Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 4

Таким образом, при колебаниях осциллятора около точки д = 0 с амплитудой А изобразительная точка в фазовом пространстве описывает эллипс с полуосями а = А и Ь = тмА (рис. 1), Найдем площадь этого эллипса. Она равна, как известно, 8 = яаЬ = =не«А'-. С другой стороны, ев можно, как площадь, ограниченную любой замкнутой кривой, представить в виде криволинейного интеграла по замкнутой кривой: 5 = ~рй7. Вычислим теперь энергию осциллятора — ~'+и — р'+"' (2,7) 2 2т 2а где У в потенциальная энергия, связанная с силой г: соотношением дУ 7' = — —.

дй Подставляя в (2,7) выражения для и и р из (2,4) и (2,5), получаем: ш~зАа «А« . «Аз созэ ~1+ — з1пв ~1 = —, 2 2 Таким образом, между площадью, описываемой изобразительной точкой в фазовом пространстве, заштрихованной на рис. 1, и энергией осциллятора существует соотношение Я«ш г з = — ' = — ф рй1 = ч~ равд. 2лн««2« ~ Это соотношение сыграло важную роль в создании квантовой теории.

Рассмотрим теперь случай плоского ротатора, т. е. частицы, вынужденной вращаться в плоскости иа зая,анном расстоянии от начала "оординат. В качестве обобщенной кппрдипаты выбереьк угол в, образуемый радиусом-вектором г с осью х. 2 3«« мтз в г л где А — амплитуда и я — фаза, определяемые начальными условиями; частота а = 2я«= 1/ — ", г и' Формула (2,4) представляет уравнение реальной траектории, Чтобы найти траекторию изобразительной точки в фазовом пространстве, нужно найти связь между р и д. Возведя уравнения (2,4) и (2,б) в квадрат и складывая, находим: Кинетическая энергия имеет зид твз тгзрз Т~р" т=н- — = — ' 2 2 2 где р — угловая скорость и Т вЂ” момент инерции.

Обобщйнный импульс р, отвечающий координате ~р, равен р = —. = тгцр = йр, дТ (2,9) др т. е. р есть момент количества движения. По уравнениям Гамильтона, имеем: дТ . дТ р р = — — =О, др ' др тгв ' (2,10) В нервом уравнении мы воспользовались тем, что Т не зависит явно от угла а. Оно даат естественный ревульи тат: р = М=соцзр., т. е. закон сохранения момента количества м~ движения. Угол р растзт во времени линейно. Поскольку угол о за период движения измед зд 'Г няется в пределах 0(у (2к, фазовое про- странство ротатора имеет вид, изображенный Рис.

2. на рис. 2. Изобразительная точка движется по прямой рт=М, пока угол р растет от 0 до 2п. Соответствующая плошадь фазового пространства 5 равна 2яМ, Наконец. рассмотрим частицу, свободно движущуюся в некотором замкнутом объеме (ящике) с идеально отражающими стенками.

Для простоты ограничимся случаем одного измерения, когда движение частицы происходит в одном измерении (вдоль осн х) и ограничено идеально отражающими стенками в точках х=О и х=а. Импульс частицы р =сопз1, причйм рн ) О, когда частица движется в положительном направлении вдоль оси х, и рн - 0— а при движении в обратном направлении. Соответствующая изобразительная точка (рис. 3) движется по верхней прямой в направлении, указанном стрелкой, пока материальная точка движется от стенки х = 0 до стенки х = а; Рис. 3.

при движении материальной точки в обратном направлении ей изобразительная точка движется по нижней прямой. Понятие о фазовом пространстве может быть введено и для системы с ббльшим, чем одна, числом степеней свободы. В этом случае число измерений в фазовом пространстве равно, очевидно, удвоенному числу степеней свободы, так как за одну ось принимается координата, а за другую — импульс.

В случае систем с большим $ З1 няозходимые сввдения из квантовой механики !9 числом степеней свободы фааовое пространство имеет очень большое число измерений и уже не может быть представлено графически. Тем не менее, и в этом случае использование представления о фааовом пространстве оказывается очень полезным. Нам в дальнейшем понадобится выражение для элемента объема в фазовом пространстве. Обобщая обычное определение элемента объэма бУ=бхбубг на случай многих измерений, можно написать для элемента фазового обэкэа следующее выражение: пг = ~тй пЧя ° ° <ИГ прг бРа ° <~РР (2,11) где бог — дифференциал 1-й координаты и бр,— дифференциал г'-го импульса, соответствующего этой координате (1= 1, 2, ..., у).

В произведение в правой части выражения (2,11) входят в качестве множителей дифференциалы г обобщэнных координат и стольких же импульсов. Движение механкческих систем определяется так называемыми динамическими закономерностями. Характерной особенностью динамической закономерности является то, что если известно начальное состояние системы и воздействие на неэ со стороны окружающих тел, состояние системы в любой последующий момент движения может быть однозначно определено. Иными словами, при заданных силах, действующих на систему, начальное состояние системы однозначно определяет всэ дальнейшее ез движение.

Общие черты, характерные для динамической закономерности, проявляются не только в механике, но и в широком круге других физических явлений, в частности в электродинамнке. Было бы, однако, принципиально неправильным утверждать, как это делалось рядом исследователей, начиная с Лапласа, что динамическая закономерность исчерпывает все виды причинности и взаимной обусловленности явлений в природе. Подобные утверждения неизбежно приводят к фатальной картине мира и прямо противоречат данным современной физики, а также других областей естественных и общественных наук.

Проявление всеобщего закона причинности в разнообразных физических явлениях гораздо шире и не может быть всегда сведено к закономерностям динамического типа, хотя последние и играют весьма важную роль в физике. Как мы увидим ниже, поведение микроскопических тел, являясь строго причиннообусловленным, не подчиняется динамическим закономерностям, но определяется закономерностями другого типа †закономерностя статистическими. й 3. Необходимые сведения иэ квантовой механики Экспериментальное и теоретическое изучение свойств микроскопических частиц (электронов, протонов, нейтронов, а также отдельных атомов и молекул) позволило составить довольно полное представление об их свойствах. Оказалось, что свойства микроскопических частиц нзюгнниа ~гл.

! резко отличны от свойств обычных макроскопических тел, Законы классической механнкн н классической электродинамики прн попытке нх применения к внутриатомным явлениям приводят к результатам, находящимся в противоречии с опытом. Так, например, самый факт устойчивости атома противоречит законам классической физики, согласно которым электроны, движущиеся по орбитам внутри атома, долхсны, как н всякие другие заряженные частицы, движущиеся с ускорением, непрерывно излучать электромагнитные волны. При этом их энергия должна была бы уменьшаться до тех пор, пока электроны ие упали бы на ядро.

Экспериментальное изучение свойств атомных систем с самого начала показало, что существенной их особенностью является дискретный характер их устойчивых состояний. Переход нз одних устойчивых состояния в другие происходнт скачкообразно, без прохождения промежуточных состояний. Так, оказалось, что энергия атомов н молекул может принимать дискретный ряд значений е,, ез, в.„ ..., причем переход между этими состояниями, например з, и з, происходит без прохождения состояний с промежуточными энергиями между з н з . Таким образом, атом может поглощать илн отдавать энергию определенными порциями, квантами. Состояний с промежуточными энергиями у атома не существует.

Опыт показывает, что дискретный, квантовый характер имеет не только энергия, но и ряд других величин, характеризующих состояние атомных систем (например, момент количества движения, который также принимает в атоме дискретный ряд значений и может изменяться лишь скачкообразно). Энергию и подобные ей величины называют квантованными, а совокупность нх возможных значений †спектром. Квантованные значения энергии часто называют также уровнями энергии. Существование квантованных состояний коренным образом противоречит законам классической механики, в которой состояния системы всегда изменяются непрерывно: бесконечно малому изменению силы адесь всегда отвечает бесконечно малое изменение движения.