Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При этом конкретный вид сил взаимодействия не играет роли. Пусть в результате соударения скорости молекул изменяются и превращаются в аз и аг . Число таких столкновений в единицу времени в единице объема газа должно быть пропорционально числу молекул со скоростями я11 и аа, т. е. произведению л(а1)и(а1). Рассмотрим далее процесс соударения, являющийся обратным данному. При этом скорости молекул изменяются от значений агз и а, до значений п1 и и .
Число таких соударений в единицу времени в единице объема пропорционально количеству молекул со скоростями аз и по т. е. Л(ага)п(п,). В силу сделанного нами предположения о том, что число молекул с данными аначениями скорости не изменяется процессами молекулярных столкновений в газе, находящемся в стационарном состоянии, можно считать, что число молекул, у которых скорости изменяются от значений п1, Я1а до значений пз, по Равно числУ молекУл, У которых скорости изменяются от чР и чг до пт и па, т. е.
считать: (1 1,б) л (чч) л (я' ) и (юа) и (я'1) 60 [гл. и! КИНВТИЧВСКАЯ ТВОРИЯ ГАЗОВ Равенство (!1,5) выражает баланс частиц, получающих и теряющих соответствующую скорость. Поскольку в процессе столкновения энергия молекул сохраняется, для прямого и сбратного процессов можно написать: ,г г+ г (11,6) Равенство (11,6) выражает закон сохранения энергии при столкновении; в равенстве опушен входящий в обе стороны общий множитель --. 2 ' Равенства (11,5), (11,6) и (11,2) представляют совокупность условий, которым должна удовлетворять искомая функция распределения.
Из формулы (11,6), в которую входят только квадраты скоростей, видно, что функциональное уравнение (11,5) будет выглядеть гораздо проще, если в качестве аргумента функции распределения выбрать не самую абсолютиую величину скорости, а ев квадрат, записав искомую функцию в виде и !ог). Это ие изменяет существа дела, но позволяет переписать (11,5) в более простом с математической точки зрения виде: п(о")п(о",) = гг (ог) и (ф.
Фуикциоиальное уравнение (11,7) и условие (11,6) показывают, что с математической точки зрения функция распределения должна обладать следующим свойством: при сложении значений аргументов функций сами функции перемножаются. функциональное уравнение (11,7) легко превратить в простое дифференциальное уравнение. Для этого выразим о, через ог, о и оа с помощью (11,6) и перепишем (11,7) в виде (о„-) и (ог) = (о;-) и (о;. + ог — о',). Взяв логарифм от этого равенства, имеем: !и и (о;') + !и и (о'„;) = !и п (о„') + !и п (ог+ и„'- — о'). (! 1,8) Продифференцируем последнее равенство по аргументу о'. При этом мы должны помнить, что уравнение (11,8) справедливо при совершенно произвольных и независимых значениях оы ог и оа [значение о определено формулой (11,6)[.
Имеем: 1 «п (о',-') ! «п (о,'+ о,, '— о,') "(оь) «о~ п(ог+ о ог) «(ог+ог оа) Аналогично ! «п (о.,') «п (о~ + о! — ог) и(о~) «о'" п(ог+о.„' — ог) «(о'+ог — огг) $ 1!! 61 Рлспгедвлзннв млксэвллл Сравнивая оба равенства, получаем: 1 лл(ед) 1 ци(я ) л(е~) лэа л(э.) лпэ (11,9) Так как ть и оа †независим переменные, а равенство (11,9) должно иметь место при совершенно произвольных значениях независимых величин па и оа, ясно, что оно может быть выполнено только тогда, когда правая и левая части (!1,9) равны некоторой постоянной. Обоаначим эту постоянную через — а.
Тогда вместо (11,9) можно написать: 1 Лл (гл) л (ев) (11,10) В последнем уравнении мы опустили индекс при скорости, так как из смысла предыдущих рассуждений ясно, что оно должно быть справедливо при любом значении скорости. Интегрируя (11,10), находим: и (оа) = Ае-""', (11,11) 4яА ~ е-""пэг(о=л. (11,12) Обсудим теперь пределы интегрирования в условии нормирования (11,12).
Нижний предел интегрирования в (11,12) отвечает наименьшему возможному значению скорости о. Последнее, очевидно, равно нулю. Что же касается верхнего предела, то мы не можем, конечно, указать значения наибольшей скорости, которую может иметь молекула в газе. Однако вид распределения, входящего в (11,12), показывает, что в знании этой величины, в сущности, нет нужды. Подинтегральная функция настолько быстро убывает с ростом аргумента (см.
ниже рис. 11, стр. 66), что мы не сделаем никакой ошибки, где А в постоянная интегрирования. Таким образом, функция распределения л(па) оказывается экспоненциальной функцией своего аргумента пэ. Это вполне естественно, так как именно экспоненциальная функция обладает требуемым свойством †перемножен функций при сложении аргументов. Из формулы (11,11) ясно, почему мы должны считать постоянную в (11,10) существенно отрицательной (т. е. а — существенно положительной), Из смысла функции распределения очевидно, что чем больше скорость о, тем меньше число молекул в газе, имеющих эту скорость.
Это выполнено, если а ~ О. То же следует из условия нормирования (11,2). Оно может быть выполнено только в том случае, когда функция п(оя) убывает с ростом о. Постоянная интегрирования А может быть определена из условия нормирования (11,4). В силу (11,11) н (11,4) имеем: (гл. п1 кинатнчзская теОРий газов (11,14) =-п 1,у/ — ° е ~гЬ~) (ф/ —" е апои)'1,ф/ —.
е ~сЬ«~. (11,18) Прежде чем перейти к обсуждению результатов, вытекающих иэ распределений (11,16) или (11,17), необходимо выяснить смысл фигурирующего в них параметра а. й 12. Столкновения молекул со стенкой сосуда. Давление. Связь параметра и с абсолютной температурой В процессе движения молекулы газа, заключенного в некоторый сосуд, испытывают соударения с его стенками. Стенки сосуда ие образуют геометрически резкой границы, но имеют молекулярное строение.
Газовая молекула, приближающаяся к стенке, испытывает заменив верхний предел в (11,12) на бесконечный. Прибавляемая при этом площадь будет бесконечно малой высшего порядка. Поэтому условие нормирования (11,12) можно записать в виде 4лА ) е "«'оэдо=л. (11, 13) о Интегрирование (см. Приложение 1) даат: А=а( — ) Окончательно функция распределения может быть ааписана в виде lл«а и (о) = а ~ — ) е-"". (11,15) Число молекул в единице объема, скорость которых лежит между о и о+ Ио, таким образом, равно га' ь г(н„= 4ла1 — ) е-"«ьоэ г(о. (11,16) 1лг' Формула (11,16) носит название распреде гения Максвелла.
Наряду с распределением по скоростям можно написать также распределение по компонентам скоростей: (11,17) ~лг Переход от (11,16) к (11,17) соответствует обычному преобразованию координат от полярных к декартовым. В формуле (11,17) можно считать, что компоненты скорости изменяются в пределах от — оо до + со. Заметим, что функция распределения по компонентам скоростей может быть записана в виде произведения трах функций распределения по компонентам скоростей: 9 12) столкноввния молекял со стьнкой сосхдл. давлении 63 со стороны молекул последней весьма сильное отталкивание и отражается внутрь сосуда.
На рис. 9 изображен схематический ход по. тенциальной энергии молекулы вблизи стенки сосуда. Последаою мы можем рассматривать как бесконечно высокий потенциальный барьер, непроницаемый для молекул. Можно считать, что отражение молекулы от стенки сосуда происходит совершенно упруго. Это означает, что компонента скорости, перпендикулярная к плоскости стенки, при отражении изменяется на прямо противоположную.
Р Рассмотрим некоторую площадку стенки г15, перпендикулярную к оси х. Тогда при отражении, от этой площадки моле- Рие. 9. кула, имевшая компоненты скорости о, чгя, приобретает компоненты скорости †о, о„, о,. При отражении молекулы от площадки происходит изменение компоненты импульса по оси х от значения гко до значения — том, т. е. на величину 2гво . Этот импульс передавтся отражающей стенке. Таким образом, столкновения молекул со стенкой будут приводить к появлению силы, действующей на поверхность сосуда. Эту силу, действующую на единицу поверхности стенки со стороны всех молекул газа, мы отождествим с макроскопическим давлением.
Это утверждение, являющееся, в сущности, основой кинетической теории газов, казалось в своз время весьма радикальным. Однако сейчас оно представляется естественным и совершенно очевидным. Для нахождения давления, оказываемого на стенку сосуда, нужно вычислить полное изменение количества движения молекул газа, испытывающих отражение от единицы поверхности сосуда в единицу времени. Оно равно, очевидно, изменению импульса в одном соударении со стенкой, умноженному на полное число ударов, приходящихся на 1 сма поверхности за 1 сек. Изменение импульса равно 2то .'Умножив это выражение на число ударов, приходящихся на 1 смэ стенки за 1 сек., со стороны молекул, имеющих данную компоненту скорости и, и суммируя или, точнее, интегрируя это произведение по всем значениям о, мы найдем искомое давление.
В единицу времени поверхности стенки будут достигать все молекулы, находящиеся от ней на расстоянии, меньшем или равном о (поскольку о — путь, проходимый в единицу времени молекулой, движущейся в положительном направлении оси х). На 1 слгэ поверхности за 1 сек. будут попадать все молекулы, находящиеся в параллелепипеде высотой о и с основанием 1 смз (рис. 10).
Обьвм этого параллелепипеда равен, очевидно, и смз. В нвм находится г1л о молекул, компоненты скорости которых лежат между о и о„+Йо~; оя и о„+г1оя', о, н о,+по,. Поверхности стенки будут достигать все молекулы, находящиеся в указанном параллелепипеде, независимо от значений компонентскорости о я и о„параллельных этой поверхности. (гл. Ры КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Число частиц с данной компонентой скорости и (при произвольных значениях двух других компонент о„ и о,) в единице объема равно СО а«!« -«« ~ ~ -«(«+«~ г г 3 «уич = и( — ) е "~Ь ° ~ ~ е я ° Фиест,= гати -«« = и( — ) ° е аоа. п) Число частиц, находящихся в параллелепипеде, имеющем объем эа, соответственно равно I а «ч* -«« ~Ь= О ~(и, =и — е ~-) (12,1) «« р= и( — ) ~ (2ти )е 'о йоа.(12,2) « Интегрирование в (12,2) ведйтся только Рис.
10. ПО ПОЛОжнтЕЛЬЬЫМ ЗНаЧЕНИЯМ Оа, ПО- скольку молекулы с отрицательными значениями компоненты скорости по оси х движутся не к рассматриваемой стенке, а от нее1). Интегрирование (12,2) лайт: Ж р= — и 2« (12,3) ') В выражении (12,2) не учитываются столкновения молекул между со бой. Однако молекулы, не достигающие стенки, передают свой импульс мо лекулам, долетающим до стенки. Это выражение даат число молекул, имеющих данное значение компоненты скорости ю и достигающих 1 емз поверхности стенки за 1 сек. Каждая из ~у» молекул, ударяющихся о стенку, передает ей импульс 2тюа, так что за 1 сек, молекулы с данным значением о передают стенке импульс, равный 2гио Ъ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
