Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 5

В начале развития атомной теории были получены некоторые формальные правила, с помощью которых нз всех возможных с точки зрения классической механики состояний отбирались те, которые фактически могут реализоваться в атоме. Эти правила были названы квантовыми условиями Вора. Однако дальнейшее расширение наших представлений о свойствах атомных систем показало, что представления классической физики требуют еше более глубокого изменения. Именно, оказалось, что наряду с обычными корпускулярными свойствамн микроскопические частицы обладают свойствами, характерными для волновых процессов.

Существование волновых свойств особенно ясно обнаруживается в опытах по днффракцни электронных или атомных пучков. При пропускании таких пучков через кристалл в прошедшем нли отражйнном пучке обнаруживается система чередующихся днффракцнонных мнни- й 31 нвовходимыь свидания из квантовой мзхлники 21 мумов и максимумов. Картина диффракции пучков частиц ничем не отличается от диффракционной картины, получающейся при пропускании через кристалл рентгеновых лучей.

Вместе с тем, в других опытах, например в опытах со столкновениями, частицы ведут себя подобно обычным частицам, а не как волны. Таким образом, опыт показывает, что микроскопические частицы обладают совокупностью корпускулярных и волновых свойств, — утверждение весьма парадоксальное с точки зрения обычных, классических представлений. Разумеется, мы не можем здесь изложить даже в краткой форме содержание современной теории микроскопических частиц.

Ограничимся лишь напоминанием тех фактов и соотношений, которые непосредственно потребуются для дальнейшего. Основным положением квантовой механики является утверждение о том, что состояние атомной частицы может быть описано некоторой волновой функцией ф(г), смысл которой заключается в том, что величина ~ф(г))ад)l характеризует вероятность того, что частица находится в объеме йУ вблизи точки я. Для объяснения явления диффракции частиц необходимо допустить, что функция ф (г) имеет характер волновой функции и удовлетворяет волновому уравнению особого типа (так называемому уравнению Шредингера), Движению свободной частицы, обладающей импульсом р, отвечает волновая функция О, соответствующая длине волны Л, равной й Л= —, р (3,1) ф = — А гйп ~ —.

х + а) е'"', ~ Л (3,2) где длина волны Л связана с р соотношением (3,1), А — амплитуда, " — частота волнового процесса и а — его фаза. Величина (ф~айх характеризует вероятность нахождения частицы з области Их. Поскольку стенки ящика х = О и х = а непроннцаемЫ где )г — мировая постоянная, именуемая квантовой постоянной Планка (я=6,62 1О-вг эрг сек) Простейшие квантовые системы.

Рассмотрим в качестве простейшего примера движение частицы, заключзнной в потенциальный ящик с непроницаемыми для частицы стенками. Это означает, что область движения частицы ограничена размерами ящика, но внутри него она движется как свободная. Для простоты ограничимся пока случаем одномерного движения. Несмотря на все ограничения, на атом простом примере можно выявить целый ряд характерных особенностей движения атомных частиц. Волновая функция, отвечающая свободному движению частицы с импульсом р, имеет внд плоской волны вввдянив н вне ящика частица найдена быть не может, на этих границах ф должна обращаться в нуль, Это дает условия и=О, 2ла — = лл, где л — целое число (а= 1, 2, 3, ...).

Последнее условие показывает, что ~лина волны 1. принимает дискретный ряд значений: / 2а (3,3) л Число п носит название квантового числа. На рис. 4, а и б изображены волновые функции 6 и вероятность ))Р для а=1, 2, 3 и 4. Из рисунка видно, что имеется известный шанс найти частицу в любой точке внутри ящика, за исключением его границы и отдельных точек, в которых 6 обращается в нуль. Такая картина резко отлична от картины движения классической частицы, которую в каждыя момент времени можно с равноя вероятностью найти в любой Ю) 1г"ЮУ точке х между 0 и а. Сопоставляя формулы (3,1) и (3,3), находим, что частица, движущаяся в ящике, может иметь только дискретный ряд значений импульса, Р„= 2 —,, (3,4) или энергии, х Х Рчз йзлз Рис.

4. йз дел еч+т еч 3 а (2л+ 1) (3,6) Мы видим, что эти расстояния тем меньше, чем больше масса частицы и размеры области движения а. В случае движения частицы в области достаточно больших размеров расстояние между уровнями энергии настолько мало, что они образуют практически непрерывный спектр. Точно так же непрерыв- Таким образом, существование дискретных значений (уровней) энергии в квантовой механике получается автоматически, без каких-либо дополнительных предположений или условий. формула (З,б) показывает, что уровни энергии частицы образуют дискретный ряд илн спектр; расстояние между соседними уровнями энергии равно % 31 нвовходимыв сввдвния из квантовой механики 23 ный спектр энергии имеется и у любой частицы с большой, макро- скопической массой.

Найдйм ещй относительное расстояние между уровнями энергии, которое равно, очевидно, 2л -1 1 «„ ля (3,7) При а '~~ 1 относительное расстояние между уровнями нли величина «ступенекь энергетического спектра равна ««+г — «„2 л' (3,8) е„= 0,02лв эл.-в Ьв„= 0,02 (2л+1) эл.-в. При не очень больших а расстояния межлу уровнями энергии окааываются одного порядка величины с самими энергиями (например, при л=3 имеем в„=0,2 эл.-в, аз„=О,! эл -в). Однако иначе дело обстоит в том случае, когда протон движется в области макроскопических размеров (например, а = 1 слг).

Тогда з„= 2 1О-1злз эл.-з (3,9) и расстояние между соседними уровнями Дал — — 2 ° 1О гз(2л+1) эл.-в. (3,10) Пусть протон имеет энергию 3 ° 10-Я эл.-в (как будет видно з дальнейшем, такую энергию имеют атомы, находящиеся в тепловом движении при нормальной температуре). Тогда из (3,9) находим: л — 10з. При таких значениях л относительное расстояние между Уровнями оказывается ничтожно малым. Таким образом, уже при движении протона в области достаточно больших размеров дискретный, При больших квантовых числах относительное расстояние между уровнями быстро убывает с ростом л, так что дискретный характер спектра сглаживается.

Мы видим, таким образом, что дискретность уровней энергии квантовой частицы проявляется: 1) при малой массе, 2) при движении частицы в малой области и 3) при малых квантовых числах. Напротив, при больших массах, движении в большой области и Сюльших квантовых числах квантование проявляется сравнительно слабо.

Чтобы представить себе порядки величин, рассмотрим несколько чисел. Пусть, например, протон с массой лгр —— 1,7 1О-" г движется в ящике, сторона которого имеет размеры, близкие к атомным (а = 10-з см). Выражая энергию в электрон-вольтах (см. Приложение 3), имеем: 24 1гл. в взвдвнив квантовый характер его состояний проявляется весьма слабо. То же самое в ешй большей степени относится к макроскопическому шарику с массой, равной, скажем, 1 г.

Движение такого шарика с огромной степенью точности описывается законами классической механики. Закономерности, проявляющиеся в рассмотренном специальном случае частицы, движущейся в потенциальном ящике, имеют общий характер. В случае электрона, движущегося в атоме, в котором нет непроницаемой границы, волновая функция должна обращаться в нуль на бесконечно большом расстоянии от ядра, прич6м так, чтобы интеграл ~ ~ф)вдЪ' сходился.

Последнее условие следует из самого существа волновой функции и выражает тот факт, что и какой-либо точке пространства электрон обязательно находится. Это условие заменяет условия (3,3) и приводит к квантованному спектру энергии электрона. Точно так >хе найденное свойство — переход квантовых формул в классические в при выполнении указанных выше условий является совершенно общим для всех квантовых систем. В квантовой механике показывается, что классическая механика представляет предельный случай квантовой механики, в которую последняя переходит, когда длина волны А становится достаточно малой по сравнению с характерными размерами, зависящими в каждом отдельном случае от условий задачи.

В рассмотренном выше случае движения частицы в ящике для перехода к классической механике требовалось выполнение неравенства и)) 1 или в силу (3,4) и (3,1) п>>Л. Из формулы (3,1) ясно, что переход к классической механике— обращение в нуль длины волны происходит прн устремлении постоянной Планка к нулю. Физически это означает, что законами классической механики можно пользоваться с точностью до величин порядка Л, Оказывается, что переход от квантовой механики к классической можно сделать двояким образом: просто, полагая Ь = О, мы полностью пренебрегаем всеми квантовыми эффектами †существованием у микрочастиц волновых свойств, квантованием энергии и других величин и т. и.; можно, однако, считать л малой, но все же отличной от нуля величиной.