл в то времи как более высокие моменты уже более сложно зависят от лГ (т. е.

уже не являются аддитивными велнчиналгн). Обозначая лл» = (Š— Е)», мы можем написать, что 2Х» т»,~~ (Лл — — ) О 2. канонические распределения л теории флуепуаций 49 д 44з ~4 + йзхзюг дх ди 23з = д з д'и Дз = —, дх' ' ззе 44 14 А=О, например д4и 43 = — +34* дх' дзи: ~з - — + 1О 3з 43з, дхз де и д'и з з зде = +15 — ° Ьз+ 1ОЗзз+ 15гзз.

дхз дх4 Более того, с помошью этого рекуррентиого соотношения, зная, Чта ззЗ 1т и з'.зз 147, легко усмотреть степень максимального асимптотического роста моментов четного и нечетного порядков: д 43зь — 4344.З+(2п- 1)з)з !3з!4 1) -№, х д З3з ~ = 43!4+ 2П ° 43з ° йгзх з №, и ~ 1. дх Коэффициент при № в величине 2ьз„можно определить, если последовательно подставлять в левую часть формуяы лля Ьз„рекуррентную формулу для 2гзм з! И т.д., ПОКа нс Лайпем до 2зз. д д 2 ЬЗ4 = — ЬЗ4, + (2П вЂ” 1)43З вЂ” 4344 З + (2П вЂ” 1)(2П вЂ” 3)434!544 4 =...

= дх в* д д , д = — Ьзь з + (2п — 1)43з — 13зх з + (2в — !)(2в — 3)2ьз — 41зз„ з + .. дх дх дх .. + (2п — !)(2п — 3)... 3 1 хзз. Этот коэффициент, таким образом, раасн 1 ° 3 ° 5 ... (2п — 1). Перейдем теперь к безразмерной переменной Š— Е 3/( Е)з Тогда мы получим Гз ! (з м — =О( — ) (4 = 3-ЬО~ — З) — 147згз ~,~У~' ~!У(* а в пределе 147 - сю Сз44з = О, Сз4 =! ° 3 ...

° (2о — !). Совокупность всех этих моментов определяет гауссову функцию распределения с единичной дисперсией ! ( 1з) в» = — ехр 4( — -с ). зг'2я к( 2 Внешний вид этой функции (рис. 17) всем хорошо знаком. откуда, дифференцируя эту фсрмулу по х и переставляя получавшиеся слагаемые, получаем рекуррентное соотношение, которое позволяет с помощью послеловательного его нсполью- вания легко рассчитать любое из 434, выразив его через 43з и хзз и высшие производные функции и: 50 Задано и дололношельные вопросы к главе 2 В иллюстративных целях удобно ввести энергетические удельные единицы Е Е е= — и е= — = —.