Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 9

Мы будем считать Л однозначной функцией состояния системы, так что каждому состоянию 1, 2, 3, ... отвечает вполне ОпРеделйнное значение величины Е~, Еэ, Т.з, ... Наоборот, если величина Л имеет значение Ц, то это означает, что система обязательно находится в 1-м состоянии. Предположим, что з течение весьма длительного времени Т в силу разнообразных процессов, происходящих в системе, ез состояния изме- няются так, что она проходит через последовательность различных состояний 1, 2, 3, ..., 1, ... Для наглядности допустим, что в тече- ние всего времени изменения состояний Т равномерно каждые лг секунд находится значение величины Т.. В некоторых состояниях система будет находиться долго и попа- дать в них часто, в других она будет проводить лишь незначительное время.

В результате измерений мы будем получать одни значения Е чаше, другие реже. Пусть в некотором состоянии г система проводит время ГО составляющее часть полного времени наблюдения Т. В резульгг тате М, = †' измерений будет найдено, что величина Е имеет значеаг Т ние Е,. Полное число измерений будет равно, очевидно, М= — . Мы аг ' назовйм вероятностью 1-го состояния ш, или вероятностью значения величины Тч предел отношения числа измерений, дающих значение Е, равное Е,, к полному числу измерений, когда последнее неограниченно возрастает, т. е, (6,1) Иначе говоря, вероятность 1-го состояния тля определяется как предел отношения времени ГО в течение которого система находится в этом состоянии, к полному времени наблюдения Т при неограниченном возрастании последнего: (6,2) тв,= Ит — '. =т „Т' Необходимо ясно представить себе, что вероятность данного состояния 1 и вероятность того, что величина Т.

имеет значение Ц, отвечающее состоянию 1, являются совпадающими понятиями. Поэтому вместо (6,2) мы можем написать: Т' з т'+со где тв — вероятность того, что велкчина Л имеет значение Ц. Юз В определении вероятности (6,1) или эквивалентном ему определении (6,2) сделан важный шаг вперйд: вероятность определяется как предел отношения, а не как само отношение, Фактически это озна- 39 $6] ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ чает, что использование вероятностных представлений предполагает, что число измерений или время наблюдения Т весьма велико. В определении (6,2) заключено предположение о том, что предел отношения — существует. Существование этого предела будет обеспечено гг Т в том случае, когда в течение всего времени наблюдения система находится в неизменных внешних условиях. Если это не так, и в ходе измерений внешние условия могут непрерывно изменяться, отношение — может не стремиться ни к какому пределу.

Так, например, Т если бы мы рассматривали неограниченно расширяющийся газ, то ни в одном состоянии система не находилась бы конечный промежуток времени. Ей состояния непрерывно изменялись бы в течение всего времени наблюдения. Поэтому предел отношения — не существовал Т бы вовсе. Напротив, если газ заключзн в конечном объвме У и мы захотели бы определить вероятность того, что некоторая наугад выбранная молекула будет найдена з объеме О, составляющем часть всего объйма, то могли бы определить эту вероятность как предел отношения †, где г, — время, в течение которого молекула находится в объеме О. Если время наблюдения Т достаточно велико, то молекула побывает зо всех частях объема У сосуда.

Иа равноправности всех частей сосуда следует, что время пребывания в данном объеме О будет пропорционально величине этого объема. Поэтому Мы видим, что временное определение вероятности приводит к такому же выражению для вероятности, как и при выражении через число событий. На практике часто приходится встречаться с системами, состояния которых изменяются не дискретным, а непрерывным образом. Иначе говоря, часто величины, характеризующие состояние системы, пробегают непрерывный ряд значений. В этом случае определение вероятности (6,3) теряет непосредственный смысл„ В состоянии, в котором зеличина Л имеет значение, точно равное Ц, система будет проводить бесконечно малое время. Поэтому, как и з других случаях, когда приходится иметь дело с непрерывно изменяющимися величинами, необходимо говорить не о значении Ц, а о некотором интервале значений этой величины.

Мы должны поэтому говорить о вероятности того, что величина ь имеет значение, лежащее в интервале между Ь и А+Ж. Эту вероятность будем обозначать через гГтв . По определению, дгь Отв = !ип —, х т Т 40 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЯ [Гл. и где йг †вре, в течение которого система находится в состояниях, соответствующих значениям Л, лежащим между А и А+Ш. Очевидно, что время Ыв, а следовательно, и вероятность йтое, будут при прочих равных условиях пропорциональны величине интерваля й7.. Удобно поэтому представить йто в виде йто = р (7.) сК, где р[Ь) — вероятность того, что значение лежит в некотором «единичном» интервале.

Функция р(Е) называется плотностью вероятности. Она заменяет самую вероятность в тех случаях, когда величина 7. изменяется непрерывно. Помимо временного определения вероятности, часто пользуются и определением [6,1). В этом случае вводится в рассмотрение большое число тождественных по своему характеру систем, находящихся в различных состояниях и могущих переходить из одних состояний в другие. Число систем, находящихся в данном состоянии, характеризует вероятность последнего.

$ 7. Закон сложения и статистическая независимость Для дальнейшего рассмотрения нам понадобятся два общих положения теории вероятностей: теорема или закон сложения и понятие о статистической независимости. Рассмотрим их последовательно. 1. Закон сложения вероятностей. Рассмотрим физическую систему, могущую находиться в различных состояниях.

Если система находится в состоянии г', то она не может, очевидно, одновременно находиться в каком-либо состоянии й. Одновременные нахождения системы в состояниях 1 и я являются взаимно исключающими друг друга событиями. Предположим, что нам известны вероятности состояний 1 и й.

Для многих целей является весьма важным нахождение вероятности того, что система находится в одном из этих состояний,— безразлично, в каком именно. Иначе говоря, мы хотим найти вероятность того, что система находится либо в состоянии 1, либо в состоянии й. Для нахождения этой вероятности заметим, что время пребывания системы в одном из состояний, †безразлич, в каком именно, — равно сумме Времвн пребывания в 1-м и й-м состояниях. Поэтому искомая вероятность чо;+з равна г -[-гь тог ь= Ищ, = И1п 7 + Ищ — — чог+чо„.

[7,1) Т-ь о» ьь Формула [7.1) выражает закон [теорему) сложения вероятностей, Вероятность нахождения системы в одном из двух взаимно исключающих друг друга состояний равна сумме вероятностей нахождения системы в каждом из состояний. $71 аАкон слОжения и стАтистическАЯ незАВисимость 41 Приведем простейшие примеры использования теоремы сложения, ПРедположим, что в объеме газа У выделены две части, От и Оя. Тогда в каждом из объемов выбранная молекула проводит время 1,, и /„и Вероятность того, что молекула будет найдена либо в объйме О,, либо в объзме О„ равна !Ип ' .

' = тв„, + тв„,. Точно так же ба+аж т -ь со вероятность того, что при метании игральной кости выпадет либо метка 1, либо метка 2, равна сумме вероятностей выпадения каждой из меток, т. е. '/з+'/е= >/з. Теорема сложения вероятностей может быть без всякого труда перенесена на случай трех или большего числа состояний. В общем случае вероятность того, что система находится в одном из состояний ю', й, /,..., равна %' ТВЮ+А~~+ .. =.ЛЛ~Ъ (7,2) где суммирование ведется по всем состояниям А Й, А... системы. Из теоремы сложения вероятностей вытекает важное следствие, которым мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем. Предположим, что состояние системы характеризуется двумя не зависящими друг от друга величинами /.

и М. Например, 7. может представлять скорость движения системы в одном направлении, а М— в другом, или Л и М могут быть энергией и объвмом идеального газа и т. д. Пусть 1. может пробегать значения уы /.„ ... Л,,..., а М вЂ” значения М,, М,..., М„,... Предположим, что нам известна вероятность того, что система находится в состоянии, в котором /. Равно /ч а М равно М». Пусть эта вероятность равна твггм . А НайдЕм вероятность твг, того, что система имеет значение /ч при любом значении величины М. Согласно теореме сложения вероятностей можно написать: тль =тле Аг +твьм + .

+таем„+". = '5',твьги, (7,3) где суммирование ведется по всем значениям величины М. Так, для получения вероятности того, что система имеет данную скорость в одном направлении при произвольной скорости в другом, нужно просуммировать тв„ „ по всем значениям последней. Аналои я гичные рассуждения можно провести с игральной костью. Пусть три грани (например, с четными цифрами) окрашены в чврный цвет, а остальные три — в белый. Вероятность того, что выпадет белая грань с цифрой 1, равна '/а.

Вероятность выпадения белой грани с любой цифрой (т. е. 1, 3 или б) равна '/ +'/ '+'/з='/, В том случае, когда величины /, и М изменяются непрерывно, суммирование в формуле (7,3) нужно заменить интегрированием. 42 основныв понятия твогии вегоятностзй )гл. и 2. Статистическая независимость н закон умножения вероятностей. Второе важное положение теории вероятностей носит название теоремы или закона умножения вероятностей. Рассмотрим две физические системы и предположим, что они являются совершенно неаависимыми друг от друга.