Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 11

е. 1 рУ' ФЛУКТУАЦИИ Из закона сложения вероятностей следует: н Š— '~' Е~м~ а=1 Вычислим теперь квадратичную флуктуацию величины Е, т. е. вели- чину (9,3) Для простоты предположим сначала, что система состоит только нз двух независимых частей. Тогда имеем: [Ь (Ет+ Ег)[Я = (АЕт)Я+ 2ЬЕт Ы ~+ (АЕя)в. Поскольку Ет и Ев — независимые величины, среднее от произведения (ЬЕт) (ЬЕа) равно произведению средних: (ЬЕ,) (аЕа) = (аЕА) ° (аЕя).

Но (ЬА~)=(аЕ ) =О, так что [Д (Е1 + Еа)! ' = (йЕч)а+ И~в)', т. е. квадратичная флуктуация системы из двух независимых величин равна сумме квадратичных флуктуаций этих величин. Обобщая зто на случай Ф независимых частей, входящих в систему, можно написать: [~(х о~[! -й~м(>~. а=1 (9,4) Число слагаемых в сумме (9,4) равно числу независимых частей в системе, т. е. М. Будем считать, что флуктуации в различных независимых частях системы по порядку величины близки друг к другу (поскольку все части еа равноправны между собой).

Тогда значение суммы, написанной в правой части формулы (9,4), будет пропорционально числу слагаемых, т. е. величине М, так что ~д (ф уь>))а Аг Среднее значение Е также пропорционально числу слагаемых в сумме формулы (9,3), т. е. пропорционально М. Поэтому относительная флуктуация величины Е равна У' (ае) У[а (~ е'ю)!'' уу Оъ— Е ~~~<й> у у~' Таким образом, теорема докавана. основиыв понятия твогни вввоятноотзй [Гл. и Как уже было указано во введении, задачей статистической физики является изучение свойств макроскопических систем, состоящих из огромного числа частиц атомов или молекул. Мы увидим в дальнейшем, что методы изучения свойств таких систем основаны на применении статистических законов, Применение этих законов позволяет находить средние значения различных величин, характеризующих состояние системы.

Из полученной нами теоремы следует, что относительные флуктуации всех физических величин, значение которых для всей системы равно сумме значений их для всех частиц, обратно пропорциональны числу частиц. Поскольку число частиц з макроскопической системе выражается обычно огромными числами (порядка б ° 10м), относительная флуктуация любой аддитивной величины практически оказывается равной нулю. Это означает, что все аддитивные величины имеют значения, весьма близкие к средним. Позтому замена истинных величин их средними значениями может быть произведена с большой точностью. Средние значения различных величин, вычисленные на основе законов статистической физики, с очень большой степенью точности совпадают с их истинными значениями. Это означает, что вероятностные предсказания приобретают практически совершенно достоверный хараккер.

Представим себе, например, что мы хотим найти давление, оказываемое молем газа, находящимся в сосуде, на стенки последнего. С помощью положений статистической физики оказывается возможным вычислить среднее давление газа и. Истинное давление р, испытываемое стенкой, отнюдь не равно среднему давлению. В зависимости от сложных законов движения молекул в газе оно будет принимать разнообразные, быстро изменяющиеся во времени значения (рис. 8), Рис.

8. могущие быть и больше и меньше среднего давления. Тем не менее, теорема о флуктуациях показывает, что относительная ошибка, которую мы совершим, заменяя истинное, меняющееся во времени давление его средним значением (изображйнным на рис. 8 горизонтальной ли- 1 нией), будет порядка 8„—, т. е. ошибка составляет 1О-ш е(е, ~/ 6 ° 1Ф~ 49 задачи к Глава и Очевидно, что такая ошибка лежит далеко за пределами точности измерений лучших манометров и практически не имеет никакого значения. Поэтому мы можем пользоваться средним значением давления, совершенно не опасаясь допустить какую-либо погрешность. То же относится и к другим функциям состояния системы.

Примеры этих функций будут даны в дальнейшем. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ !! 1. Материальная точка колеблется по закону х = з!пей Найти вероятность того, что прн случайном измерении еа положения онз будет обнаружена в интервале х, х + нх. Р е ш е н и е. Поскольку материальная точка совершает периодическое лвнжение, полное время наблюдения можно отождествить с периодом колебаний Т. Если пт — время, в течение которого материальная точка находится в интервале х, х+ггх, то искомая вероятность равна 2гГГ ~йв = —. Т ' Множитель 2 введен потому, что за период Т точка побывает в указанном интервале дважды.

Выражая время пт через г!х, имеем: 1 и'х я! = — (асса!и х)'пх = и о> 1~! — ха Следовательно, ! ох и'тл =— я У1 — ха 2. Некоторая система может с равной вероятностью находиться в А!различныхх состояниях. Найти вероятность того, что система находится в одном из этих состояний. 1 Р е ш е н и е. гя = —. 3. Система характеризуется распределением вероятностей пш хупхну, где переменные х ну лежат в интервале 0: х(а; 0(у(З. Нормировать распределение вероятностей.

4 Р е ш е н и е. отв = — ху а'х йу. атлз 4. Найти вероятность того, что система имеет данное значение величины х прн любом значении величины у. ь Решение, пш = —, хг!х ) уиу =: — хпх. 4 ~ 2 ада а )! аз о $. Найти среднее значение велпчнн л х, ее среднее квадратичное значение, среднюю лвадратичную флуктуацию и относительную флуктуацию, если ггш сонь!. е вл!х. 4 заа.!623 В. г лавка )гл. и 50 ооновныв понятия твогни вввоятностей Решен не. аш ае ~агх, 2 хз =— аз — 2 ! ! (дх)з = — — — =— аз аз ат )/г~ах)з х 6.

Найти распределения вероятностей для той же системы, если она характеризуется величиной у, связанной с х соотношением уз = х. Р еще и не. аш =2аг ""'ус(у. 7. Найти распределение вероятностей для величины у, если известно распределение вероятностей для величины х, связанной с у неоднозначным соотношением х =у(у) = ( !Л(у) уз (у) Р е ш е н н е.

(у(у)) ~у (у ~ + (у.(у)) ~у'(у)~ у. 8. Идеальный газ содержит М молекул„заключенных в объбме К Найти, какова вероятность того, что в выделенной мысленно малой части объбма о содержится л молекул. Решение. Вероятность того, что в объбме о находитсн одна молекула, р= —. Вероятность того, что в этом объбме находится ровно л ча)г ' стиц, а остальные Д! — и находятся в остальной части сосуда И†о, равна р"(! р)™. Число способов, которыми и произвольных молекул может быть выбрано из общего числа молекул, равно числу сочетаний нз М элементов Ф! по л, которое равно Сн~~ — — ! .

Полная вероятность нзхождения л!(д! — и)!' в объбме п произвольно выбранных молекул равна Полученное выражение носит названне бииомиалзного закона. 9. Рассмотреть в предыдущей задаче случай, когда й! ) л. Р е ш ение. При М)) л можно пренебречь и в показателе степени и, кроме того, написать: тв (л) = ~(" — !)" (т — л+!) н М (и) I п,Р У л! Р '(! — р) см — ! —— л! ~ д(/ где л=рд!. Тогда получаем: (л)оз " ш(и)= Иш штг(л)= и+ л! Последняя формула носит название формулы Пуассона.

ЗАДА~!И К ГЛАВЕ И 10. Найти асимптотическое выражение формулы Пуассона для случал, когда среднее число частиц в выделенном объеме велико, так что й л ))1 и йл = л — п (( л. Решение. При больших значениях л для л! можно написать асимптотическое выражение — формулу Стирлинга (Приложение П) !пл)=л!пп — п.

Логарифмируя формулу Пуассона, имеем: 1п тв (л) = л 1п л — л — п !п л + л = дп! = (п — йи) 1п п — л — (и — йп) !п л (1 — =) + л — йп = п дп ! (йл)з (йл)з (йп)з = — (л — дп) 1п(1 — — ) — дл ж= — — + .. = — =+ ° . л 2п " 2п откуда (я-з! ш(п) = сопл!,. е тя Постоянная находится из условия нормирования. Тогда получается: (з-я! 1 те(п)Нл= е тй Лп 'т' 2яп Последнее выражение носит название распределения Гаусса. ГЛАВА П1 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ $10.

Простейшая статистическая система — идеальный газ Изучение систем, содержащих весьма большое число частиц, естественно начать с простейшего случая — идеального газа. В газообразном состоянии плотность вещества мала, так что среднее расстояние между молекулами оказывается очень большим по сравнению с геометрическими размерами частиц в атомов или молекул. Благодаря этому основную долю всего времени движения каждая из частиц находится сравнительно далеко от остальных гааовых частиц. Силы межмолекулярного взаимодействия быстро убывают с расстоянием и становятся ничтожно малыми, когда молекулы находятся на расстояниях, заметно превышающих их геометрические размеры.

Таким образом, характерной особенностью движения молекул в газе является малость межмолекулярного взаимодействия в течение подавляюще большой части времени движения. Из-эа отсутствия взаимодействия газовые молекулы движутся прямолинейно и равномерно до тех пор, пока не произойдет столкновения между данной и какой-либо другой молекулой или соударения со стенкой сосуда. При столкновениях газовых молекул между собой или с молекулами вещества стенки сосуда можно считать молекулы недеформируемыми.

Поэтому столкновения молекул между собой или со стенками сосуда можно считать идеально упругими, Это означает, что столкновения между молекулами происходят по тем же законам, что и столкновения обычных твйрдых шаров. В процессе столкновения происходит обмен кинетической энергией между молекулами и изменение направления их полета. Аналогично при столкновении молекулы со стенкой сосуда, точнее говоря, с молекулой вещества этой стенки, газовая молекула упруго отражается от стенки. Само собой разумеется, что в самом акте столкновения молекулы взаимодействуют между собой очень сильно. Их скорости могут существенно измениться как по абсолютной величине, так и по направлению.